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24. (12 分)如图,直线 $y=-\sqrt{3}x+4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与直线 $y=\sqrt{3}x$ 交于点 $P$.
(1)求点 $P$ 的坐标;
(2)点 $Q$ 从原点 $O$ 出发,以每秒 1 个单位长度的速度在线段 $OA$ 上向点 $A$ 运动,连接 $PQ$,设运动时间为 $t$ 秒,$△ APQ$ 的面积为 $S$,求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式,并写出 $t$ 的取值范围;
(3)点 $M$ 在 $y$ 轴上,点 $N$ 在坐标平面内,若以 $O,M,N,P$ 为顶点的四边形是菱形,请直接写出点 $N$ 的坐标.
(1)求点 $P$ 的坐标;
(2)点 $Q$ 从原点 $O$ 出发,以每秒 1 个单位长度的速度在线段 $OA$ 上向点 $A$ 运动,连接 $PQ$,设运动时间为 $t$ 秒,$△ APQ$ 的面积为 $S$,求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式,并写出 $t$ 的取值范围;
(3)点 $M$ 在 $y$ 轴上,点 $N$ 在坐标平面内,若以 $O,M,N,P$ 为顶点的四边形是菱形,请直接写出点 $N$ 的坐标.
答案
24.【点拨】本题考查菱形的性质、平移的性质及一次函数的图象与性质,掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.
【解析】(1)当 $-\sqrt{3}x + 4 = \sqrt{3}x$ 时, 解得 $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}, \therefore P( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 )$.
(2)对于直线 $y = -\sqrt{3}x + 4$, 当 $y = 0$ 时, $-\sqrt{3}x + 4 = 0$, 解得 $x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore A( \frac{4\sqrt{3}}{3}, 0 ), \therefore OA = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
$\because OQ = t, \therefore AQ = OA - OQ = \frac{4\sqrt{3}}{3} - t$,
$\therefore S = \frac{1}{2}AQ · y_P = \frac{1}{2} × ( \frac{4\sqrt{3}}{3} - t ) × 2 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - t$.
$\because$ 点 $Q$ 在线段 $OA$ 上运动, $\therefore 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore S$ 关于 $t$ 的函数关系式为 $S = \frac{4\sqrt{3}}{3} - t( 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3} )$.
(3)设 $M(0,m), N(x,y)$.
①当 $OM = OP$ 时,
$m^2 = ( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + 2^2 = \frac{16}{3}$, 解得 $m = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ 或 $m = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore M( 0, \frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 或 $( 0, -\frac{4\sqrt{3}}{3} )$.
当 $M( 0, \frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 时, 将点 $P$ 向上平移 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 个单位长度得到点 $N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} )$; 当 $M( 0, -\frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 时, 将点 $P$ 向下平移 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 个单位长度得到点 $N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} )$;
②当 $OM = MP$ 时,
$m^2 = ( 0 - \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + (m - 2)^2$, 解得 $m = \frac{4}{3}, \therefore M( 0, \frac{4}{3} )$.
$\because$ 点 $M$ 向下平移 $\frac{4}{3}$ 个单位长度得到点 $O$,
$\therefore$ 点 $P$ 向下平移 $\frac{4}{3}$ 个单位长度得到点 $N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} )$;
③当 $MP = OP$ 时,
$( 0 - \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + (m - 2)^2 = ( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + 2^2$, 解得 $m = 0$(舍去) 或 $m = 4, \therefore M(0,4)$.
$\because$ 点 $P$ 向左平移 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 个单位长度, 再向下平移 2 个单位长度得到点 $O$,
$\therefore$ 点 $M$ 向左平移 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 个单位长度, 再向下平移 2 个单位长度得到点 $N( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 )$.
综上所述, 点 $N$ 的坐标为 $( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 或 $( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 或 $( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} )$ 或 $( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 )$.
【解析】(1)当 $-\sqrt{3}x + 4 = \sqrt{3}x$ 时, 解得 $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}, \therefore P( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 )$.
(2)对于直线 $y = -\sqrt{3}x + 4$, 当 $y = 0$ 时, $-\sqrt{3}x + 4 = 0$, 解得 $x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore A( \frac{4\sqrt{3}}{3}, 0 ), \therefore OA = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
$\because OQ = t, \therefore AQ = OA - OQ = \frac{4\sqrt{3}}{3} - t$,
$\therefore S = \frac{1}{2}AQ · y_P = \frac{1}{2} × ( \frac{4\sqrt{3}}{3} - t ) × 2 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - t$.
$\because$ 点 $Q$ 在线段 $OA$ 上运动, $\therefore 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore S$ 关于 $t$ 的函数关系式为 $S = \frac{4\sqrt{3}}{3} - t( 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3} )$.
(3)设 $M(0,m), N(x,y)$.
①当 $OM = OP$ 时,
$m^2 = ( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + 2^2 = \frac{16}{3}$, 解得 $m = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ 或 $m = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore M( 0, \frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 或 $( 0, -\frac{4\sqrt{3}}{3} )$.
当 $M( 0, \frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 时, 将点 $P$ 向上平移 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 个单位长度得到点 $N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} )$; 当 $M( 0, -\frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 时, 将点 $P$ 向下平移 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 个单位长度得到点 $N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} )$;
②当 $OM = MP$ 时,
$m^2 = ( 0 - \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + (m - 2)^2$, 解得 $m = \frac{4}{3}, \therefore M( 0, \frac{4}{3} )$.
$\because$ 点 $M$ 向下平移 $\frac{4}{3}$ 个单位长度得到点 $O$,
$\therefore$ 点 $P$ 向下平移 $\frac{4}{3}$ 个单位长度得到点 $N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} )$;
③当 $MP = OP$ 时,
$( 0 - \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + (m - 2)^2 = ( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + 2^2$, 解得 $m = 0$(舍去) 或 $m = 4, \therefore M(0,4)$.
$\because$ 点 $P$ 向左平移 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 个单位长度, 再向下平移 2 个单位长度得到点 $O$,
$\therefore$ 点 $M$ 向左平移 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 个单位长度, 再向下平移 2 个单位长度得到点 $N( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 )$.
综上所述, 点 $N$ 的坐标为 $( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 或 $( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} )$ 或 $( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} )$ 或 $( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 )$.
解析
【分析】
1. 求点P坐标：P是两条直线的交点，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可得到P的横、纵坐标；
2. 求△APQ的面积：先求直线与x轴交点A的坐标，得到OA长度，结合Q的运动时间t算出AQ的长度，△APQ以AQ为底、P点纵坐标为高，代入三角形面积公式，再根据Q在线段OA上确定t的取值范围；
3. 求菱形顶点N的坐标：以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形，需分三种情况讨论（OM=OP、OM=MP、MP=OP），利用菱形对边平行且相等的性质，结合坐标平移或距离公式，求出M点坐标后，再推导N点坐标。
【解析】
(1) 联立直线$ y=-\sqrt{3}x+4 $与$ y=\sqrt{3}x $，得：
$ -\sqrt{3}x + 4 = \sqrt{3}x $，解得$ x=\frac{2\sqrt{3}}{3} $，代入$ y=\sqrt{3}x $得$ y=2 $，故$ P( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $。
(2) 对于直线$ y=-\sqrt{3}x+4 $，令$ y=0 $，解得$ x=\frac{4\sqrt{3}}{3} $，故$ A( \frac{4\sqrt{3}}{3}, 0 ) $，则$ OA=\frac{4\sqrt{3}}{3} $。
Q运动t秒，$ OQ=t $，故$ AQ=OA-OQ=\frac{4\sqrt{3}}{3} - t $。
△APQ的高为P点纵坐标2，因此面积$ S=\frac{1}{2} × AQ × 2 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - t $。
因Q在线段OA上，故$ 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3} $，即$ S=\frac{4\sqrt{3}}{3} - t ( 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3} ) $。
(3) 设$ M(0,m) $，$ N(x,y) $，分三种情况讨论：
① 当$ OM=OP $时：
$ OP=\sqrt{( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + 2^2}=\frac{4\sqrt{3}}{3} $，故$ |m|=\frac{4\sqrt{3}}{3} $，得$ m=\pm \frac{4\sqrt{3}}{3} $。
若$ M( 0, \frac{4\sqrt{3}}{3} ) $，则N由P向上平移$ \frac{4\sqrt{3}}{3} $个单位得：$ N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2+\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $；
若$ M( 0, -\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $，则N由P向下平移$ \frac{4\sqrt{3}}{3} $个单位得：$ N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2-\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $。
② 当$ OM=MP $时：
$ OM^2=m^2 $，$ MP^2=( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + (m-2)^2 $，故$ m^2=\frac{4}{3} + (m-2)^2 $，解得$ m=\frac{4}{3} $，即$ M( 0, \frac{4}{3} ) $。
N由P向下平移$ \frac{4}{3} $个单位得：$ N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} ) $。
③ 当$ MP=OP $时：
$ MP^2=\frac{16}{3} $，故$ \frac{4}{3} + (m-2)^2=\frac{16}{3} $，解得$ m=4 $（$ m=0 $舍去），即$ M(0,4) $。
N由M向左平移$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $个单位、向下平移2个单位得：$ N( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $。
综上，点N的坐标为$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2+\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $、$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2-\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $、$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} ) $、$ ( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $。
【答案】
(1) $ P( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $；
(2) $ S=\frac{4\sqrt{3}}{3} - t ( 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3} ) $；
(3) $ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2+\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $、$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2-\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $、$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} ) $、$ ( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $。
【知识点】
一次函数交点、三角形面积、菱形性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，分三小问由易到难，前两问考查基础的一次函数应用与三角形面积计算，第三问需运用分类讨论思想分析菱形的不同构成情况，易漏解，要求学生掌握坐标与线段的转化、菱形的性质。
【难度系数】
0.5
1. 求点P坐标：P是两条直线的交点，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可得到P的横、纵坐标；
2. 求△APQ的面积：先求直线与x轴交点A的坐标，得到OA长度，结合Q的运动时间t算出AQ的长度，△APQ以AQ为底、P点纵坐标为高，代入三角形面积公式，再根据Q在线段OA上确定t的取值范围；
3. 求菱形顶点N的坐标：以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形，需分三种情况讨论（OM=OP、OM=MP、MP=OP），利用菱形对边平行且相等的性质，结合坐标平移或距离公式，求出M点坐标后，再推导N点坐标。
【解析】
(1) 联立直线$ y=-\sqrt{3}x+4 $与$ y=\sqrt{3}x $，得：
$ -\sqrt{3}x + 4 = \sqrt{3}x $，解得$ x=\frac{2\sqrt{3}}{3} $，代入$ y=\sqrt{3}x $得$ y=2 $，故$ P( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $。
(2) 对于直线$ y=-\sqrt{3}x+4 $，令$ y=0 $，解得$ x=\frac{4\sqrt{3}}{3} $，故$ A( \frac{4\sqrt{3}}{3}, 0 ) $，则$ OA=\frac{4\sqrt{3}}{3} $。
Q运动t秒，$ OQ=t $，故$ AQ=OA-OQ=\frac{4\sqrt{3}}{3} - t $。
△APQ的高为P点纵坐标2，因此面积$ S=\frac{1}{2} × AQ × 2 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - t $。
因Q在线段OA上，故$ 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3} $，即$ S=\frac{4\sqrt{3}}{3} - t ( 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3} ) $。
(3) 设$ M(0,m) $，$ N(x,y) $，分三种情况讨论：
① 当$ OM=OP $时：
$ OP=\sqrt{( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + 2^2}=\frac{4\sqrt{3}}{3} $，故$ |m|=\frac{4\sqrt{3}}{3} $，得$ m=\pm \frac{4\sqrt{3}}{3} $。
若$ M( 0, \frac{4\sqrt{3}}{3} ) $，则N由P向上平移$ \frac{4\sqrt{3}}{3} $个单位得：$ N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2+\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $；
若$ M( 0, -\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $，则N由P向下平移$ \frac{4\sqrt{3}}{3} $个单位得：$ N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2-\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $。
② 当$ OM=MP $时：
$ OM^2=m^2 $，$ MP^2=( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 + (m-2)^2 $，故$ m^2=\frac{4}{3} + (m-2)^2 $，解得$ m=\frac{4}{3} $，即$ M( 0, \frac{4}{3} ) $。
N由P向下平移$ \frac{4}{3} $个单位得：$ N( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} ) $。
③ 当$ MP=OP $时：
$ MP^2=\frac{16}{3} $，故$ \frac{4}{3} + (m-2)^2=\frac{16}{3} $，解得$ m=4 $（$ m=0 $舍去），即$ M(0,4) $。
N由M向左平移$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $个单位、向下平移2个单位得：$ N( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $。
综上，点N的坐标为$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2+\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $、$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2-\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $、$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} ) $、$ ( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $。
【答案】
(1) $ P( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $；
(2) $ S=\frac{4\sqrt{3}}{3} - t ( 0 ≤ t ≤ \frac{4\sqrt{3}}{3} ) $；
(3) $ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2+\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $、$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 2-\frac{4\sqrt{3}}{3} ) $、$ ( \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3} ) $、$ ( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2 ) $。
【知识点】
一次函数交点、三角形面积、菱形性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，分三小问由易到难，前两问考查基础的一次函数应用与三角形面积计算，第三问需运用分类讨论思想分析菱形的不同构成情况，易漏解，要求学生掌握坐标与线段的转化、菱形的性质。
【难度系数】
0.5
