21.(8分)为解决传统快递驿站快递易丢失、难寻找等问题，某小区准备安装“丰巢”快递柜和“熊猫”快递柜若干组，一组“丰巢”快递柜的储物格个数比一组“熊猫”快递柜储物格个数多40个。该小区某日有560个快递，一个储物格只能存放一个快递，若其中240个快递入“丰巢”快递柜，其余入“熊猫”快递柜，则所需“熊猫”快递柜的组数是“丰巢”快递柜组数的2倍。
(1)分别求一组“丰巢”快递柜和一组“熊猫”快递柜的储物格个数。
(2)已知购买一组“丰巢”快递柜和一组“熊猫”快递柜的单价分别为1.2万元和1万元，请为小区设计一种购买方案，既能保证560个快递恰好入柜，又能使费用最省，并说明理由。

21.解:(1)设一组“熊猫”快递柜的储物格个数为$m$个,则一组“丰巢”快递柜的储物格个数为$(m+40)$个。由题意可得$\dfrac{560-240}{m}=2×\dfrac{240}{m+40}$,解得$m=80$。经检验,$m=80$是方程的根,且符合题意。$m+40=120$。 答:一组“丰巢”快递柜和一组“熊猫”快递柜的储物格个数分别为120个和80个。
(2)设购买“丰巢”快递柜$x$组,“熊猫”快递柜$y$组。由题意,得$120x+80y=560$,$x,y$为正整数,解得$\begin{cases} x=2, \\ y=4, \end{cases}$ $\begin{cases} x=4, \\ y=1。 \end{cases}$ 方案一:购买2组“丰巢”快递柜,4组“熊猫”快递柜,费用为$1.2×2+1×4=6.4$(万元);方案二:购买4组“丰巢”快递柜,1组“熊猫”快递柜,费用为$1.2×4+1×1=5.8$(万元)。因为$5.8＜6.4$,所以方案二费用最省。 答:购买4组“丰巢”快递柜,1组“熊猫”快递柜既能保证560个快递恰好入柜,又能使费用最省。

22.(10分)
【操作】如图1,甲、乙两个大小不同的正方形,按以下方式进行摆放。

方式1:将乙放在甲的内部,其中一个顶点和两边重合,如图2;
方式2:将甲、乙共顶点放置,构造新正方形,如图3。
【应用】
(1)若图2中阴影部分的面积为16,AB=2,求正方形甲和乙的边长。(3分)
(2)若图3中CD=11,阴影部分的面积为56,求图2中AB的长。(3分)
【拓展】如图4,七(2)班学生利用两个共顶点的正方形设计了一个寓意胜利的“V”形班徽,点D,A,E在同一直线上,DE=14,正方形ABCD和正方形AEFG的面积之和为106,求阴影部分的面积。(4分)

22.解:(1)设正方形甲的边长为$a$,正方形乙的边长为$b$。因为阴影部分的面积为16,所以$a^2-b^2=16$。因为$AB=2$,所以$a-b=2$。因为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$,所以$a+b=8$。因为$\begin{cases} a+b=8, \\ a-b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=5, \\ b=3。 \end{cases}$所以正方形甲的边长为5,正方形乙的边长为3。
(2)设正方形甲的边长为$a$,正方形乙的边长为$b$。由题意,得$a+b=11$,$2ab=56$,$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=11^2-2×56=9$,即$AB^2=9$,所以$AB=3$。
(3)设正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为$a$,$b$。如图,连结$AF$,$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{三角形}ABF}+S_{\mathrm{三角形}ADF}=\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}ab=ab$。由题意,得$a+b=14$,$a^2+b^2=106$,$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=14^2-106=90$,$S_{\mathrm{阴影}}=ab=45$。