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1. (2025·海南中考)已知三角形三条边的长分别为 3,5,x,则 x 的值可能是（
A.2
B.5
C.8
D.11
B
）A.2
B.5
C.8
D.11
答案
1. B 解析:
∵ 三角形的三边长分别为 3 , x , 5 ,
∴ 5-3＜x＜5+3 ,即 2＜x＜8 , 故选 B.
∵ 三角形的三边长分别为 3 , x , 5 ,
∴ 5-3＜x＜5+3 ,即 2＜x＜8 , 故选 B.
2. 若一个等腰三角形两内角的度数之比为 $1:4$，则这个等腰三角形的底角的度数为 （
A.$30°$
B.$30°$或$120°$
C.$120°$
D.$30°$或$80°$
D
）A.$30°$
B.$30°$或$120°$
C.$120°$
D.$30°$或$80°$
答案
2. D 解析: 当底角与顶角的比是 1: 4 时, 设底角为 x , 顶角为4 x, 根据三角形内角和得 x+x+4 x=180^°, 解得 x=30^°, 即底角为 30^°; 当顶角与底角的比是 1: 4 时, 设顶角为 x, 底角为4 x, 根据三角形内角和得 x+4 x+4 x=180^°, 解得 x=20^°,
∴ 4 x=80^°, 即底角为 80^°.
∴ 底角的度数为 30^° 或 80^°. 故选 D.
∴ 4 x=80^°, 即底角为 80^°.
∴ 底角的度数为 30^° 或 80^°. 故选 D.
3. (2025·天水期中) 比较 $2,\sqrt{5},\sqrt[3]{7}$ 的大小,正确的是
（
A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
D.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
（
D
）A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
D.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
答案
3. D 解析:
∵$ 2^6=64,(√5)^6=[(√5)^2]^3=125,(∛7)^6=[(∛7)^3]^2=49 , $而 49＜64＜125,
∴$ (∛7)^6＜2^6＜(√5)^6,$
∴ ∛7＜2＜√5 , 故选 D.
∵$ 2^6=64,(√5)^6=[(√5)^2]^3=125,(∛7)^6=[(∛7)^3]^2=49 , $而 49＜64＜125,
∴$ (∛7)^6＜2^6＜(√5)^6,$
∴ ∛7＜2＜√5 , 故选 D.
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,点$M$为$BC$边上的中点,$MN ⊥ AC$于点$N$,那么$MN$等于（
A.$\dfrac{6}{5}$
B.$\dfrac{8}{5}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{24}{5}$
C
）A.$\dfrac{6}{5}$
B.$\dfrac{8}{5}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{24}{5}$
答案
4. C 解析: 连接 A M, 如图所示.
∵ A B=A C=5, B C=6, 点 M 为 B C 的中点,
∴ B M=C M=3, A M ⊥ C M,
∴$ A M=√(5^2-3^2)=4.$
∵ 1/2 A M · M C=1/2 A C · M N,
∴ M N=(A M · C M)/A C=12/5. 故选 C.
∵ A B=A C=5, B C=6, 点 M 为 B C 的中点,
∴ B M=C M=3, A M ⊥ C M,
∴$ A M=√(5^2-3^2)=4.$
∵ 1/2 A M · M C=1/2 A C · M N,
∴ M N=(A M · C M)/A C=12/5. 故选 C.
5. (2026·南阳校级月考)如图,在数轴上,点A,B 表示的数分别为-1,1,$CB ⊥ AB$于点 B,且$BC=1$.连接 AC,在 AC 上截取$CD=BC$,以点 A为圆心,AD 的长为半径画弧,交线段 AB 于点E,则点 E 表示的实数是（
A.$\sqrt{5}-1$
B.$\sqrt{5}-2$
C.$\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
B
）A.$\sqrt{5}-1$
B.$\sqrt{5}-2$
C.$\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
答案
5. B 解析:
∵ B C ⊥ A B, 点 A, B 表示的数分别为 -1 和 1 ,
∴ ∠A B C=90^°, A B=1-(-1)=2,
∴$ A C=√(A B^2+B C^2)=√(2^2+1^2)=√5. $
∵ B C=C D=1,
∴ A D=A C-C D=√5-1,
∴ A E=A D=√5-1 , 则点 E 表示的实数是 -1+√5-1=√5-2.故选 B.
∵ B C ⊥ A B, 点 A, B 表示的数分别为 -1 和 1 ,
∴ ∠A B C=90^°, A B=1-(-1)=2,
∴$ A C=√(A B^2+B C^2)=√(2^2+1^2)=√5. $
∵ B C=C D=1,
∴ A D=A C-C D=√5-1,
∴ A E=A D=√5-1 , 则点 E 表示的实数是 -1+√5-1=√5-2.故选 B.
6.（台州中考）如图，锐角三角形$ABC$中，$AB=$$AC$，点$D,E$分别在边$AB,AC$上，连接$BE,CD.$
下列命题中，假命题是（
A.若$CD=BE$，则$∠ DCB=∠ EBC$
B.若$∠ DCB=∠ EBC$，则$CD=BE$
C.若$BD=CE$，则$∠ DCB=∠ EBC$
D.若$∠ DCB=∠ EBC$，则$BD=CE$
下列命题中，假命题是（
A
）A.若$CD=BE$，则$∠ DCB=∠ EBC$
B.若$∠ DCB=∠ EBC$，则$CD=BE$
C.若$BD=CE$，则$∠ DCB=∠ EBC$
D.若$∠ DCB=∠ EBC$，则$BD=CE$
答案
6. A 解析:
∵ A B=A C,
∴ ∠A B C=∠A C B. 若 C D=B E, 又 B C=C B,
∴ △B C D 与 △C B E 满足 "SSA" 的关系, 无法证明全等,因此无法得出 ∠D C B=∠E B C, 故 A 是假命题; 若 ∠D C B=∠E B C, 则 ∠A C D=∠A B E, 在 △A B E 和 △A C D 中,
{∠A B E=∠A C D,
{A B=A C,
{∠A=∠A,
∴ △A B E ≅ △A C D(A S A),
∴ C D=B E, 故 B是真命题; 若 B D=C E, 则 A D=A E, 在 △A B E 和 △A C D 中,
{A B=A C,
{∠A=∠A,
∴ △A B E ≅ △A C D(S A S),
∴ ∠A C D=∠A B E.
{A E=A D,
∵ ∠A B C=∠A C B,
∴ ∠D C B=∠E B C, 故 C 是真命题;若 ∠D C B=∠E B C, 则 在 △D B C 和 △E C B 中,
{∠D B C=∠E C B,
{B C=C B,
{∠D C B=∠E B C,
∴ △D B C ≅ △E C B(A S A),
∴ B D=C E, 故D 是真命题. 故选 A.
∵ A B=A C,
∴ ∠A B C=∠A C B. 若 C D=B E, 又 B C=C B,
∴ △B C D 与 △C B E 满足 "SSA" 的关系, 无法证明全等,因此无法得出 ∠D C B=∠E B C, 故 A 是假命题; 若 ∠D C B=∠E B C, 则 ∠A C D=∠A B E, 在 △A B E 和 △A C D 中,
{∠A B E=∠A C D,
{A B=A C,
{∠A=∠A,
∴ △A B E ≅ △A C D(A S A),
∴ C D=B E, 故 B是真命题; 若 B D=C E, 则 A D=A E, 在 △A B E 和 △A C D 中,
{A B=A C,
{∠A=∠A,
∴ △A B E ≅ △A C D(S A S),
∴ ∠A C D=∠A B E.
{A E=A D,
∵ ∠A B C=∠A C B,
∴ ∠D C B=∠E B C, 故 C 是真命题;若 ∠D C B=∠E B C, 则 在 △D B C 和 △E C B 中,
{∠D B C=∠E C B,
{B C=C B,
{∠D C B=∠E B C,
∴ △D B C ≅ △E C B(A S A),
∴ B D=C E, 故D 是真命题. 故选 A.
7. 如图,在$\mathrm{Rt} △ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$AC=3$,$BC=4$,点$D$在$AB$上,$AD=AC$,$AF ⊥ CD$,交$CD$于点$E$,交$CB$于点$F$,则$CF$的长是 （
A.1.5
B.1.8
C.2
D.2.5
A
）A.1.5
B.1.8
C.2
D.2.5
答案
7. A 解析: 连接 D F.
∵ 在 Rt △A B C 中, ∠A C B=90^°, A C=3,B C=4,
∴ A B=5.
∵ A D=A C=3, A F ⊥ C D,
∴ C E=D E, B D=A B-A D=2,
∴ C F=D F. 在 △A D F 和 △A C F 中,
{A D=A C,
{A F=A F,
∴ ∠B D F=90^°. 设 C F=D F=x, 则 B F=4-x. 在 Rt △B D F 中,由勾股定理, 得$ D F^2+B D^2=B F^2, $即$ x^2+2^2=(4-x)^2, $解得 x=1.5,
∴ C F=1.5, 故选 A.
∵ 在 Rt △A B C 中, ∠A C B=90^°, A C=3,B C=4,
∴ A B=5.
∵ A D=A C=3, A F ⊥ C D,
∴ C E=D E, B D=A B-A D=2,
∴ C F=D F. 在 △A D F 和 △A C F 中,
{A D=A C,
{A F=A F,
∴ ∠B D F=90^°. 设 C F=D F=x, 则 B F=4-x. 在 Rt △B D F 中,由勾股定理, 得$ D F^2+B D^2=B F^2, $即$ x^2+2^2=(4-x)^2, $解得 x=1.5,
∴ C F=1.5, 故选 A.
8. 如图,$△ ABC$中,$BC=10,AC-AB=4$.过点$C$作$∠ BAC$的平分线的垂线,垂足为点$D$,连接$BD$,则$S_{△ BDC}$的最大值为（
A.10
B.15
C.12
D.14
A
）A.10
B.15
C.12
D.14
答案
8. A 解析: 延长 A B, C D 交于点 E.
∵ A D 平分 ∠B A C,
∴ ∠C A D=∠E A D.
∵ C D ⊥ A D,
∴ ∠A D C=∠A D E=90^°. 在△A D E 和 △A D C 中,
{∠A D E=∠A D C,
{A D=A D,
{∠E A D=∠C A D,
∴ △A D E ≅ △A D C
(A S A),
∴ A C=A E, D E=C D.
∵ A C-A B=4,
∴ A E-A B=4, 即B E=4.
∵ D E=D C,
∴ S_△B D C=1/2 S_△B E C,
∴ 当 B E ⊥ B C 时,△B D C 的面积最大, 即 △B D C 的最大面积 =1/2 × 1/2 × 10 × 4=10. 故选 A.
∵ A D 平分 ∠B A C,
∴ ∠C A D=∠E A D.
∵ C D ⊥ A D,
∴ ∠A D C=∠A D E=90^°. 在△A D E 和 △A D C 中,
{∠A D E=∠A D C,
{A D=A D,
{∠E A D=∠C A D,
∴ △A D E ≅ △A D C
(A S A),
∴ A C=A E, D E=C D.
∵ A C-A B=4,
∴ A E-A B=4, 即B E=4.
∵ D E=D C,
∴ S_△B D C=1/2 S_△B E C,
∴ 当 B E ⊥ B C 时,△B D C 的面积最大, 即 △B D C 的最大面积 =1/2 × 1/2 × 10 × 4=10. 故选 A.
二、填空题(每小题3分,共30分)
9. 已知等腰三角形的周长为7,一边长为3,则它的腰长为
9. 已知等腰三角形的周长为7,一边长为3,则它的腰长为
2 或 3
.答案
9. 2 或 3 解析: 当腰为 3 时, 底为 7-3 × 2=1, 三边为 3,3,1, 能构成三角形; 当底为 3 时, 腰为 1/2 ×(7-3)=2, 三边为 2,2,3, 能构成三角形. 所以这个等腰三角形的腰长为 2 或 3.
10. (2026·泰州校级月考)如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC 上,CD 与 BE 相交于点 O,AD=$AE$,要使$△ ABE ≌ △ ACD$,需添加的一个条件是
∠B=∠C (答案不唯一)
.(只需写一个,不添加辅助线)答案
10. ∠B=∠C (答案不唯一) 解析: 在 △A B E 和 △A C D中,
∵ A E=A D, ∠B A E=∠C A D,
∴ 添加 ∠B=∠C 时, 可由"AAS" 判定 △A B E ≅ △A C D.
∵ A E=A D, ∠B A E=∠C A D,
∴ 添加 ∠B=∠C 时, 可由"AAS" 判定 △A B E ≅ △A C D.
11. (2025·连云港中考改编) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $BC=7,AB$ 的垂直平分线分别交 $AB,BC$ 于点 $D,E,AC$ 的垂直平分线分别交 $AC,BC$ 于点 $F,G$, 则 $△ AEG$ 的周长为
7
.答案
11. 7 解析:
∵ D E 垂直平分 A B, G F 垂直平分 A C,
∴ A E=B E, A G=C G,
∴ △A E G 的周长为 A E+A G+E G=B E+C G+E G=B C=7.
∵ D E 垂直平分 A B, G F 垂直平分 A C,
∴ A E=B E, A G=C G,
∴ △A E G 的周长为 A E+A G+E G=B E+C G+E G=B C=7.
