8. 标准大气压下,食用油的沸点远高于水的沸点($100\ ℃$).为了用刻度不超过$100\ ℃$的温度计测量出某种食用油的沸点,在锅中倒入一些这种食用油,用燃气灶均匀加热,并每隔$10\ \mathrm{s}$测量一次锅中油温,测得的数据如表:

观察发现,烧了$110\ \mathrm{s}$时,油沸腾了,估计这种食用油的沸点是().

A.$200\ ℃$
B.$230\ ℃$
C.$260\ ℃$
D.$290\ ℃$

8. B 【点拨】本题考查一次函数的应用,掌握一次函数的性质是解题的关键.
【解析】由题中表格知, 时间每增加 $10\ \mathrm{s}$, 油的温度就升高 $20\ °\mathrm{C}, \therefore y = 10 + \frac{20}{10}t = 2t + 10$, 即 $y = 2t + 10$, 当 $t = 110$ 时, $y = 2 × 110 + 10 = 230, \therefore$ 估计这种食用油的沸点是 $230\ °\mathrm{C}$. 故选 B.

【分析】
要估计食用油的沸点，需先确定油温与加热时间的函数关系。观察表格数据，时间每增加10s，油温升高20℃，说明油温随时间均匀变化，属于一次函数关系。因此先设一次函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再将t=110s代入解析式计算对应的油温，即可得到沸点估计值。
【解析】
设油温$ y $与时间$ t $的函数解析式为$ y = kt + b $（$ k≠0 $）。
由表格可知，当$ t=0 $时，$ y=10 $，代入得$ b=10 $；
当$ t=10 $时，$ y=30 $，代入解析式得：$ 30 = 10k + 10 $，解得$ k=2 $。
因此函数解析式为$ y = 2t + 10 $。
将$ t=110 $代入解析式，得：$ y = 2×110 + 10 = 230 $（℃），即这种食用油的沸点估计为230℃，故选B。
【答案】B
【知识点】一次函数的应用
【点评】本题利用一次函数解决实际测量沸点的问题，核心是根据数据确定函数关系，步骤清晰，属于基础应用题，考查学生对一次函数应用的掌握。
【难度系数】0.6

9. 如图,正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O,A_{2}B_{2}C_{2}C_{1},···$按如图所示方式放置,点$A_{1},A_{2},···$在直线$y = x + 1$上,点$C_{1},C_{2},···$在$x$轴上. 点$A_{1}$的坐标是$(0,1)$,则点$B_{10}$的坐标是().

A.$(1\ 024,511)$
B.$(1\ 024,512)$
C.$(1\ 023,511)$
D.$(1\ 023,512)$

9. D 【点拨】本题考查正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征,根据题意找出点的坐标变化规律是解题的关键.
【解析】$\because A_1(0,1)$, 四边形 $A_1B_1C_1O$ 是正方形, $\therefore A_1O = B_1C_1 = 1, \therefore B_1(1,1). \because$ 当 $x = 1$ 时, $y = x + 1 = 2, \therefore A_2(1,2). \because$ 四边形 $A_2B_2C_2C_1$ 是正方形, $\therefore B_2(3,2)$. 同理, 可得 $B_3(7,4), B_4(15,8), B_5(31,16), \dots, \therefore B_n(2^n - 1, 2^{n-1})$($n$ 为正整数), $\therefore$ 点 $B_{10}$ 的坐标是 $(2^{10} - 1, 2^9)$, 即 $(1\ 023, 512)$. 故选 D.

【分析】
要解决本题，需先根据已知条件求出前几个点$B_n$的坐标，再归纳坐标的变化规律。首先利用$A_1$的坐标和正方形性质得到$B_1$的坐标，再结合直线$y=x+1$求出后续$A$点坐标，进而得到$B_2$、$B_3$等的坐标，观察横、纵坐标与$n$的关系，总结出$B_n$的坐标公式，最后代入$n=10$计算结果，选出对应选项。
【解析】
已知点$A_1(0,1)$，四边形$A_1B_1C_1O$是正方形，故$A_1O = B_1C_1 =1$，因此$B_1(1,1)$。
因为点$A_2$在直线$y=x+1$上，当$x=1$时，$y=1+1=2$，所以$A_2(1,2)$。又四边形$A_2B_2C_2C_1$是正方形，得$B_2(3,2)$。
同理可得：$B_3(7,4)$，$B_4(15,8)$，$B_5(31,16)$，…
观察规律：对于正整数$n$，点$B_n$的横坐标为$2^n -1$，纵坐标为$2^{n-1}$。
当$n=10$时，横坐标$=2^{10} -1=1024-1=1023$，纵坐标$=2^9=512$，故$B_{10}$的坐标是$(1023,512)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象上点的坐标，正方形的性质，规律探究
【点评】
本题结合一次函数与正方形的性质，通过归纳点的坐标变化规律求解，重点考查学生的观察、归纳能力，是典型的规律探究类题目，需要学生准确找出坐标与序号$n$的关系。
【难度系数】
0.6

10. 在平面直角坐标系中,直线$y = kx - 2$与函数$y=|x - 2| + |x - 3|$的图象有且只有两个公共点,则$k$的取值范围是().

A.$1 ＜ k ≤ \dfrac{3}{2}$
B.$1 ＜ k ≤ 2$
C.$1 ＜ k ＜ 2$
D.$2 ≤ k ＜ 3$

10. C 【点拨】本题考查函数的应用,作出函数图象是解题的关键.
【解析】分析函数 $y = |x - 2| + |x - 3|$, 当 $x ＜ 2$ 时, $y = -2x + 5$; 当 $2 ≤ x ＜ 3$ 时, $y = 1$; 当 $x ≥ 3$ 时, $y = 2x - 5, \therefore$ 函数 $y = |x - 2| + |x - 3|$ 的图象如图所示.

当直线 $y = kx - 2$ 经过点 $(3,1)$ 时, 直线 $y = kx - 2$ 与函数 $y = |x - 2| + |x - 3|$ 的图象有且只有 1 个公共点, 此时 $3k - 2 = 1$, 解得 $k = 1$; 当直线 $y = kx - 2$ 与函数 $y = 2x - 5$ 的图象平行时, 直线 $y = kx - 2$ 与函数 $y = |x - 2| + |x - 3|$ 的图象有且只有 1 个公共点, 此时 $k = 2$. 由图象知, 直线 $y = kx - 2$ 与函数 $y = |x - 2| + |x - 3|$ 的图象有且只有两个公共点, 则 $k$ 的取值范围是 $1 ＜ k ＜ 2$. 故选 C.

【分析】
要解决直线与绝对值函数图象的交点问题，首先需将绝对值函数转化为分段函数，明确其图象特征；直线$y=kx-2$过定点$(0,-2)$，斜率$k$变化时直线绕该点旋转，需结合分段函数的各段表达式，分析直线与分段函数的交点情况，找到临界的$k$值，进而确定两图象有两个公共点时$k$的范围。
【解析】
1. 化简绝对值函数$y=|x-2|+|x-3|$，分三段讨论：
当$x＜2$时，$|x-2|=2-x$，$|x-3|=3-x$，则$y=(2-x)+(3-x)=-2x+5$；
当$2≤x＜3$时，$|x-2|=x-2$，$|x-3|=3-x$，则$y=(x-2)+(3-x)=1$；
当$x≥3$时，$|x-2|=x-2$，$|x-3|=x-3$，则$y=(x-2)+(x-3)=2x-5$；
因此，该函数图象为：$x＜2$时是斜率为$-2$的直线，$2≤x＜3$时是$y=1$的水平线段，$x≥3$时是斜率为$2$的直线，顶点为$(2,1)$和$(3,1)$。
2. 分析直线$y=kx-2$的交点情况：
当直线过点$(3,1)$时，代入得$3k-2=1$，解得$k=1$，此时直线与函数图象有两个交点；
当直线与$y=2x-5$（$x≥3$）平行时，斜率相等，即$k=2$，此时直线与右边段无交点，仅与左边段有1个交点；
结合图象可知，当直线与函数图象有且只有两个公共点时，$k$的取值范围是$1＜k＜2$。
【答案】C
【知识点】分段函数、一次函数、绝对值函数
【点评】本题考查分段绝对值函数与一次函数的交点问题，核心是利用绝对值的性质转化为分段函数，结合数形结合思想分析临界斜率，确定参数范围，体现了数形结合在函数问题中的应用。
【难度系数】0.4

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 计算$\sqrt{45}$的结果是.

11. $3\sqrt{5}$ 【点拨】本题考查二次根式的化简.
【解析】$\sqrt{45} = \sqrt{9 × 5} = \sqrt{9} × \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. 故答案为 $3\sqrt{5}$.

【分析】本题考查二次根式的化简，解题思路是将被开方数分解为一个完全平方数与另一个非完全平方数的乘积，再利用二次根式的乘法性质（$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，$a≥0$，$b≥0$）进行化简，得到最简二次根式。
【解析】$\sqrt{45} = \sqrt{9 × 5} = \sqrt{9} × \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$。
【答案】$3\sqrt{5}$
【知识点】二次根式的化简
【点评】本题属于基础题，直接考查二次根式的基本化简方法，掌握最简二次根式的化简规则即可轻松解答。
【难度系数】0.9

12. 已知一次函数$y=(3 - m)x + 3$，如果函数值$y$随$x$的增大而增大，那么$m$的取值范围是.

12. $m＜3$ 【点拨】本题考查一次函数的性质,掌握一次函数的性质是解题的关键.
【解析】$\because$ 一次函数 $y = (3 - m)x + 3$, 函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大, $\therefore 3 - m ＞ 0$, 解得 $m ＜ 3$. 故答案为 $m ＜ 3$.

【分析】
要解决这个问题，需回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当一次项系数$k＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目中函数$y=(3 - m)x + 3$的$y$随$x$增大而增大，因此只需让一次项系数大于0，解对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知一次函数$y=(3 - m)x + 3$，函数值$y$随$x$的增大而增大，根据一次函数的性质，一次项系数需满足：
$3 - m ＞ 0$
移项可得：$-m ＞ -3$
两边同时乘以$-1$（不等号方向改变），解得：$m ＜ 3$
【答案】
$m＜3$
【知识点】
一次函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数的基本性质，属于基础题型，核心是掌握一次函数增减性与一次项系数的关系，解题思路直接，难度较低。
【难度系数】
0.8

13. 小明参加学校举办的演讲比赛，他的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分、80分、60分，
若依次按照30%，50%，20%的百分比确定最终成绩，那么他的最终成绩是分。

13. 79 【点拨】本题考查加权平均数.
【解析】他的最终成绩是 $90 × 30\% + 80 × 50\% + 60 × 20\% = 79$(分). 故答案为 79.

【分析】本题考查加权平均数的实际应用，解题思路是明确最终成绩为各部分得分乘以对应权重（百分比）后求和，即利用加权平均数公式，将演讲稿、语言表达、形象风度的得分分别乘以它们对应的百分比，再把结果相加，即可得到最终成绩。
【解析】根据加权平均数的计算方法，最终成绩为：
$90×30\% + 80×50\% + 60×20\%$
$=27 + 40 + 12$
$=79$（分）
【答案】79
【知识点】加权平均数
【点评】本题是加权平均数的基础应用题，直接代入公式计算即可，主要考查学生对加权平均数概念的理解和简单计算能力，属于基础题。
【难度系数】0.8

14. 一个菱形的边长为5 cm,一条对角线的长为8 cm,则这个菱形的面积为 cm².

14. 24 【点拨】本题考查菱形的性质和面积计算及勾股定理,掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键.
【解析】如图, $\because$ 在菱形 $ABCD$ 中, $BD = 8\ \mathrm{cm}, AB = 5\ \mathrm{cm}, \therefore AC ⊥ BD, OB = \frac{1}{2}BD = 4\ \mathrm{cm}, AC = 2OA, \therefore OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = 3\ \mathrm{cm}, \therefore AC = 2OA = 6\ \mathrm{cm}, \therefore$ 这个菱形的面积为 $\frac{1}{2}AC · BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24(\mathrm{cm}^2)$. 故答案为 24.

【分析】
要解决这个问题，需利用菱形的核心性质：菱形的对角线互相垂直且平分。已知菱形的边长和一条对角线，首先根据对角线平分的性质算出已知对角线的一半长度，再结合勾股定理求出另一条对角线的一半，进而得到另一条对角线的总长，最后运用菱形面积公式（面积等于两条对角线乘积的一半）计算面积。具体步骤为：1. 确定已知对角线的一半长度；2. 用勾股定理求另一条对角线的一半；3. 得到另一条对角线的总长；4. 代入面积公式计算结果。
【解析】
在菱形ABCD中，已知边长AB=5 cm，一条对角线BD=8 cm。根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，可得AC⊥BD，OB=½BD=½×8=4 cm，且AC=2OA。在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OA = √(AB² - OB²) = √(5² - 4²) = √9 = 3 cm，
因此AC=2OA=2×3=6 cm。
根据菱形面积公式，该菱形的面积为：
½×AC×BD = ½×6×8 = 24 cm²。
【答案】24
【知识点】菱形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】本题是菱形相关的基础计算题，重点考查菱形对角线的性质、勾股定理的应用以及菱形面积公式，解题关键是利用菱形对角线垂直平分的特点，结合勾股定理求出未知对角线，整体难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】0.7

15. 已知一次函数$y_1 = 2kx + b$($k,b$是常数,$k≠0$),正比例函数$y_2 = mx$($m$是常数,$m≠0$),下列四个结论,其中正确的是________(填序号).
①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行,则$2k = m$;
②若$kb ＜ 0$,则一次函数的图象经过第一、二、四象限;
③将一次函数$y_1 = 2kx + b$的图象向左平移2个单位长度,则平移后的图象对应的函数解析式为$y = 2kx + 4k + b$;
④若$b = 2 - 2k$,当$x ＞ 1$时,$y_1$总是小于$y_2$,则$m≥2$.

15. ①③④ 【点拨】本题考查一次函数的图象和性质及正比例函数的图象性质.
【解析】$\because$ 一次函数的图象与正比例函数的图象平行, $\therefore 2k = m$, 故①正确; $\because kb ＜ 0, \therefore k, b$ 异号. 当 $k ＞ 0, b ＜ 0$ 时, 一次函数的图象经过第一、三、四象限; 当 $k ＜ 0, b ＞ 0$ 时, 一次函数的图象经过第一、二、四象限, 故②错误; 将一次函数 $y_1 = 2kx + b$ 的图象向左平移 2 个单位长度, 则平移后的图象对应的函数解析式为 $y = 2k(x + 2) + b = 2kx + 4k + b$, 故③正确; 若 $b = 2 - 2k$, 一次函数 $y_1 = 2kx + 2 - 2k = 2k(x - 1) + 2, \therefore$ 一次函数 $y_1 = 2kx + b$ 的图象经过点 $(1,2). \because$ 当 $x ＞ 1$ 时, $y_1$ 总是小于 $y_2$, 且当 $x = 1$ 时, $y_2 = m, \therefore m ≥ 2$, 故④正确. 故答案为①③④.

【分析】
要判断四个结论的正确性，需结合一次函数、正比例函数的图象与性质，函数图象平移规则逐一分析：
1. 两函数平行的条件是斜率相等，据此判断①；
2. 由kb＜0得k、b异号，分两种情况讨论一次函数图象经过的象限，判断②；
3. 函数图象平移遵循“左加右减”的规则，代入计算平移后的解析式，判断③；
4. 将b=2-2k代入一次函数解析式，找出其过的定点，结合x＞1时y₁＜y₂的条件，判断④。
【解析】
1. 对于结论①：一次函数与正比例函数平行时，斜率相等。一次函数$y_1=2kx+b$的斜率为$2k$，正比例函数$y_2=mx$的斜率为$m$，故$2k=m$，①正确；
2. 对于结论②：由$kb＜0$可知$k、b$异号。当$k＞0、b＜0$时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当$k＜0、b＞0$时，一次函数图象经过第一、二、四象限，故②错误；
3. 对于结论③：函数图象向左平移2个单位，需将原解析式中的$x$替换为$x+2$，平移后的解析式为$y=2k(x+2)+b=2kx+4k+b$，③正确；
4. 对于结论④：将$b=2-2k$代入$y_1$得$y_1=2kx+2-2k=2k(x-1)+2$，可知一次函数图象过点$(1,2)$。当$x＞1$时$y_1$总是小于$y_2$，且$x=1$时$y_2=m$，故$m≥2$，④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
一次函数的图象与性质、正比例函数的图象与性质、函数图象的平移
【点评】
本题综合考查一次函数与正比例函数的核心知识点，涉及平行条件、象限判断、图象平移、函数大小比较，需准确掌握各知识点的细节，尤其注意结论②需分情况讨论，结论④需结合定点分析，避免出错。
【难度系数】
0.5