21.(8分)如图,P是∠ABC内一点,点Q在AB上。过点P画一条直线a平行于AB,过点Q画一条直线b平行于BC,直线a,b交于点M。
(1)用直尺和三角尺画平行线的方法,画出图形。
(2)若∠PMQ=50°,求∠ABC的度数。

(1)如图。
(2)因为$PM// AB$,所以$∠ MQA=∠ PMQ=50°$。因为$MQ// BC$,所以$∠ ABC=∠ MQA=50°$。

【分析】
本题分为两小问，第一问需用直尺和三角尺的“一落、二靠、三移、四画”方法画平行线：过点P画平行于AB的直线a，过点Q画平行于BC的直线b，两直线交于点M；第二问利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等），通过角的等量代换求∠ABC的度数。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 画直线a：将三角尺的一条边与AB重合，直尺紧贴三角尺的另一条边，平移三角尺，使三角尺与AB重合的边经过点P，沿该边画出直线a，即过P且平行于AB的直线；
② 画直线b：同理，将三角尺的一条边与BC重合，直尺紧贴三角尺的另一条边，平移三角尺，使三角尺与BC重合的边经过点Q，沿该边画出直线b，直线a与直线b交于点M，完成图形。
(2) 求∠ABC的度数：
∵ 直线a//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠MQA = ∠PMQ = 50°；
又
∵ 直线b//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠ABC = ∠MQA = 50°。
【答案】
(1) 如图；(2) ∠ABC=50°
【知识点】
平行线的画法，平行线的性质（内错角相等）
【点评】
本题考查平行线的基本作图方法及平行线性质的应用，是几何入门的基础题型，需掌握平行线作图的规范步骤和性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6

22.(10分)已知$M=x^2 - x - 1$，$N=3x^2 - 5x + 1$。
(1)当$N=3M$时，求$x$的值。
(2)试说明无论$x$取何值时，$M≤ N$。

(1)由题意得:$3x^2-5x+1=3(x^2-x-1)$,解得$x=2$。
(2)$N-M=(3x^2-5x+1)-(x^2-x-1)=3x^2-5x+1-x^2+x+1=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$,
因为$(x-1)^2\ge0$,所以$M\le N$。

【分析】
第(1)问：根据题目给出的N=3M的条件，将M和N的表达式代入该等式，得到关于x的方程，通过解方程求出x的值；第(2)问：要证明无论x取何值时M≤N，只需计算N与M的差，对差进行化简、配方，利用平方数的非负性即可得出结论。
【解析】
(1) 因为N=3M，将M=x² - x -1，N=3x² -5x +1代入得：
3x² -5x +1 = 3(x² -x -1)
展开右边：3x² -5x +1 = 3x² -3x -3
移项合并同类项：-5x +1 +3x +3 = 0 → -2x +4 = 0
解得：x=2。
(2) 计算N-M：
N-M=(3x² -5x +1)-(x² -x -1)
去括号：3x² -5x +1 -x² +x +1
合并同类项：2x² -4x +2
提取公因式：2(x² -2x +1)
利用完全平方公式：2(x-1)²
因为对于任意实数x，(x-1)²≥0，所以2(x-1)²≥0，即N-M≥0，因此M≤N。
【答案】
(1) x=2；(2) 无论x取何值时，M≤N。
【知识点】
整式的加减运算、一元一次方程的解法、完全平方公式
【点评】
本题分两小问，第一问通过代入等式转化为一元一次方程求解，第二问通过作差法结合完全平方公式证明不等式，考查基础代数运算能力，属于常规题型。
【难度系数】
0.6