1.(5分)若一个等腰三角形的顶角为$110°$,则这个等腰三角形的底角的度数是 ()

A.$70°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$50°$

1. C

【分析】
拿到题目先梳理已知条件：图形是等腰三角形，已知顶角为110°，要求底角的度数。思考路径如下：首先回忆等腰三角形的核心性质：两个底角的度数相等；再结合三角形内角和的固定规律：任意三角形的三个内角和为180°。因此我们可以先算出两个底角的总度数，再利用底角相等的性质，除以2就能得到单个底角的度数。
【解析】
解：
∵ 三角形的内角和为180°，且等腰三角形的两个底角度数相等，
∴ 单个底角的度数 =（内角和 - 顶角的度数）÷2
将顶角110°代入计算：
单个底角的度数 = (180° - 110°) ÷ 2 = 70° ÷ 2 = 35°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考察对等腰三角形基本性质和三角形内角和规律的掌握，只要熟记相关知识点、计算时细心就能顺利得分。
【难度系数】
0.9

2.(5分) 日常生活情境 如图,衣架框内部可以近似看成等腰三角形ABC.若AB=AC,∠B=30°,则∠A的度数为 ()

A.100°
B.105°
C.120°
D.130°

2. C

【分析】
解题时先观察图形特征，题目明确△ABC是等腰三角形，AB=AC，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，可得出两个底角∠B和∠C相等，已知∠B的度数，就能得到∠C的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去两个底角的度数，即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，
∴根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠C=∠B=30°，
又
∵三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的衣架情境考查基础几何定理的应用，难度较低，只要熟练掌握等腰三角形性质和三角形内角和定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3.(5分)如图，AD是等腰三角形ABC的高，BD=3，则CD的长为（）

A.2
B.3
C.4
D.6

3. B

【分析】
解题时先提取题干已知条件：△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高。结合所学等腰三角形的性质，首先想到“三线合一”，即等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线，因此AD会平分底边BC，所以CD和BD长度相等，代入已知BD的长度即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的高，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是BC边上的中线，
∴CD=BD，
又
∵BD=3，
∴CD=3。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形的核心性质，无需复杂计算，牢记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

4.(5分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是顶角的平分线，下列结论不一定成立的是 ()

A.$BD=CD$
B.$BD=AD$
C.$AD⊥ BC$
D.$∠ B=∠ C$

4. B

【分析】
本题考查等腰三角形的性质应用，解题时首先根据AB=AC确定△ABC是等腰三角形，再结合AD是顶角平分线的条件，调用等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，逐一验证四个选项是否一定成立，最终选出不一定成立的选项即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
① 根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠C，故D选项结论一定成立；
② 已知AD是等腰三角形顶角的平分线，根据等腰三角形“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），可得AD同时是底边BC上的中线和高，因此BD=CD，AD⊥BC，故A、C选项结论一定成立；
③ 对于B选项BD=AD，题中未给出三角形内角的具体度数，无法证明BD和AD一定相等，仅在部分特殊等腰三角形中该结论才成立，因此该结论不一定成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质；三线合一；等边对等角
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对等腰三角形核心性质的理解，解题时要注意区分“一定成立”和“特殊情况成立”的差异，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85

5.(5分)(兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB的度数为（）

A.100°
B.115°
C.130°
D.145°

B

【分析】
解题时首先根据AB=AC判定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和先算出底角∠C的度数；再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，最后观察到∠ADB是△ADC的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°
∵DA⊥AC
∴∠DAC=90°
∵∠ADB是△ADC的外角
∴∠ADB=∠C+∠DAC=25°+90°=115°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外角性质，垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用等腰三角形的性质求底角，再结合外角性质求解目标角，计算难度低，只要掌握相关几何性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7

6.(5分)(T3变式)(云南中考)已知AF是等腰三角形ABC的底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（）

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

6. C

【分析】
解题时首先结合等腰三角形的性质分析：等腰三角形底边上的高同时是顶角的角平分线，因此点F在∠BAC的角平分线上；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接得出点F到AC的距离。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，AF平分∠BAC，即点F在∠BAC的角平分线上
又
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点F到直线AB的距离为3
∴点F到直线AC的距离也为3
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.角平分线的性质
【点评】
本题是基础性质应用题，将等腰三角形三线合一和角平分线的性质结合考查，熟练掌握相关性质即可快速得到答案，解题时注意先确定点F的位置特征，再对应性质求解。
【难度系数】
0.9

7.（5分）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=80°$，$AD$是中线，$BE$是角平分线，$AD$与$BE$交于点$O$，则$∠ AOB$的度数为（）

A.$130°$
B.$125°$
C.$120°$
D.$115°$

（第7题图）
（第8题图）

7. D

【分析】
解题时首先根据AB=AC判断△ABC为等腰三角形，结合已知顶角∠BAC的度数先算出底角∠ABC的度数；再利用等腰三角形“三线合一”的性质，由AD是中线得到AD平分∠BAC，可算出∠BAD的度数；接着根据BE是角平分线算出∠ABO的度数；最后在△AOB中利用三角形内角和为180°即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴△ABC为等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-80°)÷2=50°$，
∵AD是BC边上的中线，AB=AC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即$∠ BAD=∠ BAC÷2=80°÷2=40°$，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴$∠ ABO=∠ ABC÷2=50°÷2=25°$，
在△AOB中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ AOB=180°-∠ BAD-∠ ABO=180°-40°-25°=115°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，核心是对等腰三角形“三线合一”性质的运用，结合角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解，熟练掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

8.(5分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AB的垂直平分线交AB于点D,交CA的延长线于点E,连接BE.若$∠ EBA=34°$,则$∠ EBC$的度数为.

8. 51°

【分析】
解题思路：首先根据线段垂直平分线的性质得到EB=EA，利用等边对等角求出∠EAB的度数；再结合邻补角的关系求出△ABC的顶角∠BAC的度数；接着利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和求出底角∠ABC的度数；最后将∠EBA和∠ABC相加即可得到∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴ EB = EA（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ ∠EAB = ∠EBA = 34°（等边对等角）
∵ 点E在CA的延长线上
∴ ∠BAC + ∠EAB = 180°，即∠BAC = 180° - 34° = 146°
又
∵ AB = AC，△ABC为等腰三角形
∴ ∠ABC = ∠C（等腰三角形两底角相等）
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC + ∠C + ∠BAC = 180°
代入得 2∠ABC + 146° = 180°
解得 ∠ABC = 17°
∴ ∠EBC = ∠EBA + ∠ABC = 34° + 17° = 51°
【答案】
51°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的边角性质，结合邻补角、三角形内角和的关系逐步推导所求角度，有助于巩固等腰三角形相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7

9.(8分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是边AC上一点,$AD=BD$.若$∠ A=38°$,求$∠ DBC$的度数.

解: $\because AB = AC, ∠ A = 38°, \therefore ∠ ABC = ∠ C = \frac{1}{2}(180°-∠ A)=71°. \because AD = BD, \therefore ∠ ABD = ∠ A = 38°. \therefore ∠ DBC = ∠ ABC-∠ ABD = 33°.$

【分析】
解题时首先观察图形，找到图中的两个等腰三角形：①△ABC中AB=AC，②△ABD中AD=BD。第一步利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，先算出△ABC的底角∠ABC的度数；第二步再利用等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠ABD的度数；最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠DBC的度数。
【解析】
解：$\because AB = AC, ∠ A = 38°$，
$\therefore △ABC$为等腰三角形，$∠ABC=∠C$，
根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC = ∠ C = \frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-38°)=71°$。
又$\because AD = BD$，
$\therefore △ABD$为等腰三角形，
$\therefore ∠ABD = ∠A = 38°$。
$\therefore ∠DBC = ∠ABC-∠ABD = 71°-38°=33°$。
【答案】
$33°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心考查等腰三角形“等边对等角”性质的应用，解题时只需准确识别图中的等腰三角形，结合三角形内角和定理逐步推导即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.8

10.(10分)如图,在△ABC中,M,N是边BC上的两点,BM=CN,连接AM,AN,AM=AN.求证:AB=AC.

证明: $\because AM=AN, \therefore ∠ AMN=∠ ANM. \therefore ∠ AMB=∠ ANC.$ 在 $△ ABM$ 和 $△ ACN$ 中, $\begin{cases} AM=AN, \\ ∠ AMB=∠ ANC, \\ BM=CN, \end{cases}$ $\therefore △ ABM≌△ ACN(\mathrm{SAS}). \therefore AB=AC.$

【分析】
要证明AB=AC，可通过证明AB、AC所在的△ABM和△ACN全等来推导。首先由已知AM=AN，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠AMN=∠ANM，再根据等角的补角相等推出∠AMB=∠ANC；结合已知的BM=CN、AM=AN的条件，可通过SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：$\because AM=AN$，
$\therefore ∠ AMN=∠ ANM$，
$\therefore ∠ AMB=∠ ANC$。
在$△ ABM$和$△ ACN$中，
$\begin{cases}AM=AN, \\∠ AMB=∠ ANC, \\BM=CN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ ACN(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=AC$。
【答案】
$AB=AC$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，重点考察基础几何定理的应用，解题核心是通过等腰三角形的性质得到全等所需的等角条件，结合已知边相等证明三角形全等，进而得到对应边相等，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.8