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20. (8分)(苏州中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=$$AC$,$AD$为$△ ABC$的角平分线.以点$A$为圆心,$AD$长为半径画弧,与$AB$,$AC$分别交于点$E$,$F$,连接$DE$,$DF$.
(1)求证:$△ ADE ≌ △ ADF$;
(2)若$∠ BAC=80°$,则$∠ BDE$的度数为
(1)求证:$△ ADE ≌ △ ADF$;
(2)若$∠ BAC=80°$,则$∠ BDE$的度数为
20
$°$.答案
20. (1)
∵ A D 是 △A B C 的角平分线,
∴ ∠B A D=∠C A D. 由作图知 A E=A F. 在 △A D E 和 △A D F 中,
{A E=A F,
{∠E A D=∠F A D,
{A D=A D,
∴ △A D E ≅ △A D F(S A S).
(2) 20 解析:
∵ ∠B A C=80^°, A D 为 △A B C 的角平分线,
∴ ∠E A D=1/2 ∠B A C=40^°. 由作图知, A E=A D,
∴ ∠A E D=∠A D E,
∴ ∠A D E=1/2 ×(180^°-40^°)=70^°.
∵ A B=A C,
∴ A D ⊥ B C,
∴ ∠B D E=90^°-∠A D E=20^°.
∵ A D 是 △A B C 的角平分线,
∴ ∠B A D=∠C A D. 由作图知 A E=A F. 在 △A D E 和 △A D F 中,
{A E=A F,
{∠E A D=∠F A D,
{A D=A D,
∴ △A D E ≅ △A D F(S A S).
(2) 20 解析:
∵ ∠B A C=80^°, A D 为 △A B C 的角平分线,
∴ ∠E A D=1/2 ∠B A C=40^°. 由作图知, A E=A D,
∴ ∠A E D=∠A D E,
∴ ∠A D E=1/2 ×(180^°-40^°)=70^°.
∵ A B=A C,
∴ A D ⊥ B C,
∴ ∠B D E=90^°-∠A D E=20^°.
21. (8 分)长清的园博园广场视野开阔,阻挡物少,成为不少市民放风筝的最佳场所.某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度 CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离 BD 的长为 15 米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 25 米;③牵线放风筝的小明的身高为 1.6 米.
(1)风筝的垂直高度 $CE=$
(2)如果小明想风筝沿 CD 方向下降 12 米,那么他应该往回收线多少米?
(1)风筝的垂直高度 $CE=$
21.6
米.(2)如果小明想风筝沿 CD 方向下降 12 米,那么他应该往回收线多少米?
答案
21. (1) 21.6 解析: 在 Rt △C D B 中, 由勾股定理, 得$ C D^2=B C^2-B D^2=25^2-15^2=400, $
∴ C D=20 米,
∴ C E=C D+D E=20+1.6=21.6(米).
(2) 如图, 由题意得, C M=12 米,
∴ D M=8 米,
∴$ B M^2=D M^2+B D^2=8^2+15^2=289,$
∴ B M=17 米,
∴ B C-B M=25-17=8(米).答: 小明应该往回收 8 米.
∴ C D=20 米,
∴ C E=C D+D E=20+1.6=21.6(米).
(2) 如图, 由题意得, C M=12 米,
∴ D M=8 米,
∴$ B M^2=D M^2+B D^2=8^2+15^2=289,$
∴ B M=17 米,
∴ B C-B M=25-17=8(米).答: 小明应该往回收 8 米.
22. (10 分) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC=45°$, $CD ⊥ AB, BE ⊥ AC$, 垂足分别为 $D, E, F$ 为 $BC$ 的中点, $BE$ 与 $DF, DC$ 分别交于点 $G, H$, $∠ ABE = ∠ CBE.$
(1)线段 $BH$ 与 $AC$ 相等吗? 若相等,给予证明;若不相等,请说明理由.
(2)求证: $BG^2-GE^2=EA^2.$
(1)线段 $BH$ 与 $AC$ 相等吗? 若相等,给予证明;若不相等,请说明理由.
(2)求证: $BG^2-GE^2=EA^2.$
答案
22. (1) B H=A C. 证明:
∵ C D ⊥ A B, B E ⊥ A C,
∴ ∠B D H=∠B E A=∠C D A=90^°.
∵ ∠A B C=45^°,
∴ ∠B C D=180^°-90^°-45^°=45^°=∠A B C,
∴ D B=D C.
∵ ∠B D H=∠B E A=∠C D A=90^°,
∴ ∠A+∠A C D=90^°, ∠A+∠H B D=90^°,
∴ ∠H B D=∠A C D. 在 △D B H 和 △D C A 中,
{∠B D H=∠C D A,
{D B=C D,
{∠H B D=∠A C D,
∴ △D B H ≅ △D C A(A S A),
∴ B H=A C.
(2) 连接 C G, 由 (1) 知, D B=C D.
∵ F 为 B C 的中点,
∴ D F垂直平分 B C,
∴ B G=C G.
∵ ∠A B E=∠C B E, B E ⊥ A C,
∴ E C=E A. 在 Rt △C G E 中, 由勾股定理, 得$ C G^2-G E^2=C E^2, $
∴$ B G^2-G E^2=E A^2.$
∵ C D ⊥ A B, B E ⊥ A C,
∴ ∠B D H=∠B E A=∠C D A=90^°.
∵ ∠A B C=45^°,
∴ ∠B C D=180^°-90^°-45^°=45^°=∠A B C,
∴ D B=D C.
∵ ∠B D H=∠B E A=∠C D A=90^°,
∴ ∠A+∠A C D=90^°, ∠A+∠H B D=90^°,
∴ ∠H B D=∠A C D. 在 △D B H 和 △D C A 中,
{∠B D H=∠C D A,
{D B=C D,
{∠H B D=∠A C D,
∴ △D B H ≅ △D C A(A S A),
∴ B H=A C.
(2) 连接 C G, 由 (1) 知, D B=C D.
∵ F 为 B C 的中点,
∴ D F垂直平分 B C,
∴ B G=C G.
∵ ∠A B E=∠C B E, B E ⊥ A C,
∴ E C=E A. 在 Rt △C G E 中, 由勾股定理, 得$ C G^2-G E^2=C E^2, $
∴$ B G^2-G E^2=E A^2.$
23. (10 分)已知: $△ ABC$(如图所示).
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图:求作一点 $D$,使得点 $D$ 到边 $AB,AC$ 的距离相等,且满足 $DB=DC$.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若 $AB=15,AC=9$,在(1)的基础上,过点$D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于 $E$,则 $BE$ 的长为
(如需画草图,请使用备用图)
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图:求作一点 $D$,使得点 $D$ 到边 $AB,AC$ 的距离相等,且满足 $DB=DC$.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若 $AB=15,AC=9$,在(1)的基础上,过点$D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于 $E$,则 $BE$ 的长为
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.(如需画草图,请使用备用图)
答案
23. (1) 如图 ① 所示, 点 D 即为所求. 解析: 在 A B, A C 上分别截取 A N, A M, 使 A N=A M; 分别以点 M 和点 N 为圆心, 适当长(大于 1/2 M N 的长) 为半径作圆弧, 在 ∠B A C 内, 两弧交于点 O; 连接 A O 并延长; 分别以点 B 和点 C 为圆心, 以大于 1/2 B C 的长度为半径作弧, 两弧相交于点 Q, P; 作直线 P Q, 直线 P Q 与射线 A O 交于点 D, 点 D 即为所求.
(2) 3 解析: 如图 ②, 过点 D 作 D E ⊥ A B 于点 E, 过点 D 作D F ⊥ A C, 交 A C 的延长线于点 F.由 (1) 知 B D=D C, ∠B A D=∠C A D,
∴ D E=D F. 在 Rt △B D E与 Rt △C D F 中,
{B D=C D,
{D E=D F,
∴ Rt △B D E ≅ Rt △C D F(H L),
∴ B E=C F. 在 Rt △A D E 与 Rt △A D F 中,
{A D=A D,
{D E=D F,
∴ Rt △A D E ≅ Rt △A D F(H L),
∴ A E=A F,
∴ B E=C F=A B-A E=A B-(A C+C F), 即 B E=A B-A C-B E,
∴ B E=(A B-A C)/2.
∵ A B=15, A C=9,
∴ B E=(15-9)/2=3.
(2) 3 解析: 如图 ②, 过点 D 作 D E ⊥ A B 于点 E, 过点 D 作D F ⊥ A C, 交 A C 的延长线于点 F.由 (1) 知 B D=D C, ∠B A D=∠C A D,
∴ D E=D F. 在 Rt △B D E与 Rt △C D F 中,
{B D=C D,
{D E=D F,
∴ Rt △B D E ≅ Rt △C D F(H L),
∴ B E=C F. 在 Rt △A D E 与 Rt △A D F 中,
{A D=A D,
{D E=D F,
∴ Rt △A D E ≅ Rt △A D F(H L),
∴ A E=A F,
∴ B E=C F=A B-A E=A B-(A C+C F), 即 B E=A B-A C-B E,
∴ B E=(A B-A C)/2.
∵ A B=15, A C=9,
∴ B E=(15-9)/2=3.
