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16. 如图,在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$AB = 2\sqrt{2}$,点$D$在$BC$上,点$E$在$△ ABC$外,$BD = BE$,$∠ DBE = 30°$,$F$是$DE$的中点,连接$AF$,$CF$,则$(AF + CF)^2$的最小值是$\underline{\hspace{2em}}$.
答案
16. $16-4\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理,正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【解析】在等腰 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, AB = 2\sqrt{2}, \therefore BC = AC = 2$. 如图, 延长 $BE$ 至点 $P$, 使 $BP = BC = 2$, 连接 $AP, CP$, 过点 $P$ 作 $PH ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $H$, $PK ⊥ BC$ 于点 $K$. $\because BD = BE, \therefore ∠ BDE = ∠ BED, \therefore 180° - ∠ BDE = 180° - ∠ BED$, 即 $∠ CDF = ∠ PEF. \because F$ 是 $DE$ 的中点, $\therefore DF = EF. \because BP = BC, \therefore CD = PE$. 在 $△ CDF$ 和 $△ PEF$ 中, $\because DF = EF, ∠ CDF = ∠ PEF, CD = PE, \therefore △ CDF ≌ △ PEF(\mathrm{SAS}), \therefore CF = PF, \therefore AF + CF = AF + PF ≥ AP, \therefore AF + CF$ 的最小值为线段 $AP$ 的长, $\therefore (AF + CF)^2$ 的最小值为 $AP^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ BPK$ 中, $∠ DBE = 30°, ∠ BKP = 90°, \therefore PK = \frac{1}{2}BP = 1, \therefore BK = \sqrt{BP^2 - PK^2} = \sqrt{3}, \therefore CK = BC - BK = 2 - \sqrt{3}. \because PH ⊥ AC, PK ⊥ BC, \therefore ∠ PKC = ∠ KCH = ∠ PHC = 90°, \therefore$ 四边形 $CKPH$ 是矩形, $\therefore CK = PH = 2 - \sqrt{3}, CH = PK = 1, \therefore AH = AC + CH = 3, \therefore AP^2 = AH^2 + PH^2 = 16 - 4\sqrt{3}, \therefore (AF + CF)^2$ 的最小值是 $16 - 4\sqrt{3}$. 故答案为 $16 - 4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先，根据等腰直角三角形ABC的边长AB=2√2，可求出AC=BC=2；接着，利用F是DE中点、BD=BE的条件，通过构造全等三角形将CF转化为PF，结合“两点之间线段最短”，得出AF+CF的最小值为线段AP的长度，最后通过勾股定理计算AP²即可得到结果。
【解析】
在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2√2，由勾股定理得：AC=BC=√(AB²/2)=√[(2√2)²/2]=2。
如图，延长BE至点P，使BP=BC=2，连接AP、CP，过点P作PH⊥AC交AC的延长线于点H，PK⊥BC于点K。
∵ BD=BE，
∴ CD=BC-BD=BP-BE=PE，即CD=PE。
∵ F是DE的中点，
∴ DF=EF。
又
∵ ∠CDF=180°-∠BDE，∠PEF=180°-∠BED，且BD=BE，
∴ ∠BDE=∠BED，故∠CDF=∠PEF。
在△CDF和△PEF中：
$\{\begin{array}{l} DF=EF \\ ∠CDF=∠PEF \\ CD=PE \end{array} $
∴ △CDF≌△PEF（SAS），
∴ CF=PF。
因此，AF+CF=AF+PF，根据两点之间线段最短，AF+PF≥AP，当且仅当A、F、P三点共线时取等号，故AF+CF的最小值为AP的长度，即(AF+CF)²的最小值为AP²。
在Rt△BPK中，∠DBE=30°，BP=2，∠BKP=90°，
∴ PK=$\frac{1}{2}$BP=1，BK=$\sqrt{BP^2-PK^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，则CK=BC-BK=2-$\sqrt{3}$。
∵ PH⊥AC，PK⊥BC，∠ACB=90°，
∴ 四边形CKPH是矩形，
∴ PH=CK=2-$\sqrt{3}$，CH=PK=1，故AH=AC+CH=3。
在Rt△APH中，AP²=AH²+PH²=3² + (2-$\sqrt{3}$)²=9 + 4 -4$\sqrt{3}$ +3=16-4$\sqrt{3}$。
【答案】
16-4$\sqrt{3}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定，勾股定理
【点评】
本题通过构造全等三角形转化线段，结合两点之间线段最短求最值，关键辅助线的添加是解题核心，综合考查了几何图形的性质与最值求解，对学生的逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先，根据等腰直角三角形ABC的边长AB=2√2，可求出AC=BC=2；接着，利用F是DE中点、BD=BE的条件，通过构造全等三角形将CF转化为PF，结合“两点之间线段最短”，得出AF+CF的最小值为线段AP的长度，最后通过勾股定理计算AP²即可得到结果。
【解析】
在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2√2，由勾股定理得：AC=BC=√(AB²/2)=√[(2√2)²/2]=2。
如图，延长BE至点P，使BP=BC=2，连接AP、CP，过点P作PH⊥AC交AC的延长线于点H，PK⊥BC于点K。
∵ BD=BE，
∴ CD=BC-BD=BP-BE=PE，即CD=PE。
∵ F是DE的中点，
∴ DF=EF。
又
∵ ∠CDF=180°-∠BDE，∠PEF=180°-∠BED，且BD=BE，
∴ ∠BDE=∠BED，故∠CDF=∠PEF。
在△CDF和△PEF中：
$\{\begin{array}{l} DF=EF \\ ∠CDF=∠PEF \\ CD=PE \end{array} $
∴ △CDF≌△PEF（SAS），
∴ CF=PF。
因此，AF+CF=AF+PF，根据两点之间线段最短，AF+PF≥AP，当且仅当A、F、P三点共线时取等号，故AF+CF的最小值为AP的长度，即(AF+CF)²的最小值为AP²。
在Rt△BPK中，∠DBE=30°，BP=2，∠BKP=90°，
∴ PK=$\frac{1}{2}$BP=1，BK=$\sqrt{BP^2-PK^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，则CK=BC-BK=2-$\sqrt{3}$。
∵ PH⊥AC，PK⊥BC，∠ACB=90°，
∴ 四边形CKPH是矩形，
∴ PH=CK=2-$\sqrt{3}$，CH=PK=1，故AH=AC+CH=3。
在Rt△APH中，AP²=AH²+PH²=3² + (2-$\sqrt{3}$)²=9 + 4 -4$\sqrt{3}$ +3=16-4$\sqrt{3}$。
【答案】
16-4$\sqrt{3}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定，勾股定理
【点评】
本题通过构造全等三角形转化线段，结合两点之间线段最短求最值，关键辅助线的添加是解题核心，综合考查了几何图形的性质与最值求解，对学生的逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
17. (8分)计算:
(1)$(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$;
(2)$( \sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{6} ) ÷ \sqrt{27}$.
(1)$(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$;
(2)$( \sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{6} ) ÷ \sqrt{27}$.
答案
17.【点拨】本题考查二次根式的混合运算,掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键.
【解析】(1)$(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$
$=2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} - \sqrt{3} - 3\sqrt{5}$
$=\sqrt{3} - \sqrt{5}$.
(2)$( \sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{6} ) ÷ \sqrt{27}$
$=( 4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2} ) ÷ 3\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} ÷ 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2} ÷ 3\sqrt{3}$
$=\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6}$.
【解析】(1)$(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$
$=2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} - \sqrt{3} - 3\sqrt{5}$
$=\sqrt{3} - \sqrt{5}$.
(2)$( \sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{6} ) ÷ \sqrt{27}$
$=( 4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2} ) ÷ 3\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} ÷ 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2} ÷ 3\sqrt{3}$
$=\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6}$.
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题思路为：先将算式中的各项二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的运算法则计算：第(1)问是二次根式的加减，需合并同类二次根式；第(2)问是二次根式的除法，可利用分配律拆分计算，简化运算过程。
【解析】
(1) $(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$
先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，代入得：
$=2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} - \sqrt{3} - 3\sqrt{5}$
合并同类二次根式：
$=(2\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (2\sqrt{5}-3\sqrt{5})$
$=\sqrt{3} - \sqrt{5}$
(2) $(\sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{6}) ÷ \sqrt{27}$
先化简各二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，代入得：
$=(4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2}) ÷ 3\sqrt{3}$
利用除法分配律拆分计算：
$=4\sqrt{3} ÷ 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2} ÷ 3\sqrt{3}$
分别计算：
$=\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6}$
【答案】
(1)$\sqrt{3} - \sqrt{5}$；(2)$\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的除法运算
【点评】
本题考查二次根式的基础混合运算，核心是掌握最简二次根式的化简方法及运算律的应用，属于二次根式章节的常规基础题，能有效考查学生对二次根式运算的掌握情况。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的混合运算题，解题思路为：先将算式中的各项二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的运算法则计算：第(1)问是二次根式的加减，需合并同类二次根式；第(2)问是二次根式的除法，可利用分配律拆分计算，简化运算过程。
【解析】
(1) $(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$
先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，代入得：
$=2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} - \sqrt{3} - 3\sqrt{5}$
合并同类二次根式：
$=(2\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (2\sqrt{5}-3\sqrt{5})$
$=\sqrt{3} - \sqrt{5}$
(2) $(\sqrt{48} + \frac{1}{2}\sqrt{6}) ÷ \sqrt{27}$
先化简各二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，代入得：
$=(4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2}) ÷ 3\sqrt{3}$
利用除法分配律拆分计算：
$=4\sqrt{3} ÷ 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2} ÷ 3\sqrt{3}$
分别计算：
$=\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6}$
【答案】
(1)$\sqrt{3} - \sqrt{5}$；(2)$\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的除法运算
【点评】
本题考查二次根式的基础混合运算，核心是掌握最简二次根式的化简方法及运算律的应用，属于二次根式章节的常规基础题，能有效考查学生对二次根式运算的掌握情况。
【难度系数】
0.7
18. (8分)如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F,连接AF,BD.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ DFE$;
(2)请添加一个条件,使四边形ABDF是菱形.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ DFE$;
(2)请添加一个条件,使四边形ABDF是菱形.
答案
18.【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定,掌握相关判定与性质是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AB // CD, \therefore ∠ EAB = ∠ EDF, ∠ EBA = ∠ EFD$.
$\because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE = DE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ DFE$ 中,
$\because ∠ EBA = ∠ EFD, ∠ EAB = ∠ EDF, AE = DE$,
$\therefore △ ABE ≌ △ DFE(\mathrm{AAS})$.
(2)添加 $AB = BD, \because △ ABE ≌ △ DFE, \therefore AB = DF$.
$\because AB // DF, \therefore$ 四边形 $ABDF$ 是平行四边形.
$\because AB = BD, \therefore$ 四边形 $ABDF$ 是菱形.(答案不唯一)
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AB // CD, \therefore ∠ EAB = ∠ EDF, ∠ EBA = ∠ EFD$.
$\because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE = DE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ DFE$ 中,
$\because ∠ EBA = ∠ EFD, ∠ EAB = ∠ EDF, AE = DE$,
$\therefore △ ABE ≌ △ DFE(\mathrm{AAS})$.
(2)添加 $AB = BD, \because △ ABE ≌ △ DFE, \therefore AB = DF$.
$\because AB // DF, \therefore$ 四边形 $ABDF$ 是平行四边形.
$\because AB = BD, \therefore$ 四边形 $ABDF$ 是菱形.(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决本题，第一问需证明三角形全等：已知四边形ABCD是平行四边形，可得AB//CD，从而得到两组内错角相等，结合E是AD中点得到的AE=DE，利用AAS即可证得△ABE≌△DFE。第二问要使四边形ABDF为菱形，先由全等得到AB=DF，结合AB//DF可判定ABDF是平行四边形，再添加一组邻边相等的条件（如AB=BD），即可根据菱形的判定定理得到菱形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠EAB = ∠EDF，∠EBA = ∠EFD。
∵ E是AD的中点，
∴ AE = DE。
在△ABE和△DFE中，
$\{\begin{array}{l}∠EBA = ∠EFD \\∠EAB = ∠EDF \\AE = DE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DFE（AAS）。
(2) 添加条件：AB = BD（答案不唯一）。
理由：
∵ △ABE ≌ △DFE，
∴ AB = DF。
又
∵ AB//DF，
∴ 四边形ABDF是平行四边形。
∵ AB = BD，
∴ 四边形ABDF是菱形。
【答案】
(1) △ABE≌△DFE；(2) 添加AB=BD（答案不唯一），四边形ABDF是菱形。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定（AAS）、菱形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、菱形的相关性质与判定，解题时需先利用平行四边形的性质推导角的关系，结合中点条件完成全等证明，再通过全等得到边的关系判定平行四边形，最后添加合适条件得到菱形，注重几何知识的综合应用，是初中几何的常规题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，第一问需证明三角形全等：已知四边形ABCD是平行四边形，可得AB//CD，从而得到两组内错角相等，结合E是AD中点得到的AE=DE，利用AAS即可证得△ABE≌△DFE。第二问要使四边形ABDF为菱形，先由全等得到AB=DF，结合AB//DF可判定ABDF是平行四边形，再添加一组邻边相等的条件（如AB=BD），即可根据菱形的判定定理得到菱形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠EAB = ∠EDF，∠EBA = ∠EFD。
∵ E是AD的中点，
∴ AE = DE。
在△ABE和△DFE中，
$\{\begin{array}{l}∠EBA = ∠EFD \\∠EAB = ∠EDF \\AE = DE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DFE（AAS）。
(2) 添加条件：AB = BD（答案不唯一）。
理由：
∵ △ABE ≌ △DFE，
∴ AB = DF。
又
∵ AB//DF，
∴ 四边形ABDF是平行四边形。
∵ AB = BD，
∴ 四边形ABDF是菱形。
【答案】
(1) △ABE≌△DFE；(2) 添加AB=BD（答案不唯一），四边形ABDF是菱形。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定（AAS）、菱形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、菱形的相关性质与判定，解题时需先利用平行四边形的性质推导角的关系，结合中点条件完成全等证明，再通过全等得到边的关系判定平行四边形，最后添加合适条件得到菱形，注重几何知识的综合应用，是初中几何的常规题型。
【难度系数】
0.6
19. (8分)睡眠和饮水均是影响学生健康的重要因素. 为了解学生每日饮水量的情况,某调查组随机调查了某学校部分初中生的每日饮水量x(单位:毫升),根据饮水量分成A,B,C,D,E五组,以下是部分数据和不完整的统计图表:
请结合以上信息完成下列问题:
(1)已知总调查人数为100人,则$x=$
(2)本次抽查的学生每日饮水量的中位数落在
(3)该校有2 000名学生,根据抽样调查结果,估计该校学生每日饮水量低于1 500毫升的人数.
请结合以上信息完成下列问题:
(1)已知总调查人数为100人,则$x=$
40
,$b=$36
;(2)本次抽查的学生每日饮水量的中位数落在
C
组;(3)该校有2 000名学生,根据抽样调查结果,估计该校学生每日饮水量低于1 500毫升的人数.
答案
19.【点拨】本题考查扇形统计图、频数分布表、中位数及用样本估计总体,正确从统计图表中获取信息是解题的关键.
【解析】(1)$a = 100 × 40\% = 40, b\% = 36 ÷ 100 × 100\% = 36\% , \therefore b = 36$. 故答案为40,36.
(2)把本次调查的100名学生每日饮水量从小到大排列后,第50个和第51个数均在C组,故本次抽查的学生每日饮水量的中位数落在C组. 故答案为C.
(3)$2\ 000 × \frac{4 + 12 + 40}{100} = 1\ 120$(人).
答:估计该校学生每日饮水量低于1 500毫升的有1 120人.
【解析】(1)$a = 100 × 40\% = 40, b\% = 36 ÷ 100 × 100\% = 36\% , \therefore b = 36$. 故答案为40,36.
(2)把本次调查的100名学生每日饮水量从小到大排列后,第50个和第51个数均在C组,故本次抽查的学生每日饮水量的中位数落在C组. 故答案为C.
(3)$2\ 000 × \frac{4 + 12 + 40}{100} = 1\ 120$(人).
答:估计该校学生每日饮水量低于1 500毫升的有1 120人.
解析
【分析】
本题考查统计相关知识，解题思路如下：（1）已知总调查人数为100人，结合扇形统计图中A组的百分比可计算A组人数（即a），再根据B组频数计算其百分比，进而得到b的值；（2）中位数是将数据从小到大排列后中间位置的数，对于100个数据，中位数是第50和51个数据的平均数，计算前几组的频数和，确定这两个数据所在的组，即为中位数所在组；（3）先计算样本中每日饮水量低于1500毫升的人数占样本总人数的比例，再用该校总人数乘以该比例，估计总体中符合条件的人数。
【解析】
(1) 总调查人数为100人，A组占比40%，则$a = 100×40\% = 40$；B组频数为36，其百分比为$\frac{36}{100}×100\% = 36\%$，故$b = 36$。
(2) 将100名学生的每日饮水量从小到大排列，前两组（A、B）的频数和为$4 + 12 = 16$，前三组（A、B、C）的频数和为$16 + 40 = 56$，则第50、51个数据均在C组，因此中位数落在C组。
(3) 样本中每日饮水量低于1500毫升的人数为$4 + 12 + 40 = 56$，占比为$\frac{56}{100}$，该校总人数2000人，故估计人数为$2000×\frac{56}{100} = 1120$（人）。
【答案】
(1) 40，36；(2) C；(3) 1120人
【知识点】
扇形统计图、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题，主要考查从统计图表中提取信息的能力，以及中位数的确定、用样本估计总体的计算方法，解题关键是准确获取图表中的数据并正确计算。
【难度系数】
0.6
本题考查统计相关知识，解题思路如下：（1）已知总调查人数为100人，结合扇形统计图中A组的百分比可计算A组人数（即a），再根据B组频数计算其百分比，进而得到b的值；（2）中位数是将数据从小到大排列后中间位置的数，对于100个数据，中位数是第50和51个数据的平均数，计算前几组的频数和，确定这两个数据所在的组，即为中位数所在组；（3）先计算样本中每日饮水量低于1500毫升的人数占样本总人数的比例，再用该校总人数乘以该比例，估计总体中符合条件的人数。
【解析】
(1) 总调查人数为100人，A组占比40%，则$a = 100×40\% = 40$；B组频数为36，其百分比为$\frac{36}{100}×100\% = 36\%$，故$b = 36$。
(2) 将100名学生的每日饮水量从小到大排列，前两组（A、B）的频数和为$4 + 12 = 16$，前三组（A、B、C）的频数和为$16 + 40 = 56$，则第50、51个数据均在C组，因此中位数落在C组。
(3) 样本中每日饮水量低于1500毫升的人数为$4 + 12 + 40 = 56$，占比为$\frac{56}{100}$，该校总人数2000人，故估计人数为$2000×\frac{56}{100} = 1120$（人）。
【答案】
(1) 40，36；(2) C；(3) 1120人
【知识点】
扇形统计图、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题，主要考查从统计图表中提取信息的能力，以及中位数的确定、用样本估计总体的计算方法，解题关键是准确获取图表中的数据并正确计算。
【难度系数】
0.6
