7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠ABD=60°,AE⊥BD于点E,F是OC的中点,连接EF。若EF=2√3,则矩形ABCD的周长是()。

A.$16\sqrt{3}$
B.$8\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}+8$
D.$8\sqrt{3}+8$

7. D 解析:
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OA=OB,∠ABC=90°。
∵∠ABD=60°,
∴△ABO是等边三角形。
∴OA=AB。
∴AC=2AB。
∵AE⊥BD,
∴E是OB的中点。
∵F是OC的中点,EF=2√3,
∴BC=2EF=4√3。
在Rt△ABC中，
∵AB²+BC²=AC²,
∴AB²+(4√3)²=(2AB)²。
∴AB=4。
∴矩形ABCD的周长=2(BC+AB)=2×(4√3+4)=8√3+8。

8.如图，点A，D，G，M在半圆上，四边形ABOC、四边形DEOF、四边形HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，HN=c，则a，b，c之间的大小关系为()。

A.$a＞b＞c$
B.$a＜b＜c$
C.$a=b=c$
D.$a＞c＞b$

8. C

9.如图，P是矩形$ABCD(AB≠AD)$内一点，连接$PA$，$PB$，$PC$，$PD$，设$△ PAB$，$△ PBC$，$△ PCD$，$△ PDA$的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$。给出下列四个判断：
①当$∠ PAB=∠ PDA$时，$∠ APD=90°$；
②存在唯一一点$P$，使$PA=PB=PC=PD$；
③存在到矩形$ABCD$四条边距离都相等的点$P$；
④若$S_1=S_2$，则$S_3=S_4$。
其中正确的是。(填序号)

9. ①②④

10.在一个矩形中，若一个角的平分线把一条边分成长分别是3 cm和4 cm的两条线段，则该矩形的周长是。

10. 20 cm或22 cm

11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE。
(1)求证：四边形OBCE是平行四边形；
(2)连接BE交AC于点F，若AB=2，$∠ AOB=60°$，求BF的长。

11. (1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD。
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE//OD,CE=OD。
∴CE//OB,CE=OB。
∴四边形OBCE是平行四边形。
(2)解:如图,过点F作FM⊥BC于点M,过点O作ON⊥BC于点N。

∵∠AOB=60°,OA=OC=OB,
∴∠ACB=30°,△OAB是等边三角形。
∴∠BAO=60°,OB=AB。
∵AB=2,
∴OC=OB=2。
∴ON=1/2 OC=1。
∴CN=√3。
∴BC=2CN=2√3。
易得F是OC的中点，
∴FC=1。
∴FM=1/2。
∴CM=√3/2。
∴BM=BC-CM=3√3/2。
∴BF=√(BM²+FM²)=√7。

12.【数学文化】数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“过长方形对角线上任意一点(不含端点)作两条分别平行于两邻边的直线,则两勾股形所容两长方形的面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证。
请根据该图完成这个推论的证明过程。
证明：$S_{矩形NFGD} = S_{△ ADC} - (S_{△ ANF} + S_{△ FGC}), S_{矩形EBMF} = S_{△ ABC} - (\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_)$。
易知 $S_{△ ADC} = S_{△ ABC}$, $\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$, $\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$。
可得 $S_{矩形NFGD} = S_{矩形EBMF}$。

$S_{△ AEF}$，$S_{△ FMC}$，$S_{△ ANF}$，$S_{△ AEF}$，$S_{△ FGC}$，$S_{△ FMC}$