9. 如图, 已知 $CD ⊥ AB, BE ⊥ AC$, 垂足分别为 D, E, 且 $AB=AC$, BE 与 CD 交于点 O. 求证:$DB=EC$.

$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC,\therefore∠ ADC=∠ AEB=90°.$
在$△ ADC$和$△ AEB$中,$\begin{cases} ∠ ADC=∠ AEB, \\ ∠ DAC=∠ EAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore△ ADC≌△ AEB(\mathrm{AAS}),\therefore AD=AE,$
$\therefore AB-AD=AC-AE$,即$DB=EC$.
归纳总结 本题考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形.

10. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AD// BC$,点 $E,F$分别在 $AD,BC$ 上,$AE=CF$,过点 $A,C$ 分别作 $EF$ 的垂线,垂足为 $G,H$.
求证:$△ AGE≌ △ CHF$.

$\because AG⊥ EF,CH⊥ EF,\therefore∠ G=∠ H=90°.$
$\because AD// BC,\therefore∠ DEF=∠ CFH.$
$\because∠ AEG=∠ DEF,\therefore∠ AEG=∠ CFH.$
在$△ AGE$和$△ CHF$中,$\begin{cases} ∠ G=∠ H, \\ ∠ AEG=∠ CFH, \\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore△ AGE≌△ CHF(\mathrm{AAS}).$

11. 中考新考法 操作探究 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,
$∠ BAC=90°, AC=2AB$, 点 $D$ 是 $AC$ 的中点,将一块锐角为 $45°$ 的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与 $A,D$ 重合,连接 $BE,EC$. 试猜想线段 $BE$ 和 $EC$ 的数量及位置关系,并证明你的猜想.

精题详解

$BE=EC,BE⊥ EC$.证明如下：
$\because AC=2AB$,点$D$是$AC$的中点，
$\therefore AB=AD=DC.$
$\because∠ EAD=∠ EDA=45°,∠ BAC=90°,$
$\therefore∠ EAB=∠ EDC=135°.$
在$△ EAB$和$△ EDC$中,$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠ EAB=∠ EDC, \\ EA=ED, \end{cases}$
$\therefore△ EAB≌△ EDC(\mathrm{SAS}),$
$\therefore∠ AEB=∠ DEC,EB=EC,$
$\therefore∠ BEC=∠ AED=90°,\therefore BE=EC,BE⊥ EC.$

12. (2024·长沙中考) 如图,点 C 在线段 AD 上,
$AB=AD,∠ B=∠ D,BC=DE.$
(1)求证:$△ ABC≌ △ ADE;$
(2)若$∠ BAC=60^{\circ }$,求$∠ ACE$的度数.

(1)在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\begin{cases} BC=DE, \\ ∠ B=∠ D, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS}).$
(2)由(1),得$△ ABC≌△ ADE,$
$\therefore AC=AE,∠ BAC=∠ DAE=60°,$
$\therefore∠ AEC=∠ ACE.$
$\because∠ AEC+∠ ACE=2∠ ACE=180°-∠ DAE=120°,$
$\therefore∠ ACE=60°,\therefore∠ ACE$的度数是$60°$.
归纳总结 本题重点考查全等三角形的判定与性质,适当选择全等三角形的判定定理证明$△ ABC≌△ ADE$是解题的关键.