24.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P从点B出发,沿BC−CD向点D运动,作△ACD关于直线AP的对称图形△AC'D'(点C,D的对称点分别为C',D')。
(1)如图2,当点C'在AB的延长线上时,连结CC',求CC'的长。
(2)如图3,当点P与点C重合时,连结DD',CD',DD'分别交AB于点E,F。
①求证:∠D'FE=∠ED'F。
②求EF的长。
(3)当直线C'D'经过点B时,求CP的长。

24.(1)在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$BC=3$,所以$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$。因为$△ ACD$,$△ AC'D'$关于直线$AP$对称,所以$AC'=AC=5$,$BC'=AC'-AB=1$。在$\mathrm{Rt}△ BCC'$中,$CC'=\sqrt{BC^2+BC'^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,所以$CC'$的长为$\sqrt{10}$。
(2)①因为四边形$ABCD$是矩形,所以$AB// CD$。所以$∠ D'FE=∠ D'DC$。
因为$CD'=CD$,所以$∠ D'DC=∠ CD'D$。所以$∠ D'FE=∠ ED'F$。
②由$∠ D'FE=∠ ED'F$,得$EF=ED'$。因为$AD'=AD=BC$,$∠ AD'E=∠ CBE=90°$,$∠ AED'=∠ CEB$,所以$△ AD'E≌△ CBE$。所以$ED'=EB$,$AE=CE$。设$BE=x$,则$CE=AE=4-x$。由$BE^2+BC^2=CE^2$,得$x^2+3^2=(4-x)^2$,解得$x=\dfrac{7}{8}$,所以$EF=ED'=EB=\dfrac{7}{8}$。
(3)如图1,当点$P$在$CD$上,点$B$在$C'D'$的延长线上时,由轴对称得,$∠ APD'=∠ APD$。因为$AB// CD$,所以$∠ BAP=∠ APD$。所以$∠ BAP=∠ APD'$。所以$BP=AB=4$。在$\mathrm{Rt}△ BCP$中,$PC=\sqrt{BP^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。如图2,当点$P$在$BC$上,点$B$在$C'D'$上时,连结$C'P$。由轴对称得$PC'=PC$,$AD'=AD=3$,$C'D'=CD=AB=4$,$∠ D'=∠ D=90°$,$∠ BC'P=∠ PCD=90°$。所以$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。所以$BC'=4-\sqrt{7}$。在$\mathrm{Rt}△ BC'P$中,$BC'^2+PC'^2=BP^2$,所以$(4-\sqrt{7})^2+PC^2=(3-PC)^2$,解得$PC=\dfrac{4\sqrt{7}-7}{3}$。综上所述,$CP$的长为$\sqrt{7}$或$\dfrac{4\sqrt{7}-7}{3}$。