23.(10分)如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一点(不与点A,C重合),连结DE,BE。过点E作BC,AB的垂线,垂足分别为F,G,连结FG与BE相交于点O。
(1)求证:DE=BE。
(2)圆圆说:“直线DE⊥GF”。你认为圆圆的说法是否正确?请说明理由。
(3)若AE=2,CE=6,求GF的长。

23.(1)在正方形$ABCD$中,$AD=AB$,$∠ DAE=∠ BAE=45°$,在$△ ADE$和$△ ABE$中,因为$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ DAE=∠ BAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ ADE≌△ ABE(\mathrm{SAS})$。所以$DE=BE$。
(2)圆圆的说法正确。理由如下:如图,延长$FE$交$AD$于点$P$,延长$DE$交$GF$于点$H$。
在正方形$ABCD$中,$AD// BC$,$∠ GAP=∠ GBF=90°$,$AD=AB$,因为$EF⊥ BC$,所以$EP⊥ AD$。
又因为$EG⊥ AB$,所以$∠ EGA=∠ EGB=∠ GAP=∠ EPA=∠ GBF=∠ EFB=90°$。
所以四边形$EGAP$和四边形$EFBG$都是矩形。所以$∠ GEF=90°$,$PF=AB=AD$。
因为$∠ DAE=45°$,所以$△ PAE$是等腰直角三角形。所以$PA=PE$。所以矩形$EGAP$是正方形。
所以$EG=PE$,$∠ GEF=∠ EPD=90°$,$∠ PEG=90°$。因为$PF=AB=AD$,所以$PE+EF=PA+PD$。所以$EF=PD$。
在$△ EFG$和$△ PDE$中,因为$\begin{cases} EG=PE, \\ ∠ GEF=∠ EPD=90°, \\ EF=PD, \end{cases}$所以$△ EFG≌△ PDE(\mathrm{SAS})$。所以$∠ EGF=∠ PED$。
因为$∠ PEG=90°$,所以$∠ GEH+∠ PED=90°$。所以$∠ GEH+∠ EGF=90°$。在$△ GEH$中,$∠ GHE=180°-(∠ GEH+∠ EGF)=90°$,所以$EH⊥ GF$,即直线$DE⊥ GF$。故圆圆的说法正确。
(3)因为$∠ BAE=45°$,$∠ EGA=90°$,所以$△ AEG$是等腰直角三角形。由勾股定理得$AE=\sqrt{AG^2+EG^2}=\sqrt{2}EG$。
因为$AE=2$,所以$EG=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AE=\sqrt{2}$。同理可得$△ EFC$是等腰直角三角形,因为$CE=6$,所以$EF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}CE=3\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ GEF$中,由勾股定理得$GF=\sqrt{GE^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}$。