1. 教材 P22 练习 T1·变式（2025·苏州常熟期中）如图，点$B,F,C,E$在一条直线上，$AB// ED,AC// FD$，那么添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABC≌△ DEF$的是（）.

A.$∠ A=∠ D$
B.$AC=DF$
C.$AB=ED$
D.$BF=EC$

A. 添加$∠A=∠D$不能判定$△ABC≌△DEF$，故本选项符合题意；
B. 添加$AC=DF$可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
C. 添加$AB=DE$可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
D. 添加$BF=EC$可得出$BC=EF$，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意.
故选A.

2. 如图,$OB$平分$∠ AOC$,$D,E,F$分别是射线$OA$,射线$OB$,射线$OC$上的点,$D,E,F$与点$O$都不重合,连接$ED,EF$.若添加下列条件中的某一个,就能使$△ DOE ≌ △ FOE$.你认为要添加的那个条件是().

A.$OD=OE$
B.$OE=OF$
C.$∠ ODE = ∠ OED$
D.$∠ ODE = ∠ OFE$

$\because OB$平分$∠ AOC,\therefore ∠ DOE=∠ FOE.$
又$OE=OE,\therefore$若添加$OD=OE$,不能得到$△ DOE≌△ FOE.$
故选项A不符合题意;若添加$OE=OF$,不能得到$△ DOE≌△ FOE.$故选项B不符合题意;若添加$∠ ODE=∠ OED$,不能得到$△ DOE≌△ FOE.$故选项C不符合题意;若添加$∠ ODE=∠ OFE$,则根据AAS可得$△ DOE≌△ FOE.$故选项D符合题意. 故选D.

3. (2023·陕西中考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ B=50°$, $∠ C=20°$. 过点 $A$ 作 $AE ⊥ BC$, 垂足为 $E$, 延长 $EA$ 至点 $D$. 使 $AD=AC$. 在边 $AC$ 上截取 $AF=AB$, 连接 $DF$. 求证: $DF=CB$.

在$△ ABC$中,$∠ B=50°,∠ C=20°,$
$\therefore∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°.$
$\because AE⊥ BC,\therefore∠ AEC=90°,$
$\therefore∠ DAF=∠ AEC+∠ C=110°,$
$\therefore∠ DAF=∠ CAB.$
在$△ DAF$和$△ CAB$中,$\begin{cases} AD=AC, \\ ∠ DAF=∠ CAB, \\ AF=AB, \end{cases}$
$\therefore△ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS}),\therefore DF=CB.$

4. 教材 P17 例 1·变式 （2025 · 无锡江阴期中）如图，若$AB=AC$，则添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABE ≌ △ ACD$的是().

A.$∠ B = ∠ C$
B.$AE = AD$
C.$BE = CD$
D.$∠ AEB = ∠ ADC$

A. 根据ASA$(∠ A=∠ A,AB=AC,∠ C=∠ B)$能推出$△ ABE≌△ ACD$，正确. 故本选项不合题意；
B. 根据SAS$(AB=AC,∠ A=∠ A,AE=AD)$能推出$△ ABE≌△ ACD$，正确. 故本选项不合题意；
C. 两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误. 故本选项符合题意；
D. 根据AAS$(∠ AEB=∠ ADC,∠ A=∠ A,AB=AC)$能推出$△ ABE≌△ ACD$，正确. 故本选项不合题意. 故选C.

5. (2025·南通海安期中)如图,在四边形 $ABCD$ 中,
$BD$ 平分$∠ ABC,CD ⊥ BD$ 于点 $D,AC=10$,
$BC-AB=4$, 则$△ ADC$ 面积的最大值为
().

A.6
B.10
C.12
D.20

如图,延长$CD,BA$交于点$E$,过点$C$作$CH⊥ BE$于点$H$.
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ CBD=∠ EBD.$
$\because CD⊥ BD$于点$D,\therefore∠ BDC=∠ BDE=90°.$
$\because BD=BD,$
$\therefore△ BCD≌△ BED(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BC=BE,DE=DC,$
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ EAC},$
$\therefore$当$△ EAC$的面积最大时,$△ ACD$的面积最大.
$\because BC-AB=4,\therefore AE=BE-AB=BC-AB=4.$
$\because△ EAC$的面积$=\frac{1}{2}EA· CH,CH≤ AC=10,$
$\therefore△ EAC$面积的最大值$=\frac{1}{2}×4×10=20,$
$\therefore△ ADC$面积的最大值为$\frac{1}{2}×20=10.$
故选B.

6. 动点问题 （2025·扬州期中）如图，$AB=8,BC=10$，$CD$ 为射线，$∠ B=∠ C$，点 $P$ 从点 $B$ 出发沿$BC$ 向点 $C$ 运动，速度为 2 个单位/秒，点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿射线 $CD$ 运动，速度为 $x$ 个单位/秒. 若在某时刻，$△ ABP$ 能与 $△ CPQ$ 全等，则$x=$.

设点$P,Q$的运动时间为$t$秒，分两种情形讨论:①当$AB=PC,BP=CQ$时,$△ ABP≌△ PCQ$,即$8=10-2t$,解得$t=1$，$\therefore x=10-8,\therefore x=2$；
②当$BP=PC,AB=CQ$时,$△ ABP≌△ QCP$，即$t=\frac{1}{2}×10÷2=\frac{5}{2}$,$\therefore\frac{5}{2}x=8$,$x=\frac{16}{5}$.
综上所述,$x=2或\frac{16}{5}$.

7. (2025·苏州工业园区期中)如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,$O_{1},O_{2}$是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是.

2

8. (2024·连云港凤凰学校期中)某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度,他们所绘如图,点 $B,F,C,E$ 在直线 $l$ 上(点 $F,C$ 之间不能直接测量,为池塘的长度),点 $A,D$ 在 $l$ 的异侧,且 $AB// DE,∠ A=∠ D$,测得 $AB=DE$.
(1)求证: $△ ABC≌△ DEF$;
(2)若 $BE=100\ \mathrm{m},BF=30\ \mathrm{m}$,求池塘 $FC$ 的长.

(1)$\because AB// DE,\therefore∠ ABC=∠ DEF.$
在$△ ABC$与$△ DEF$中,$\begin{cases} ∠ ABC=∠ DEF, \\ AB=DE, \\ ∠ A=∠ D, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌ DEF(\mathrm{ASA}).$
(2)$\because△ ABC≌△ DEF,$
$\therefore BC=EF,\therefore BF+FC=EC+FC,\therefore BF=EC.$
$\because BE=100\ \mathrm{m},BF=30\ \mathrm{m},$
$\therefore FC=100-30-30=40(\mathrm{m}).$
故$FC$的长是$40\ \mathrm{m}$.