20. (8分)如图1,在平面直角坐标系中,直线$y=\frac{3}{4}x - 6$与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线$y = kx - 1$交于点P,直线$y = kx - 1$与y轴交于点C.
(1)如图1,若点P的坐标为$(4, -3)$,直接写出不等式$kx - 1 ≥ \frac{3}{4}x - 6$的解集为________;
(2)如图2,平移线段AB至DC,点B与点C对应,点A与点D对应,求直线CD的解析式;
(3)在(2)的条件下,若$△ PBC$的面积是平行四边形ABCD面积的$\frac{2}{5}$,请直接写出点P的坐标.

20.【点拨】本题考查根据交点坐标求不等式的解集、一次函数的图象与性质、平移的性质及三角形面积公式,掌握平移的性质是解题的关键.
【解析】(1)$\because$ 点 $P$ 的坐标为 $(4,-3), \therefore$ 结合题图 1 可知不等式 $kx - 1 ≥ \frac{3}{4}x - 6$ 的解集为 $x ≤ 4$. 故答案为 $x ≤ 4$.
(2)$\because$ 直线 $y = kx - 1$ 与 $y$ 轴交于点 $C, \therefore C(0,-1)$.
由平移,得 $AB // CD$,
$\therefore$ 设直线 $CD$ 的解析式为 $y = \frac{3}{4}x + b$,
把 $C(0,-1)$ 代入 $y = \frac{3}{4}x + b$, 得 $b = -1$,
$\therefore$ 直线 $CD$ 的解析式为 $y = \frac{3}{4}x - 1$.
(3)$\because$ 直线 $y = \frac{3}{4}x - 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$, 与 $y$ 轴交于点 $B$,
$\therefore A(8,0), B(0,-6)$.
又 $\because C(0,-1)$,
$\therefore BC = -1 - (-6) = 5, OA = 8$,
$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $BC · OA = 5 × 8 = 40$.
$\because △ PBC$ 的面积是平行四边形 $ABCD$ 面积的 $\frac{2}{5}$,
$\therefore △ PBC$ 的面积为 $\frac{2}{5} × 40 = 16$.
$\because$ 点 $P$ 在直线 $y = \frac{3}{4}x - 6$ 上, $\therefore$ 设 $P( m, \frac{3}{4}m - 6 )$,
$\therefore \frac{1}{2} × 5 · |m| = 16$, 解得 $m = \frac{32}{5}$ 或 $m = -\frac{32}{5}$,
$\therefore P( \frac{32}{5}, -\frac{6}{5} )$ 或 $P( -\frac{32}{5}, -\frac{54}{5} )$.

【分析】
本题分为三个小问：第(1)问需利用两直线交点与不等式解集的关系，结合图像确定x的取值范围；第(2)问利用平移后直线平行、斜率相同的性质，结合C点坐标求直线CD的解析式；第(3)问先求A、B、C的坐标，计算平行四边形面积，再根据三角形面积关系列方程求解点P的坐标，核心是坐标与线段长度、面积的转化。
【解析】
(1) 已知两直线交点P的坐标为(4, -3)，不等式$kx - 1 ≥ \frac{3}{4}x - 6$的解集是直线$y = kx - 1$在直线$y = \frac{3}{4}x - 6$上方（含交点）时x的取值，结合图像可得解集为$x ≤ 4$。
(2) 直线$y = kx - 1$与y轴交于点C，令$x=0$，得$y=-1$，故$C(0, -1)$。平移后$AB // CD$，直线AB的斜率为$\frac{3}{4}$，因此设直线CD的解析式为$y = \frac{3}{4}x + b$，将$C(0, -1)$代入得$b=-1$，故直线CD的解析式为$y = \frac{3}{4}x - 1$。
(3) 对于直线$y = \frac{3}{4}x - 6$，令$y=0$，解得$x=8$，故$A(8, 0)$；令$x=0$，得$y=-6$，故$B(0, -6)$。BC的长度为$|-1 - (-6)|=5$，平行四边形ABCD的面积为$BC · OA = 5×8=40$。由题意，$△ PBC$的面积为$40×\frac{2}{5}=16$。设点P的坐标为$(m, \frac{3}{4}m - 6)$，$△ PBC$以BC为底，高为点P到y轴的距离$|m|$，根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}×5×|m|=16$，解得$|m|=\frac{32}{5}$，即$m=\frac{32}{5}$或$m=-\frac{32}{5}$。代入直线解析式得P点坐标为$(\frac{32}{5}, -\frac{6}{5})$或$(-\frac{32}{5}, -\frac{54}{5})$。
【答案】
(1)$x ≤ 4$；(2)$y = \frac{3}{4}x - 1$；(3)$(\frac{32}{5}, -\frac{6}{5})$或$(-\frac{32}{5}, -\frac{54}{5})$
【知识点】
一次函数与不等式、一次函数平移、图形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的交点、不等式解集、平移性质及图形面积计算，需要学生具备数形结合能力，将坐标转化为线段长度和面积，解题时需注意平移后直线斜率不变，以及三角形高的确定，整体难度中等。
【难度系数】
0.5

21. (8分)如图是由小正方形组成的$8×8$网格,每个小正方形的顶点叫格点,图中$A,B,C$都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)在图1中,作平行四边形$ABCD$;
(2)在图2中,作$△ ABC$关于$AC$的对称图形$△ AB'C$;
(3)在图3中,$E$是格点,在$BC$上画点$F$,使$∠ FAB = ∠ EAC$.

21.【点拨】本题考查作图——格点作图、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质.
【解析】(1)如图1所示,平行四边形$ABCD$即为所求.

(2)如图2所示,$△ AB'C$即为所求.

(3)如图3所示,点$F$即为所求.

【分析】
本题为网格中的作图题，需结合相关几何性质逐步完成：
(1) 作平行四边形时，利用“平行四边形对边平行且相等”的性质，在网格中找到格点D，使AD与BC平行且长度相等、AB与CD平行且长度相等，即可确定平行四边形；
(2) 作轴对称图形时，根据“轴对称的对应点连线被对称轴垂直平分”，找到点B关于直线AC的对称格点B'，再连接对应边得到对称三角形；
(3) 找角度相等的点时，利用网格中格点连线的角度对应关系，构造与∠EAC相等的∠FAB，在BC上确定对应格点F。
【解析】
(1) 在图1的网格中，根据平行四边形对边平行且相等，确定格点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求平行四边形；
(2) 在图2的网格中，找到点B关于直线AC的对称格点B'，连接AB'、CB'，△AB'C即为△ABC关于AC的对称图形；
(3) 在图3的BC边上，根据格点连线的角度匹配关系，找到满足∠FAB=∠EAC的格点F，点F即为所求。
【答案】
(1) 平行四边形ABCD；(2) △AB'C；(3) 点F



【知识点】格点作图、平行四边形、轴对称
【点评】本题结合网格考查基本作图，综合运用平行四边形、轴对称的性质，需要学生观察网格特点完成作图，是基础几何作图的综合应用，能锻炼学生的几何直观能力。
【难度系数】0.5