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22. (10分)某工厂生产A,B两种零件,现有钢材490千克.已知生产1个A零件需用钢材3千克,生产1个B零件需用钢材2千克.生产完成后发现用于生产A零件钢材的数量比用于生产B零件钢材的数量多50千克.运输A,B零件到组装厂的运费分别为10元/个和6元/个.
(1)工厂计划生产A零件
(2)工厂需将A,B零件共调出150个运往组装厂,若调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍,设A零件调出m个,总运费为w元.
①求w关于m的函数关系式,并写出m的取值范围;
②若A零件的运费可优惠a元/个(0≤a≤5),B零件运费不变,当总运费最少为1 000元时,求a的值.
(1)工厂计划生产A零件
90
个,B零件110
个;(2)工厂需将A,B零件共调出150个运往组装厂,若调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍,设A零件调出m个,总运费为w元.
①求w关于m的函数关系式,并写出m的取值范围;
②若A零件的运费可优惠a元/个(0≤a≤5),B零件运费不变,当总运费最少为1 000元时,求a的值.
答案
22.【点拨】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用,正确列出二元一次方程组及一元一次不等式组是解题的关键.
【解析】(1)设工厂计划生产A零件x个,B零件y个,由题意,得
$\begin{cases} 3x + 2y = 490, \\ 3x - 2y = 50, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 90, \\ y = 110. \end{cases}$
故答案为90,110.
(2)①由题意,得 $w = 10m + 6(150 - m) = 4m + 900$.
$\because$ 调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍,且B零件共生产了110个,
$\therefore \begin{cases} 150 - m ≥ 2m, \\ 150 - m ≤ 110, \end{cases}$ 解得 $40 ≤ m ≤ 50$,
$\therefore w$ 关于 $m$ 的函数关系式为 $w = 4m + 900(40 ≤ m ≤ 50, m$ 为整数).
②由题意,得 $w = (10 - a)m + 6(150 - m) = (4 - a)m + 900$.
$\because w$ 的最小值为 $1\ 000, 40 ≤ m ≤ 50$,
$\therefore$ 当 $4 - a ＞ 0$, 即 $0 ＜ a ＜ 4$ 时, $40(4 - a) + 900 = 1\ 000$, 解得 $a = 1.5$;
当 $4 - a = 0$ 时, $w = 900$, 不符合题意, 舍去;
当 $4 - a ＜ 0$, 即 $4 ＜ a ≤ 5$ 时, $50(4 - a) + 900 = 1\ 000$, 解得 $a = 2$(舍去).
综上所述,$a$ 的值为 $1.5$.
【解析】(1)设工厂计划生产A零件x个,B零件y个,由题意,得
$\begin{cases} 3x + 2y = 490, \\ 3x - 2y = 50, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 90, \\ y = 110. \end{cases}$
故答案为90,110.
(2)①由题意,得 $w = 10m + 6(150 - m) = 4m + 900$.
$\because$ 调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍,且B零件共生产了110个,
$\therefore \begin{cases} 150 - m ≥ 2m, \\ 150 - m ≤ 110, \end{cases}$ 解得 $40 ≤ m ≤ 50$,
$\therefore w$ 关于 $m$ 的函数关系式为 $w = 4m + 900(40 ≤ m ≤ 50, m$ 为整数).
②由题意,得 $w = (10 - a)m + 6(150 - m) = (4 - a)m + 900$.
$\because w$ 的最小值为 $1\ 000, 40 ≤ m ≤ 50$,
$\therefore$ 当 $4 - a ＞ 0$, 即 $0 ＜ a ＜ 4$ 时, $40(4 - a) + 900 = 1\ 000$, 解得 $a = 1.5$;
当 $4 - a = 0$ 时, $w = 900$, 不符合题意, 舍去;
当 $4 - a ＜ 0$, 即 $4 ＜ a ≤ 5$ 时, $50(4 - a) + 900 = 1\ 000$, 解得 $a = 2$(舍去).
综上所述,$a$ 的值为 $1.5$.
解析
【分析】
第(1)问需根据生产A、B零件的总钢材量，以及A零件用钢量比B零件多50千克这两个等量关系，设未知数建立二元一次方程组求解；第(2)问①，先根据总运费的计算方式列出一次函数，再结合“调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍”和“B零件总数为110个”这两个限制条件，列出不等式组确定m的取值范围；第(2)问②，调整A零件的运费后得到新的总运费函数，根据一次函数的增减性，分情况讨论系数的正负，找到函数最小值对应的m值，代入函数求解a，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)设工厂计划生产A零件$ x $个，B零件$ y $个，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y = 490 \\3x - 2y = 50\end{cases}$
两式相加得$ 6x = 540 $，解得$ x = 90 $，将$ x = 90 $代入$ 3x + 2y = 490 $，得$ 270 + 2y = 490 $，解得$ y = 110 $。
(2)①已知调出A零件$ m $个，则调出B零件$ (150 - m) $个，总运费$ w = 10m + 6(150 - m) = 4m + 900 $。
根据“调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍”且“B零件共生产110个”，列不等式组：
$\begin{cases}150 - m ≥ 2m \\150 - m ≤ 110\end{cases}$
解第一个不等式得$ m ≤ 50 $，解第二个不等式得$ m ≥ 40 $，结合$ m $为整数，得$ m $的取值范围是$ 40 ≤ m ≤ 50 $（$ m $为整数）。因此$ w $关于$ m $的函数关系式为$ w = 4m + 900 $（$ 40 ≤ m ≤ 50 $，$ m $为整数）。
②A零件优惠后运费为$ (10 - a) $元/个，总运费$ w = (10 - a)m + 6(150 - m) = (4 - a)m + 900 $。
已知$ w $最小值为1000元，$ 40 ≤ m ≤ 50 $，分情况讨论：
当$ 4 - a ＞ 0 $（即$ 0 ＜ a ＜ 4 $）时，$ w $随$ m $增大而增大，最小值在$ m = 40 $时取得，代入得$ 40(4 - a) + 900 = 1000 $，解得$ a = 1.5 $，符合条件；
当$ 4 - a = 0 $时，$ w = 900 $，不符合最小值要求，舍去；
当$ 4 - a ＜ 0 $（即$ 4 ＜ a ≤ 5 $）时，$ w $随$ m $增大而减小，最小值在$ m = 50 $时取得，代入得$ 50(4 - a) + 900 = 1000 $，解得$ a = 2 $，与$ 4 - a ＜ 0 $矛盾，舍去。
综上，$ a = 1.5 $。
【答案】
(1)90，110；(2)①$ w = 4m + 900 $（$ 40 ≤ m ≤ 50 $，$ m $为整数）；②$ a = 1.5 $
【知识点】
二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生产与运输的实际场景，综合考查方程、不等式、一次函数的知识，需理清各量关系，第(2)问②需根据一次函数增减性分类讨论，对学生综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
第(1)问需根据生产A、B零件的总钢材量，以及A零件用钢量比B零件多50千克这两个等量关系，设未知数建立二元一次方程组求解；第(2)问①，先根据总运费的计算方式列出一次函数，再结合“调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍”和“B零件总数为110个”这两个限制条件，列出不等式组确定m的取值范围；第(2)问②，调整A零件的运费后得到新的总运费函数，根据一次函数的增减性，分情况讨论系数的正负，找到函数最小值对应的m值，代入函数求解a，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)设工厂计划生产A零件$ x $个，B零件$ y $个，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y = 490 \\3x - 2y = 50\end{cases}$
两式相加得$ 6x = 540 $，解得$ x = 90 $，将$ x = 90 $代入$ 3x + 2y = 490 $，得$ 270 + 2y = 490 $，解得$ y = 110 $。
(2)①已知调出A零件$ m $个，则调出B零件$ (150 - m) $个，总运费$ w = 10m + 6(150 - m) = 4m + 900 $。
根据“调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍”且“B零件共生产110个”，列不等式组：
$\begin{cases}150 - m ≥ 2m \\150 - m ≤ 110\end{cases}$
解第一个不等式得$ m ≤ 50 $，解第二个不等式得$ m ≥ 40 $，结合$ m $为整数，得$ m $的取值范围是$ 40 ≤ m ≤ 50 $（$ m $为整数）。因此$ w $关于$ m $的函数关系式为$ w = 4m + 900 $（$ 40 ≤ m ≤ 50 $，$ m $为整数）。
②A零件优惠后运费为$ (10 - a) $元/个，总运费$ w = (10 - a)m + 6(150 - m) = (4 - a)m + 900 $。
已知$ w $最小值为1000元，$ 40 ≤ m ≤ 50 $，分情况讨论：
当$ 4 - a ＞ 0 $（即$ 0 ＜ a ＜ 4 $）时，$ w $随$ m $增大而增大，最小值在$ m = 40 $时取得，代入得$ 40(4 - a) + 900 = 1000 $，解得$ a = 1.5 $，符合条件；
当$ 4 - a = 0 $时，$ w = 900 $，不符合最小值要求，舍去；
当$ 4 - a ＜ 0 $（即$ 4 ＜ a ≤ 5 $）时，$ w $随$ m $增大而减小，最小值在$ m = 50 $时取得，代入得$ 50(4 - a) + 900 = 1000 $，解得$ a = 2 $，与$ 4 - a ＜ 0 $矛盾，舍去。
综上，$ a = 1.5 $。
【答案】
(1)90，110；(2)①$ w = 4m + 900 $（$ 40 ≤ m ≤ 50 $，$ m $为整数）；②$ a = 1.5 $
【知识点】
二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生产与运输的实际场景，综合考查方程、不等式、一次函数的知识，需理清各量关系，第(2)问②需根据一次函数增减性分类讨论，对学生综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
答案
当前提供的图像无有效数学试题相关内容，无法进行解答，请补充上传清晰完整的试题内容后再提问。
解析
【分析】当前提供的图像无有效数学试题相关内容，无法提取题目信息，无法进行解答，需补充上传清晰完整的试题内容后再提问。
【解析】由于图像中无有效数学试题内容，无法明确题目考查方向和解题要求，无法进行解题，故无法给出答案。
【答案】当前提供的图像无有效数学试题相关内容，无法进行解答，请补充上传清晰完整的试题内容后再提问。
【知识点】无
【点评】无有效试题，无法完成解答。
【难度系数】0.0
【解析】由于图像中无有效数学试题内容，无法明确题目考查方向和解题要求，无法进行解题，故无法给出答案。
【答案】当前提供的图像无有效数学试题相关内容，无法进行解答，请补充上传清晰完整的试题内容后再提问。
【知识点】无
【点评】无有效试题，无法完成解答。
【难度系数】0.0
23. (10 分)如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2,点 P,Q 分别在边 BC,CD 上,$AP ⊥ BQ$ 于点 O.
(1)求证:$AP = BQ$;
(2)如图 2,以 OB 为边作正方形 OBMN,连接 DN,若$∠ BAP = 30°$,求 DN 的长;
(3)在(2)的条件下,将正方形 OBMN 绕点 B 旋转至图 3 的位置,连接 AM,CO,求$AM^2 + CO^2$的值.
(1)求证:$AP = BQ$;
(2)如图 2,以 OB 为边作正方形 OBMN,连接 DN,若$∠ BAP = 30°$,求 DN 的长;
(3)在(2)的条件下,将正方形 OBMN 绕点 B 旋转至图 3 的位置,连接 AM,CO,求$AM^2 + CO^2$的值.
答案
23.【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理,添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB = BC, ∠ ABP = ∠ C = 90°$.
$\because AP ⊥ BQ, \therefore ∠ AOB = 90°$,
$\therefore ∠ ABO + ∠ BAP = ∠ ABO + ∠ CBQ = 90°$,
$\therefore ∠ BAP = ∠ CBQ$.
在 $△ ABP$ 和 $△ BCQ$ 中,
$\because ∠ ABP = ∠ C, AB = BC, ∠ BAP = ∠ CBQ$,
$\therefore △ ABP ≌ △ BCQ(\mathrm{ASA}), \therefore AP = BQ$.
(2)如题图2,连接BN,BD,过点N作$NH ⊥ BD$于点H.
$\because AP ⊥ BQ, \therefore ∠ AOB = 90°$.
$\because ∠ BAP = 30°, AB = 2, \therefore BO = \frac{1}{2}AB = 1$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $BMNO$ 都是正方形,
$\therefore ∠ BAD = ∠ M = 90°, AB = AD = 2, BM = MN = BO = 1, \therefore ∠ NBO = ∠ CBD = 45°, BN = \sqrt{BM^2 + MN^2} = \sqrt{2}, BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = 2\sqrt{2}$.
由(1)知,$△ ABP ≌ △ BCQ$,则 $∠ CBQ = ∠ BAP = 30°$,
$\therefore ∠ NBC = ∠ CBD - ∠ CBQ = 15°$,
$\therefore ∠ DBN = ∠ NBC + ∠ CBD = 60°$, 即 $∠ NBH = 60°$.
$\because ∠ BHN = 90°, \therefore ∠ BNH = 90° - ∠ NBH = 30°$,
$\therefore BH = \frac{1}{2}BN = \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore NH = \sqrt{BN^2 - BH^2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$,
$\therefore DH = BD - BH = \frac{3\sqrt{2}}{2}, \therefore DN = \sqrt{DH^2 + NH^2} = \sqrt{6}$.
(3)如题图3,过点M作$ME ⊥ AB$交AB的延长线于点E,过点O作$OF ⊥ BC$于点F,则$∠ MEB = ∠ OFB = 90°$.
$\because ∠ MBO = ∠ EBF = 90°, \therefore ∠ MBE = ∠ OBF$.
在 $△ MBE$ 和 $△ OBF$ 中,
$\because ∠ MEB = ∠ OFB, ∠ MBE = ∠ OBF, BM = BO$,
$\therefore △ MBE ≌ △ OBF(\mathrm{AAS}). \therefore BE = BF, ME = OF$.
设 $BE = BF = x, ME = OF = y$, 则 $AE = 2 + x, CF = 2 - x$.
$\because BE^2 + ME^2 = BM^2, BM = 1, \therefore x^2 + y^2 = 1$,
$\therefore AM^2 + CO^2 = AE^2 + ME^2 + CF^2 + OF^2$
$= (2 + x)^2 + y^2 + (2 - x)^2 + y^2$
$= 4 + 4x + x^2 + y^2 + 4 - 4x + x^2 + y^2$
$= 2(x^2 + y^2) + 8$
$= 10$.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB = BC, ∠ ABP = ∠ C = 90°$.
$\because AP ⊥ BQ, \therefore ∠ AOB = 90°$,
$\therefore ∠ ABO + ∠ BAP = ∠ ABO + ∠ CBQ = 90°$,
$\therefore ∠ BAP = ∠ CBQ$.
在 $△ ABP$ 和 $△ BCQ$ 中,
$\because ∠ ABP = ∠ C, AB = BC, ∠ BAP = ∠ CBQ$,
$\therefore △ ABP ≌ △ BCQ(\mathrm{ASA}), \therefore AP = BQ$.
(2)如题图2,连接BN,BD,过点N作$NH ⊥ BD$于点H.
$\because AP ⊥ BQ, \therefore ∠ AOB = 90°$.
$\because ∠ BAP = 30°, AB = 2, \therefore BO = \frac{1}{2}AB = 1$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $BMNO$ 都是正方形,
$\therefore ∠ BAD = ∠ M = 90°, AB = AD = 2, BM = MN = BO = 1, \therefore ∠ NBO = ∠ CBD = 45°, BN = \sqrt{BM^2 + MN^2} = \sqrt{2}, BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = 2\sqrt{2}$.
由(1)知,$△ ABP ≌ △ BCQ$,则 $∠ CBQ = ∠ BAP = 30°$,
$\therefore ∠ NBC = ∠ CBD - ∠ CBQ = 15°$,
$\therefore ∠ DBN = ∠ NBC + ∠ CBD = 60°$, 即 $∠ NBH = 60°$.
$\because ∠ BHN = 90°, \therefore ∠ BNH = 90° - ∠ NBH = 30°$,
$\therefore BH = \frac{1}{2}BN = \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore NH = \sqrt{BN^2 - BH^2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$,
$\therefore DH = BD - BH = \frac{3\sqrt{2}}{2}, \therefore DN = \sqrt{DH^2 + NH^2} = \sqrt{6}$.
(3)如题图3,过点M作$ME ⊥ AB$交AB的延长线于点E,过点O作$OF ⊥ BC$于点F,则$∠ MEB = ∠ OFB = 90°$.
$\because ∠ MBO = ∠ EBF = 90°, \therefore ∠ MBE = ∠ OBF$.
在 $△ MBE$ 和 $△ OBF$ 中,
$\because ∠ MEB = ∠ OFB, ∠ MBE = ∠ OBF, BM = BO$,
$\therefore △ MBE ≌ △ OBF(\mathrm{AAS}). \therefore BE = BF, ME = OF$.
设 $BE = BF = x, ME = OF = y$, 则 $AE = 2 + x, CF = 2 - x$.
$\because BE^2 + ME^2 = BM^2, BM = 1, \therefore x^2 + y^2 = 1$,
$\therefore AM^2 + CO^2 = AE^2 + ME^2 + CF^2 + OF^2$
$= (2 + x)^2 + y^2 + (2 - x)^2 + y^2$
$= 4 + 4x + x^2 + y^2 + 4 - 4x + x^2 + y^2$
$= 2(x^2 + y^2) + 8$
$= 10$.
解析
【分析】
本题是正方形相关的几何证明与计算问题，分三小问逐步解决：
(1) 要证AP=BQ，利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合AP⊥BQ得到角相等，通过ASA证明△ABP≌△BCQ，从而得对应边相等；
(2) 已知∠BAP=30°，先在Rt△ABO中求出BO的长度，再利用正方形的性质得到相关线段长度，连接BD，通过角度计算得到∠DBN的度数，作辅助线NH⊥BD，结合直角三角形的性质和勾股定理计算DN的长；
(3) 正方形OBMN旋转后，通过作辅助线构造全等三角形△MBE≌△OBF，利用全等的性质得到线段关系，再结合勾股定理表示AM²和CO²，化简计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠C=90°，
∵AP⊥BQ，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO + ∠BAP=90°，∠ABO + ∠CBQ=90°，
∴∠BAP=∠CBQ，
在△ABP和△BCQ中，
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠C \\AB=BC \\∠BAP=∠CBQ\end{array} $
∴△ABP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
(2) 解：连接BN，BD，过点N作NH⊥BD于点H，
∵AP⊥BQ，
∴∠AOB=90°，
∵∠BAP=30°，AB=2，
∴BO=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵四边形ABCD和四边形OBMN都是正方形，
∴AB=AD=2，BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2}$=$\sqrt{2^2 + 2^2}$=2$\sqrt{2}$，
BM=BO=1，BN=$\sqrt{BM^2 + MN^2}$=$\sqrt{1^2 + 1^2}$=$\sqrt{2}$，∠CBD=45°，
由(1)知∠CBQ=∠BAP=30°，
∴∠NBC=∠CBD - ∠CBQ=45° - 30°=15°，
∴∠DBN=∠NBC + ∠CBD=15° + 45°=60°，即∠NBH=60°，
在Rt△BNH中，∠BNH=90° - 60°=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
NH=$\sqrt{BN^2 - BH^2}$=$\sqrt{(\sqrt{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴DH=BD - BH=2$\sqrt{2}$ - $\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△DNH中，DN=$\sqrt{DH^2 + NH^2}$=$\sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{6}}{2})^2}$=$\sqrt{6}$；
(3) 解：过点M作ME⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥BC于点F，
则∠MEB=∠OFB=90°，
∵∠MBO=∠EBF=90°，
∴∠MBE + ∠EBO=∠OBF + ∠EBO=90°，
∴∠MBE=∠OBF，
在△MBE和△OBF中，
$\{\begin{array}{l}∠MEB=∠OFB \\∠MBE=∠OBF \\BM=BO\end{array} $
∴△MBE≌△OBF(AAS)，
∴BE=BF，ME=OF，
设BE=BF=x，ME=OF=y，
∵BM=1，在Rt△MBE中，x² + y²=1，
又
∵AE=AB + BE=2 + x，CF=BC - BF=2 - x，
∴AM² + CO²=AE² + ME² + CF² + OF²
=(2 + x)² + y² + (2 - x)² + y²
=4 + 4x + x² + y² + 4 - 4x + x² + y²
=2(x² + y²) + 8
=2×1 + 8=10；
【答案】
(1) 证明见解析；(2) DN的长为$\sqrt{6}$；(3) $AM^2 + CO^2$的值为10；
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质，通过全等三角形的证明解决线段相等问题，结合直角三角形性质和勾股定理计算线段长度，旋转问题中构造全等三角形是关键，需要学生具备较强的几何分析能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
本题是正方形相关的几何证明与计算问题，分三小问逐步解决：
(1) 要证AP=BQ，利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合AP⊥BQ得到角相等，通过ASA证明△ABP≌△BCQ，从而得对应边相等；
(2) 已知∠BAP=30°，先在Rt△ABO中求出BO的长度，再利用正方形的性质得到相关线段长度，连接BD，通过角度计算得到∠DBN的度数，作辅助线NH⊥BD，结合直角三角形的性质和勾股定理计算DN的长；
(3) 正方形OBMN旋转后，通过作辅助线构造全等三角形△MBE≌△OBF，利用全等的性质得到线段关系，再结合勾股定理表示AM²和CO²，化简计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠C=90°，
∵AP⊥BQ，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO + ∠BAP=90°，∠ABO + ∠CBQ=90°，
∴∠BAP=∠CBQ，
在△ABP和△BCQ中，
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠C \\AB=BC \\∠BAP=∠CBQ\end{array} $
∴△ABP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
(2) 解：连接BN，BD，过点N作NH⊥BD于点H，
∵AP⊥BQ，
∴∠AOB=90°，
∵∠BAP=30°，AB=2，
∴BO=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵四边形ABCD和四边形OBMN都是正方形，
∴AB=AD=2，BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2}$=$\sqrt{2^2 + 2^2}$=2$\sqrt{2}$，
BM=BO=1，BN=$\sqrt{BM^2 + MN^2}$=$\sqrt{1^2 + 1^2}$=$\sqrt{2}$，∠CBD=45°，
由(1)知∠CBQ=∠BAP=30°，
∴∠NBC=∠CBD - ∠CBQ=45° - 30°=15°，
∴∠DBN=∠NBC + ∠CBD=15° + 45°=60°，即∠NBH=60°，
在Rt△BNH中，∠BNH=90° - 60°=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
NH=$\sqrt{BN^2 - BH^2}$=$\sqrt{(\sqrt{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴DH=BD - BH=2$\sqrt{2}$ - $\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△DNH中，DN=$\sqrt{DH^2 + NH^2}$=$\sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{6}}{2})^2}$=$\sqrt{6}$；
(3) 解：过点M作ME⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥BC于点F，
则∠MEB=∠OFB=90°，
∵∠MBO=∠EBF=90°，
∴∠MBE + ∠EBO=∠OBF + ∠EBO=90°，
∴∠MBE=∠OBF，
在△MBE和△OBF中，
$\{\begin{array}{l}∠MEB=∠OFB \\∠MBE=∠OBF \\BM=BO\end{array} $
∴△MBE≌△OBF(AAS)，
∴BE=BF，ME=OF，
设BE=BF=x，ME=OF=y，
∵BM=1，在Rt△MBE中，x² + y²=1，
又
∵AE=AB + BE=2 + x，CF=BC - BF=2 - x，
∴AM² + CO²=AE² + ME² + CF² + OF²
=(2 + x)² + y² + (2 - x)² + y²
=4 + 4x + x² + y² + 4 - 4x + x² + y²
=2(x² + y²) + 8
=2×1 + 8=10；
【答案】
(1) 证明见解析；(2) DN的长为$\sqrt{6}$；(3) $AM^2 + CO^2$的值为10；
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质，通过全等三角形的证明解决线段相等问题，结合直角三角形性质和勾股定理计算线段长度，旋转问题中构造全等三角形是关键，需要学生具备较强的几何分析能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
