23.(10分)如图1,直线EF与直线MN,PQ分别相交于点A,B$(0°＜∠ ABQ＜90°)$,射线BC平分$∠ ABQ$,交MN于点D,若$∠ ADB=∠ ABD$。
(1)判断MN与PQ是否平行,并说明理由。(3分)
(2)G是直线MN上的一个动点(不与点A,D重合),BH平分$∠ ABG$交直线MN于点H,过点H作$HK⊥ BD$,记$∠ BHK=α,∠ AGB=β$。
①如图2,当点G在点A左侧时,且$β=70°$,求$∠ HBD$的度数。(3分)
②当点G在直线MN上运动时,猜想$α$与$β$有怎样的数量关系,并说明理由。(4分)

23.解:(1)平行。理由如下:因为$BC$平分$∠ ABQ$,所以$∠ ABD=∠ DBQ$。因为$∠ ADB=∠ ABD$,所以$∠ ADB=∠ DBQ$,所以$MN// PQ$。
(2)①由(1),得$∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ ABQ$。因为$BH$平分$∠ ABG$,所以$∠ ABH=\dfrac{1}{2}∠ ABG$,所以$∠ HBD=∠ ABD+∠ ABH=\dfrac{1}{2}(∠ ABQ+∠ ABG)=\dfrac{1}{2}∠ GBQ$。因为$MN// PQ$,$∠ AGB=β=70°$,所以$∠ GBQ=180°-70°=110°$,所以$∠ HBD=\dfrac{1}{2}∠ GBQ=55°$。
②$2α-β=0$或$2α+β=180°$。理由如下:当点G在点A左侧时,如图1,因为$HK⊥ BD$,所以$∠ HKB=90°$。在三角形$HBK$中,$∠ HBD=180°-α-90°=90°-α$。因为$MN// PQ$,所以$∠ GBQ=180°-∠ AGB=180°-β$。由(2)①得$∠ HBD=\dfrac{1}{2}∠ GBQ$,所以$90°-α=\dfrac{1}{2}(180°-β)$,得$2α-β=0$。当点G在点A右侧时,如图2、图3,因为$HK⊥ BD$,所以$∠ HKB=90°$。在三角形$HBK$中,$∠ HBD=180°-α-90°=90°-α$。因为$MN// PQ$,所以$∠ GBQ=∠ AGB=β$。因为$∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ ABQ$,$∠ ABH=\dfrac{1}{2}∠ ABG$,所以$∠ HBD=∠ ABD-∠ ABH=\dfrac{1}{2}(∠ ABQ-∠ ABG)=\dfrac{1}{2}∠ GBQ$,所以$90°-α=\dfrac{1}{2}β$,得$2α+β=180°$。综上所述,$α$与$β$的数量关系为$2α-β=0$或$2α+β=180°$。