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11.(10分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$为边$BC$上的中线,$E$为边$AC$上一点,且$AE=AD$,$∠ BAD=50°$,求$∠ CDE$的度数.
答案
解: $\because AB=AC,AD$ 为边 $BC$ 上的中线, $\therefore ∠ ADC =90°,∠ CAD=∠ BAD=50°. \because AD=AE, \therefore ∠ ADE =∠ AED = \frac{1}{2}(180°-∠ CAD)=65°. \therefore ∠ CDE = ∠ ADC-∠ ADE=25°.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等腰三角形且AD是BC边上的中线，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD垂直BC、AD平分∠BAC，即可求出∠ADC和∠CAD的度数；再由AD=AE可知△ADE是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，就能算出∠ADE的度数；最后观察图形可得∠CDE=∠ADC-∠ADE，代入数值计算即可得出结果。
【解析】
解：$\because AB=AC,AD$ 为边 $BC$ 上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ ADC =90°,∠ CAD=∠ BAD=50°$.
$\because AD=AE$,
$\therefore ∠ ADE =∠ AED$，
在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ ADE =∠ AED = \frac{1}{2}(180°-∠ CAD)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$,
$\therefore ∠ CDE = ∠ ADC-∠ ADE=90°-65°=25°$.
【答案】
$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，核心考查等腰三角形三线合一、等边对等角性质的灵活运用，解题逻辑清晰，熟练掌握等腰三角形相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等腰三角形且AD是BC边上的中线，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD垂直BC、AD平分∠BAC，即可求出∠ADC和∠CAD的度数；再由AD=AE可知△ADE是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，就能算出∠ADE的度数；最后观察图形可得∠CDE=∠ADC-∠ADE，代入数值计算即可得出结果。
【解析】
解：$\because AB=AC,AD$ 为边 $BC$ 上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ ADC =90°,∠ CAD=∠ BAD=50°$.
$\because AD=AE$,
$\therefore ∠ ADE =∠ AED$，
在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ ADE =∠ AED = \frac{1}{2}(180°-∠ CAD)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$,
$\therefore ∠ CDE = ∠ ADC-∠ ADE=90°-65°=25°$.
【答案】
$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，核心考查等腰三角形三线合一、等边对等角性质的灵活运用，解题逻辑清晰，熟练掌握等腰三角形相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12.(12分)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=50°$,点E和点F分别在边AB和边BC上,且$BE=BF$,连接EF并延长,交AC的延长线于点G,取EF的中点O,连接BO并延长,交AC于点D.已知$∠ G=20°$.
(1)求$∠ BEF$的度数;
(2)求$∠ BDC$的度数.
(1)求$∠ BEF$的度数;
(2)求$∠ BDC$的度数.
答案
解:(1) $\because BE = BF, ∠ ABC = 50°, \therefore ∠ BEF = ∠ BFE = \frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=65°.$ (2) $\because O$ 为 $EF$ 的中点,$BE = BF, \therefore BO⊥ EF. \therefore ∠ DOG = 90°. \because ∠ G = 20°, \therefore ∠ BDC = 90°-∠ G = 70°.$
解析
【分析】
(1) 求∠BEF的度数时，首先由已知条件BE=BF可判定△BEF是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可知∠BEF=∠BFE，再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠ABC=50°，就可以算出底角∠BEF的度数。
(2) 求∠BDC的度数时，已知O是EF的中点，结合△BEF是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BO垂直于EF，即∠DOG=90°；此时在△DOG中，已知∠G=20°，根据直角三角形两锐角互余的性质，就能求出和∠BDC相等的∠ODG的度数。
【解析】
(1)
∵ $BE = BF$，
∴ $△ BEF$为等腰三角形，$∠ BEF = ∠ BFE$。
又
∵ $∠ ABC = 50°$，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ BEF = \frac{1}{2}(180° - ∠ ABC) = \frac{1}{2}×(180° - 50°) = 65°$。
(2)
∵ $O$是$EF$的中点，且$BE=BF$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$BO ⊥ EF$，即$∠ DOG = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOG$中，$∠ G = 20°$，直角三角形两锐角互余，
∴ $∠ BDC = ∠ ODG = 90° - ∠ G = 90° - 20° = 70°$。
【答案】
(1) $\boxed{65°}$
(2) $\boxed{70°}$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；直角三角形性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查等腰三角形相关性质的应用，解题时需要先通过等边对等角求解等腰三角形底角，再利用三线合一得到垂直关系，结合直角三角形的角度特征计算结果，对基础性质的掌握熟练度要求较高。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠BEF的度数时，首先由已知条件BE=BF可判定△BEF是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可知∠BEF=∠BFE，再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠ABC=50°，就可以算出底角∠BEF的度数。
(2) 求∠BDC的度数时，已知O是EF的中点，结合△BEF是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BO垂直于EF，即∠DOG=90°；此时在△DOG中，已知∠G=20°，根据直角三角形两锐角互余的性质，就能求出和∠BDC相等的∠ODG的度数。
【解析】
(1)
∵ $BE = BF$，
∴ $△ BEF$为等腰三角形，$∠ BEF = ∠ BFE$。
又
∵ $∠ ABC = 50°$，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ BEF = \frac{1}{2}(180° - ∠ ABC) = \frac{1}{2}×(180° - 50°) = 65°$。
(2)
∵ $O$是$EF$的中点，且$BE=BF$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$BO ⊥ EF$，即$∠ DOG = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOG$中，$∠ G = 20°$，直角三角形两锐角互余，
∴ $∠ BDC = ∠ ODG = 90° - ∠ G = 90° - 20° = 70°$。
【答案】
(1) $\boxed{65°}$
(2) $\boxed{70°}$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；直角三角形性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查等腰三角形相关性质的应用，解题时需要先通过等边对等角求解等腰三角形底角，再利用三线合一得到垂直关系，结合直角三角形的角度特征计算结果，对基础性质的掌握熟练度要求较高。
【难度系数】
0.8
13.(14分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$为$△ ABC$的角平分线,以点$A$为圆心,$AD$的长为半径画弧,与$AB$,$AC$分别交于点$E$,$F$,连接$DE$,$DF$.
(1)求证:$△ ADE≌△ ADF$;
(2)若$∠ BAC=80°$,求$∠ BDE$的度数.
(1)求证:$△ ADE≌△ ADF$;
(2)若$∠ BAC=80°$,求$∠ BDE$的度数.
答案
(1)证明: $\because AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ BAD = ∠ CAD.$ 由题图可知 $AE = AF.$ 在 $△ ADE$ 和 $△ ADF$ 中, $\begin{cases} AE=AF, \\ ∠ EAD=∠ FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$ $\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$ (2)解: $\because AB = AC, AD$ 为$△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 40°, AD⊥ BC. \therefore ∠ ADB =90°.$ 由题意可知 $AE = AD, \therefore ∠ AED = ∠ ADE. \therefore ∠ ADE = \frac{1}{2}(180°-∠ EAD)=70°. \therefore ∠ BDE = ∠ ADB-∠ ADE=20°.$
解析
【分析】
（1）要证明$△ ADE≌△ ADF$，先梳理已知条件：AD是$△ ABC$的角平分线，可得$∠ EAD=∠ FAD$；由作图方式可知AE、AF都是以A为圆心的同圆半径，故$AE=AF$；再加上公共边AD，正好满足全等三角形的SAS判定条件，即可完成证明。
（2）求$∠ BDE$的度数，观察图形可得$∠ BDE=∠ ADB-∠ ADE$，因此分别计算两个角的度数即可：首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD既是角平分线也是BC边上的高，可得$∠ ADB=90°$；再由$AE=AD$可知$△ ADE$是等腰三角形，结合$∠ BAC=80°$先算出$∠ EAD=40°$，进而求出$∠ ADE$的度数，最后作差即可得到$∠ BDE$的度数。
【解析】
(1)证明：$\because AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线，$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD.$
由作图规则可知 $AE = AF.$
在 $△ ADE$ 和 $△ ADF$ 中,
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠ EAD=∠ FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$
(2)解：$\because AB = AC, AD$ 为$△ ABC$ 的角平分线,
$\therefore ∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×80°=40°$, 且$AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB =90°.$
由题意可知 $AE = AD$,
$\therefore ∠ AED = ∠ ADE,$
$\therefore ∠ ADE = \frac{1}{2}(180°-∠ EAD)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°,$
$\therefore ∠ BDE = ∠ ADB-∠ ADE=90°-70°=20°.$
【答案】
(1)已证$△ ADE≌△ ADF$；(2)$∠ BDE=20°$
【知识点】
全等三角形判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查全等三角形的判定方法以及等腰三角形“三线合一”的性质，解题时注意结合图形梳理角的和差关系，即可快速理清解题思路完成求解。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$△ ADE≌△ ADF$，先梳理已知条件：AD是$△ ABC$的角平分线，可得$∠ EAD=∠ FAD$；由作图方式可知AE、AF都是以A为圆心的同圆半径，故$AE=AF$；再加上公共边AD，正好满足全等三角形的SAS判定条件，即可完成证明。
（2）求$∠ BDE$的度数，观察图形可得$∠ BDE=∠ ADB-∠ ADE$，因此分别计算两个角的度数即可：首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD既是角平分线也是BC边上的高，可得$∠ ADB=90°$；再由$AE=AD$可知$△ ADE$是等腰三角形，结合$∠ BAC=80°$先算出$∠ EAD=40°$，进而求出$∠ ADE$的度数，最后作差即可得到$∠ BDE$的度数。
【解析】
(1)证明：$\because AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线，$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD.$
由作图规则可知 $AE = AF.$
在 $△ ADE$ 和 $△ ADF$ 中,
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠ EAD=∠ FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$
(2)解：$\because AB = AC, AD$ 为$△ ABC$ 的角平分线,
$\therefore ∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×80°=40°$, 且$AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB =90°.$
由题意可知 $AE = AD$,
$\therefore ∠ AED = ∠ ADE,$
$\therefore ∠ ADE = \frac{1}{2}(180°-∠ EAD)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°,$
$\therefore ∠ BDE = ∠ ADB-∠ ADE=90°-70°=20°.$
【答案】
(1)已证$△ ADE≌△ ADF$；(2)$∠ BDE=20°$
【知识点】
全等三角形判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查全等三角形的判定方法以及等腰三角形“三线合一”的性质，解题时注意结合图形梳理角的和差关系，即可快速理清解题思路完成求解。
【难度系数】
0.8
14.(6分) 数学文化情境 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助三等分角仪(图①)能三等分一个角.如图②，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB相连，两根棒在点O相连并绕点O转动，点C固定，$OC=CD=DE$，点D，E可在槽中滑动.
(1)若$∠ BDE = 66°$，则$∠ CDE$的度数为
(2)图③是一建筑钢架，$∠ O = 10°$，为了使钢架更稳固，需要在其内部添加一些钢管CD，DE，EF，FG，…，添加的钢管的长度都与OC的长度相等，则最多能添加
(1)若$∠ BDE = 66°$，则$∠ CDE$的度数为
92°
；(2)图③是一建筑钢架，$∠ O = 10°$，为了使钢架更稳固，需要在其内部添加一些钢管CD，DE，EF，FG，…，添加的钢管的长度都与OC的长度相等，则最多能添加
8
根钢管.答案
14. (1) 92° (2) 8
解析
【分析】
(1) 已知OC=CD=DE，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，再结合三角形外角的性质推出∠BDE=3∠O，先求出∠O的度数，最后根据平角为180°即可计算∠CDE的度数。
(2) 每次添加的钢管长度等于OC，可知新增的三角形都是等腰三角形，利用三角形外角性质可得出每个等腰三角形的底角依次增加10°，结合三角形内角和定理，底角不能大于等于90°，由此即可求出最多能添加的钢管数量。
【解析】
(1)
∵ OC=CD=DE
∴ ∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC
由三角形外角的性质可得：∠DCE=∠O+∠CDO=2∠O
∴ ∠DEC=2∠O
又∠BDE是△ODE的外角
∴ ∠BDE=∠O+∠DEC=∠O+2∠O=3∠O
已知∠BDE=66°，则3∠O=66°，解得∠O=22°
∴ ∠CDO=∠O=22°
∵ ∠CDO+∠CDE+∠BDE=180°（平角的定义）
∴ ∠CDE=180°-22°-66°=92°
(2)
∵ 添加的钢管长度都与OC相等
∴ OC=CD=DE=EF=FG=……，所有新增的三角形均为等腰三角形
在△OCD中，∠CDO=∠O=10°
∠DCE是△OCD的外角，故∠DCE=∠O+∠CDO=20°
在△CDE中，CD=DE，故∠DEC=∠DCE=20°
同理可得，后续每个等腰三角形的底角依次为30°、40°、50°、60°、70°、80°、90°……
根据三角形内角和定理，等腰三角形的底角必须小于90°，因此最大底角为80°，对应的是第8根钢管，再往后底角为90°无法构成三角形，故最多能添加8根钢管。
【答案】
(1) $\boldsymbol{92°}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题以古代“三等分角”的数学文化为背景，考查等腰三角形和三角形角度相关性质的综合应用，解题的核心是通过等腰三角形的性质推导角度的变化规律，同时注意三角形内角的取值限制，既考查了基础知识点的掌握，也锻炼了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知OC=CD=DE，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，再结合三角形外角的性质推出∠BDE=3∠O，先求出∠O的度数，最后根据平角为180°即可计算∠CDE的度数。
(2) 每次添加的钢管长度等于OC，可知新增的三角形都是等腰三角形，利用三角形外角性质可得出每个等腰三角形的底角依次增加10°，结合三角形内角和定理，底角不能大于等于90°，由此即可求出最多能添加的钢管数量。
【解析】
(1)
∵ OC=CD=DE
∴ ∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC
由三角形外角的性质可得：∠DCE=∠O+∠CDO=2∠O
∴ ∠DEC=2∠O
又∠BDE是△ODE的外角
∴ ∠BDE=∠O+∠DEC=∠O+2∠O=3∠O
已知∠BDE=66°，则3∠O=66°，解得∠O=22°
∴ ∠CDO=∠O=22°
∵ ∠CDO+∠CDE+∠BDE=180°（平角的定义）
∴ ∠CDE=180°-22°-66°=92°
(2)
∵ 添加的钢管长度都与OC相等
∴ OC=CD=DE=EF=FG=……，所有新增的三角形均为等腰三角形
在△OCD中，∠CDO=∠O=10°
∠DCE是△OCD的外角，故∠DCE=∠O+∠CDO=20°
在△CDE中，CD=DE，故∠DEC=∠DCE=20°
同理可得，后续每个等腰三角形的底角依次为30°、40°、50°、60°、70°、80°、90°……
根据三角形内角和定理，等腰三角形的底角必须小于90°，因此最大底角为80°，对应的是第8根钢管，再往后底角为90°无法构成三角形，故最多能添加8根钢管。
【答案】
(1) $\boldsymbol{92°}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题以古代“三等分角”的数学文化为背景，考查等腰三角形和三角形角度相关性质的综合应用，解题的核心是通过等腰三角形的性质推导角度的变化规律，同时注意三角形内角的取值限制，既考查了基础知识点的掌握，也锻炼了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
