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24.(11分)某兴趣小组在学习了三角形相关知识后,对等边三角形进行了再探究.
如图,在等边三角形$ABC$中,过点$B$作射线$BM// AC$,在射线$CB$上取一点$P$(不与点$B$,$C$重合),作$∠ APE=60°$,$∠ APE$的边$PE$交射线$BM$于点$E$.
(1)【动手操作】
若点$P$在线段$CB$上,图中与$∠ EPB$相等的角为
(2)【问题探究】
在(1)的基础上,探究线段$PA$与$PE$的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】
当点$P$在射线$CB$上移动时,用等式表示线段$BC$,$BP$,$BE$之间的数量关系,并说明理由.
如图,在等边三角形$ABC$中,过点$B$作射线$BM// AC$,在射线$CB$上取一点$P$(不与点$B$,$C$重合),作$∠ APE=60°$,$∠ APE$的边$PE$交射线$BM$于点$E$.
(1)【动手操作】
若点$P$在线段$CB$上,图中与$∠ EPB$相等的角为
∠PAC
;(2)【问题探究】
在(1)的基础上,探究线段$PA$与$PE$的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】
当点$P$在射线$CB$上移动时,用等式表示线段$BC$,$BP$,$BE$之间的数量关系,并说明理由.
答案
24. (1) ∠P A C 解析:
∵ ∠A P B=∠B C A+∠P A C=∠A P E+∠E P B, ∠A P E=∠A C B=60^°,
∴ ∠E P B=∠P A C.
(2) P A=P E. 理由如下: 如图 ①, 延长 E B 至点 H, 使 B H=B P, 连接 P H.
∵ △A B C 是等边三角形,
∴ A B=B C, ∠A C B=∠A B C=60^°.
∵ B M / / A C,
∴ ∠A C B=∠C B H=60^°. 又
∵ B P=B H,
∴ △B P H 是等边三角形,
∴ P H=B P=B H, ∠H=60^°=∠A B C=∠A P E=∠B P H,
∴ ∠A P B=∠E P H,
∴ △A P B ≅△E P H(A S A),
∴ P A=P E.
(3) 当点 P 在 B C 上时, B C=B P+B E; 当点 P 在线段 C B 的延长线上时, B E=B P+B C. 理由如下: 当点 P 在 B C 上时,由 (2) 可知, △A P B ≅ △E P H,
∴ A B=E H,
∴ B C=E H=E B+B H=B E+B P. 当点 P 在线段 C B 的延长线上时, 如图 ②, 在B E 上截取 B H=B P, 连接 P H.
∵ △A B C 是等边三角形,
∴ A B=B C, ∠A C B=∠A B C=60^°.
∵ B M / / A C,
∴ ∠A C B=∠P B H=60^°. 又
∵ B P=B H,
∴ △B P H 是等边三角形,
∴ P H=B P=B H, ∠B H P=60^°=∠A B C=∠A P E=∠B P H,
∴ ∠A P B=∠E P H, ∠E H P=∠A B P=120^°,
∴ △A P B ≅△E P H(A S A),
∴ E H=A B,
∴ B E=B H+E H=B P+B C.
∵ ∠A P B=∠B C A+∠P A C=∠A P E+∠E P B, ∠A P E=∠A C B=60^°,
∴ ∠E P B=∠P A C.
(2) P A=P E. 理由如下: 如图 ①, 延长 E B 至点 H, 使 B H=B P, 连接 P H.
∵ △A B C 是等边三角形,
∴ A B=B C, ∠A C B=∠A B C=60^°.
∵ B M / / A C,
∴ ∠A C B=∠C B H=60^°. 又
∵ B P=B H,
∴ △B P H 是等边三角形,
∴ P H=B P=B H, ∠H=60^°=∠A B C=∠A P E=∠B P H,
∴ ∠A P B=∠E P H,
∴ △A P B ≅△E P H(A S A),
∴ P A=P E.
(3) 当点 P 在 B C 上时, B C=B P+B E; 当点 P 在线段 C B 的延长线上时, B E=B P+B C. 理由如下: 当点 P 在 B C 上时,由 (2) 可知, △A P B ≅ △E P H,
∴ A B=E H,
∴ B C=E H=E B+B H=B E+B P. 当点 P 在线段 C B 的延长线上时, 如图 ②, 在B E 上截取 B H=B P, 连接 P H.
∵ △A B C 是等边三角形,
∴ A B=B C, ∠A C B=∠A B C=60^°.
∵ B M / / A C,
∴ ∠A C B=∠P B H=60^°. 又
∵ B P=B H,
∴ △B P H 是等边三角形,
∴ P H=B P=B H, ∠B H P=60^°=∠A B C=∠A P E=∠B P H,
∴ ∠A P B=∠E P H, ∠E H P=∠A B P=120^°,
∴ △A P B ≅△E P H(A S A),
∴ E H=A B,
∴ B E=B H+E H=B P+B C.
25. (13 分) (2026·舟山期中) 如图①，$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$ 于点 $D$，且 $BD:AD:CD = 2:3:4$。
(1) 试说明$△ ABC$是等腰三角形。
(2) 已知 $S_{△ ABC}=40\ \mathrm{cm}^2$，如图②，动点 $M$ 从点$B$ 出发，以每秒 $1\ \mathrm{cm}$ 的速度沿线段 $BA$ 向点$A$ 运动，同时动点 $N$ 从点 $A$ 出发，以相同速度沿线段 $AC$ 向点 $C$ 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止。设点 $M$ 运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
①若$△ DMN$的边与$BC$平行，求$t$的值。
②若点$E$是边$AC$的中点，问：在点$M$运动的过程中，$△ MDE$能否成为等腰三角形？若能，求出$t$的值；若不能，请说明理由。
(1) 试说明$△ ABC$是等腰三角形。
(2) 已知 $S_{△ ABC}=40\ \mathrm{cm}^2$，如图②，动点 $M$ 从点$B$ 出发，以每秒 $1\ \mathrm{cm}$ 的速度沿线段 $BA$ 向点$A$ 运动，同时动点 $N$ 从点 $A$ 出发，以相同速度沿线段 $AC$ 向点 $C$ 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止。设点 $M$ 运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
①若$△ DMN$的边与$BC$平行，求$t$的值。
②若点$E$是边$AC$的中点，问：在点$M$运动的过程中，$△ MDE$能否成为等腰三角形？若能，求出$t$的值；若不能，请说明理由。
答案
25. (1) 设 B D=2 x, A D=3 x, C D=4 x, 则 A B=5 x, 在 Rt △A C D中$, A C^2=A D^2+C D^2, $
∴ A C=5 x,
∴ A B=A C,
∴ △A B C 是等腰三角形.
(2) S_△A B C=1/2 × 5 x × 4 x=40, 而 x＞0,
∴ x=2, 则 B D=4 cm, A D=6 cm, C D=8 cm, A C=10 cm.
① 当 M N / / B C 时, A M=A N, 即 10-t=t,
∴ t=5; 当 D N / / B C时, A D=A N, 得 t=6.
∴ 若 △D M N 的边与 B C 平行, 则 t 的值为 5 或 6.
② 能. 当点 M 在 B D 上, 即 0 ≤ t＜4 时, △M D E 为钝角三角形, 但 D M ≠ D E; 当 t=4 时, 点 M 运动到点 D, 不构成三角形; 当点 M 在 D A 上, 即 4＜t ≤ 10 时, △M D E 为等腰三角形, 有 3 种可能. 若 D E=D M, 则 t-4=5,
∴ t=9. 若 E D=E M, 则点 M 运动到点 A,
∴ t=10. 若 M D=M E=t-4. 过点 E作 E F ⊥ A B 于点 F,
∵ E D=E A,
∴ D F=A F=1/2 A D=3 cm, 在Rt △A E F 中, E F=4 cm.
∵ B M=t cm, B F=7 cm,
∴ F M=|t-7| cm. 在 Rt △E F M 中$, (t-4)^2-(t-7)^2=4^2, $
∴ t=49/6. 综上所述, 符合要求的 t 的值为 9 或 10 或 49/6.
∴ A C=5 x,
∴ A B=A C,
∴ △A B C 是等腰三角形.
(2) S_△A B C=1/2 × 5 x × 4 x=40, 而 x＞0,
∴ x=2, 则 B D=4 cm, A D=6 cm, C D=8 cm, A C=10 cm.
① 当 M N / / B C 时, A M=A N, 即 10-t=t,
∴ t=5; 当 D N / / B C时, A D=A N, 得 t=6.
∴ 若 △D M N 的边与 B C 平行, 则 t 的值为 5 或 6.
② 能. 当点 M 在 B D 上, 即 0 ≤ t＜4 时, △M D E 为钝角三角形, 但 D M ≠ D E; 当 t=4 时, 点 M 运动到点 D, 不构成三角形; 当点 M 在 D A 上, 即 4＜t ≤ 10 时, △M D E 为等腰三角形, 有 3 种可能. 若 D E=D M, 则 t-4=5,
∴ t=9. 若 E D=E M, 则点 M 运动到点 A,
∴ t=10. 若 M D=M E=t-4. 过点 E作 E F ⊥ A B 于点 F,
∵ E D=E A,
∴ D F=A F=1/2 A D=3 cm, 在Rt △A E F 中, E F=4 cm.
∵ B M=t cm, B F=7 cm,
∴ F M=|t-7| cm. 在 Rt △E F M 中$, (t-4)^2-(t-7)^2=4^2, $
∴ t=49/6. 综上所述, 符合要求的 t 的值为 9 或 10 或 49/6.
