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三、解答题(共60分)
11.(10分)如图，写出下列图形各有几条对称轴，并把它们画出来.
11.(10分)如图，写出下列图形各有几条对称轴，并把它们画出来.
答案
11. 解:如图,4个图形对称轴的条数分别为1,2,4,2.
解析
【分析】
解题首先要明确轴对称图形及对称轴的定义：平面内，一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。解题时依次对4个图形逐一分析，寻找所有能让图形对折后完全重合的直线，计数的同时用虚线画出这些直线即可，注意不要遗漏或多算对称轴。
【解析】
我们根据对称轴的定义逐个判断：
1. 左数第一个图形：仅存在1条竖直方向的直线，沿该直线折叠，图形左右两部分完全重合，因此它有1条对称轴；
2. 左数第二个图形：存在2条对称轴，分别为水平方向和竖直方向的直线，沿这两条直线折叠图形均可完全重合，其余直线均不满足要求，因此有2条对称轴；
3. 左数第三个四角星图形：存在4条对称轴，分别为水平方向、竖直方向、两条45°倾斜方向的直线，沿这4条直线折叠图形均可完全重合，因此有4条对称轴；
4. 左数第四个图形：存在2条对称轴，分别为水平方向和竖直方向的直线，沿这两条直线折叠图形均可完全重合，因此有2条对称轴。
最终画出的对称轴见答案所示。
【答案】
11. 解:如图,4个图形对称轴的条数分别为1,2,4,2.
【知识点】
轴对称图形定义，对称轴计数，对称轴画法
【点评】
本题属于基础考题，重点考查对轴对称图形的认知和作图能力，解题时紧扣定义逐一排查即可，需注意避免漏数、多数对称轴的问题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确轴对称图形及对称轴的定义：平面内，一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。解题时依次对4个图形逐一分析，寻找所有能让图形对折后完全重合的直线，计数的同时用虚线画出这些直线即可，注意不要遗漏或多算对称轴。
【解析】
我们根据对称轴的定义逐个判断：
1. 左数第一个图形：仅存在1条竖直方向的直线，沿该直线折叠，图形左右两部分完全重合，因此它有1条对称轴；
2. 左数第二个图形：存在2条对称轴，分别为水平方向和竖直方向的直线，沿这两条直线折叠图形均可完全重合，其余直线均不满足要求，因此有2条对称轴；
3. 左数第三个四角星图形：存在4条对称轴，分别为水平方向、竖直方向、两条45°倾斜方向的直线，沿这4条直线折叠图形均可完全重合，因此有4条对称轴；
4. 左数第四个图形：存在2条对称轴，分别为水平方向和竖直方向的直线，沿这两条直线折叠图形均可完全重合，因此有2条对称轴。
最终画出的对称轴见答案所示。
【答案】
11. 解:如图,4个图形对称轴的条数分别为1,2,4,2.
【知识点】
轴对称图形定义，对称轴计数，对称轴画法
【点评】
本题属于基础考题，重点考查对轴对称图形的认知和作图能力，解题时紧扣定义逐一排查即可，需注意避免漏数、多数对称轴的问题。
【难度系数】
0.8
12.(12分)如图,在平面直角坐标系中,A(1,2),B(3,1),C(-2,-1).
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁;
(2)写出点A₁,B₁,C₁的坐标;
(3)求△ABC的面积.
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁;
(2)写出点A₁,B₁,C₁的坐标;
(3)求△ABC的面积.
答案
12. 解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.(2)A₁(1,-2),B₁(3,-1),C₁(-2,1).(3)$S_{△ ABC}=5×3-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×5×2=\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
(1) 作△ABC关于x轴对称的图形，首先利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出三个顶点的对称点坐标，再描点、顺次连接即可得到所求图形。
(2) 直接根据关于x轴对称的点的坐标变化规律，对应写出三个对称点的坐标即可。
(3) △ABC为网格中的不规则三角形，采用割补法求解：将△ABC放入可完全覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) ①根据关于x轴对称的点的坐标特征，分别计算A、B、C三点的对称点坐标：A(1,2)的对称点为A₁(1,-2)，B(3,1)的对称点为B₁(3,-1)，C(-2,-1)的对称点为C₁(-2,1)；②在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点；③顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 由关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得三个点的坐标：A₁(1,-2)，B₁(3,-1)，C₁(-2,1)。
(3) 用割补法计算面积：
构造覆盖△ABC的矩形，矩形的长为$3-(-2)=5$，宽为$2-(-1)=3$，矩形面积为$5×3=15$。
再计算矩形内三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×5×2=5$。
因此△ABC的面积为：
$S_{△ABC}=15-\frac{9}{2}-1-5=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) A₁(1,-2)，B₁(3,-1)，C₁(-2,1)
(3) $S_{△ABC}=\frac{9}{2}$
【知识点】
画轴对称图形、关于x轴对称的点的坐标、割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系与轴对称结合的基础题，同时考查了网格中不规则图形面积的计算方法，熟练掌握对称点坐标变化规律和割补法的应用即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 作△ABC关于x轴对称的图形，首先利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出三个顶点的对称点坐标，再描点、顺次连接即可得到所求图形。
(2) 直接根据关于x轴对称的点的坐标变化规律，对应写出三个对称点的坐标即可。
(3) △ABC为网格中的不规则三角形，采用割补法求解：将△ABC放入可完全覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) ①根据关于x轴对称的点的坐标特征，分别计算A、B、C三点的对称点坐标：A(1,2)的对称点为A₁(1,-2)，B(3,1)的对称点为B₁(3,-1)，C(-2,-1)的对称点为C₁(-2,1)；②在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点；③顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 由关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得三个点的坐标：A₁(1,-2)，B₁(3,-1)，C₁(-2,1)。
(3) 用割补法计算面积：
构造覆盖△ABC的矩形，矩形的长为$3-(-2)=5$，宽为$2-(-1)=3$，矩形面积为$5×3=15$。
再计算矩形内三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×5×2=5$。
因此△ABC的面积为：
$S_{△ABC}=15-\frac{9}{2}-1-5=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) A₁(1,-2)，B₁(3,-1)，C₁(-2,1)
(3) $S_{△ABC}=\frac{9}{2}$
【知识点】
画轴对称图形、关于x轴对称的点的坐标、割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系与轴对称结合的基础题，同时考查了网格中不规则图形面积的计算方法，熟练掌握对称点坐标变化规律和割补法的应用即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
13.(12分)如图，AD与BC相交于点O，连接AB，CD并延长，AB，CD交于点E，连接OE，BD.已知$OA=OC$，$∠ A=∠ C$，$BE=DE$.求证:OE垂直平分BD.
答案
13. 证明:在$△ AOB$和$△ COD$中,$\begin{cases}∠A=∠C,\\OA=OC,\\∠AOB=∠COD,\end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA}).\therefore OB=OD.\therefore$ 点$O$在线段$BD$的垂直平分线上.$\because BE=DE,\therefore$ 点$E$在线段$BD$的垂直平分线上.$\therefore OE$ 垂直平分$BD$.
$\therefore△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA}).\therefore OB=OD.\therefore$ 点$O$在线段$BD$的垂直平分线上.$\because BE=DE,\therefore$ 点$E$在线段$BD$的垂直平分线上.$\therefore OE$ 垂直平分$BD$.
解析
【分析】
要证明OE垂直平分BD，可利用线段垂直平分线的判定思路：只要证明O、E两点均在线段BD的垂直平分线上即可。首先结合已知条件OA=OC、∠A=∠C，加上对顶角∠AOB=∠COD，可通过ASA证明△AOB和△COD全等，从而得到OB=OD，推出点O在BD的垂直平分线上；再结合已知的BE=DE，可直接推出点E也在BD的垂直平分线上，即可得出OE是BD的垂直平分线。
【解析】
证明：在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COD(\mathrm{ASA})$。
$\therefore OB=OD$，$\therefore$ 点$O$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\because BE=DE$，$\therefore$ 点$E$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\therefore OE$ 垂直平分$BD$。
【答案】
证明：在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COD(\mathrm{ASA})$。
$\therefore OB=OD$，$\therefore$ 点$O$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\because BE=DE$，$\therefore$ 点$E$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\therefore OE$ 垂直平分$BD$。
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查线段垂直平分线的判定方法，解题关键是明确：若直线上存在两个点到某线段两端点的距离相等，则该直线就是这条线段的垂直平分线，整体逻辑链条清晰，侧重对基础定理的理解与应用。
【难度系数】
0.7
要证明OE垂直平分BD，可利用线段垂直平分线的判定思路：只要证明O、E两点均在线段BD的垂直平分线上即可。首先结合已知条件OA=OC、∠A=∠C，加上对顶角∠AOB=∠COD，可通过ASA证明△AOB和△COD全等，从而得到OB=OD，推出点O在BD的垂直平分线上；再结合已知的BE=DE，可直接推出点E也在BD的垂直平分线上，即可得出OE是BD的垂直平分线。
【解析】
证明：在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COD(\mathrm{ASA})$。
$\therefore OB=OD$，$\therefore$ 点$O$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\because BE=DE$，$\therefore$ 点$E$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\therefore OE$ 垂直平分$BD$。
【答案】
证明：在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COD(\mathrm{ASA})$。
$\therefore OB=OD$，$\therefore$ 点$O$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\because BE=DE$，$\therefore$ 点$E$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\therefore OE$ 垂直平分$BD$。
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查线段垂直平分线的判定方法，解题关键是明确：若直线上存在两个点到某线段两端点的距离相等，则该直线就是这条线段的垂直平分线，整体逻辑链条清晰，侧重对基础定理的理解与应用。
【难度系数】
0.7
14.(12分)如图,公路m,n旁有两个村庄A和B,现要建一个活动点P,要求到公路m,n的距离相等,且到村庄A和B的距离也相等,请你画出点P.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
解:如图,点$P_1,P_2$即为所求.
解析
【分析】
要确定满足条件的点P，需要结合两个要求推导点P的轨迹：①到公路m、n的距离相等，根据角平分线的性质，可知点P在直线m、n相交所成角的角平分线上；②到村庄A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，可知点P在线段AB的垂直平分线上。因此两个轨迹的交点就是所求的点P，由于m、n相交形成2个夹角，对应2条角平分线，因此最终有2个符合要求的点。
【解析】
1. 分别作出直线m、n相交所形成的两个角的角平分线；
2. 连接AB，作出线段AB的垂直平分线；
3. 两条角平分线与AB的垂直平分线的交点即为所求的点$P_1$、$P_2$，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,点$P_1,P_2$即为所求.
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的实际应用类题目，解题核心是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，通过作角平分线和线段垂直平分线找到交点，解题时需注意两条相交直线形成两个夹角，对应两条角平分线，因此共有2个符合条件的点，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要确定满足条件的点P，需要结合两个要求推导点P的轨迹：①到公路m、n的距离相等，根据角平分线的性质，可知点P在直线m、n相交所成角的角平分线上；②到村庄A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，可知点P在线段AB的垂直平分线上。因此两个轨迹的交点就是所求的点P，由于m、n相交形成2个夹角，对应2条角平分线，因此最终有2个符合要求的点。
【解析】
1. 分别作出直线m、n相交所形成的两个角的角平分线；
2. 连接AB，作出线段AB的垂直平分线；
3. 两条角平分线与AB的垂直平分线的交点即为所求的点$P_1$、$P_2$，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,点$P_1,P_2$即为所求.
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的实际应用类题目，解题核心是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，通过作角平分线和线段垂直平分线找到交点，解题时需注意两条相交直线形成两个夹角，对应两条角平分线，因此共有2个符合条件的点，避免漏解。
【难度系数】
0.7
15.(14分)在$△ ABC$中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q，连接AP，AQ.
（1）如图①，若$∠ BAC=80°$，求$∠ PAQ$的度数；
（2）如图②，若$AP⊥ AQ$，求$∠ BAC$的度数.
（1）如图①，若$∠ BAC=80°$，求$∠ PAQ$的度数；
（2）如图②，若$AP⊥ AQ$，求$∠ BAC$的度数.
答案
15. 解:(1)$\because MP$ 是 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore AP=BP$.
又$\because PM=PM,\therefore$ 易证 $\mathrm{Rt}△ PAM≌\mathrm{Rt}△ PBM(\mathrm{HL})$.
$\therefore∠ BAP=∠ B$. 同理可得$∠ CAQ=∠ C$. $\because∠ BAC=80°,\therefore∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=100°$. $\therefore∠ PAQ=∠ BAP+∠ CAQ-∠ BAC=∠ B+∠ C-∠ BAC=20°$. (2)$\because AP⊥ AQ,\therefore∠ PAQ=90°$. 由(1)知$∠ BAP=∠ B$,$∠ CAQ=∠ C$,$\therefore∠ B+∠ C=∠ BAP+∠ CAQ=∠ BAC-∠ PAQ$. $\therefore180°-∠ BAC=∠ BAC-90°$. $\therefore∠ BAC=135°$.
又$\because PM=PM,\therefore$ 易证 $\mathrm{Rt}△ PAM≌\mathrm{Rt}△ PBM(\mathrm{HL})$.
$\therefore∠ BAP=∠ B$. 同理可得$∠ CAQ=∠ C$. $\because∠ BAC=80°,\therefore∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=100°$. $\therefore∠ PAQ=∠ BAP+∠ CAQ-∠ BAC=∠ B+∠ C-∠ BAC=20°$. (2)$\because AP⊥ AQ,\therefore∠ PAQ=90°$. 由(1)知$∠ BAP=∠ B$,$∠ CAQ=∠ C$,$\therefore∠ B+∠ C=∠ BAP+∠ CAQ=∠ BAC-∠ PAQ$. $\therefore180°-∠ BAC=∠ BAC-90°$. $\therefore∠ BAC=135°$.
解析
【分析】
本题需结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形性质和三角形内角和定理解题：
(1) 首先根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得$AP=BP$、$AQ=CQ$，进而推出$∠ BAP=∠ B$、$∠ CAQ=∠ C$；再利用三角形内角和求出$∠ B+∠ C$的度数，最后通过角的和差关系计算$∠ PAQ$的度数。
(2) 由$AP⊥ AQ$得到$∠ PAQ=90°$，沿用(1)中的角的等量关系，建立关于$∠ BAC$的方程，解方程即可求出$∠ BAC$的度数。
【解析】
(1) $\because MP$是$AB$的垂直平分线，$\therefore AP=BP$。
在$\mathrm{Rt}△PAM$和$\mathrm{Rt}△PBM$中，$\begin{cases}AP=BP\\PM=PM\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△PAM≌\mathrm{Rt}△PBM(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠ BAP=∠ B$。
同理可得$∠ CAQ=∠ C$。
$\because ∠ BAC=80°$，在$△ABC$中，$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=180°-80°=100°$。
$\therefore ∠ PAQ=∠ BAP+∠ CAQ-∠ BAC=∠ B+∠ C-∠ BAC=100°-80°=20°$。
(2) $\because AP⊥ AQ$，$\therefore ∠ PAQ=90°$。
由(1)可知$∠ BAP=∠ B$，$∠ CAQ=∠ C$，
$\therefore ∠ B+∠ C=∠ BAP+∠ CAQ=∠ BAC-∠ PAQ$。
在$△ABC$中，$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC$，
$\therefore 180°-∠ BAC=∠ BAC-90°$，
移项计算得$2∠ BAC=270°$，解得$∠ BAC=135°$。
【答案】
(1) $\boxed{20°}$；(2) $\boxed{135°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理，通过角的和差关系或建立方程求解角度，解题的关键是准确梳理各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题需结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形性质和三角形内角和定理解题：
(1) 首先根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得$AP=BP$、$AQ=CQ$，进而推出$∠ BAP=∠ B$、$∠ CAQ=∠ C$；再利用三角形内角和求出$∠ B+∠ C$的度数，最后通过角的和差关系计算$∠ PAQ$的度数。
(2) 由$AP⊥ AQ$得到$∠ PAQ=90°$，沿用(1)中的角的等量关系，建立关于$∠ BAC$的方程，解方程即可求出$∠ BAC$的度数。
【解析】
(1) $\because MP$是$AB$的垂直平分线，$\therefore AP=BP$。
在$\mathrm{Rt}△PAM$和$\mathrm{Rt}△PBM$中，$\begin{cases}AP=BP\\PM=PM\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△PAM≌\mathrm{Rt}△PBM(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠ BAP=∠ B$。
同理可得$∠ CAQ=∠ C$。
$\because ∠ BAC=80°$，在$△ABC$中，$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=180°-80°=100°$。
$\therefore ∠ PAQ=∠ BAP+∠ CAQ-∠ BAC=∠ B+∠ C-∠ BAC=100°-80°=20°$。
(2) $\because AP⊥ AQ$，$\therefore ∠ PAQ=90°$。
由(1)可知$∠ BAP=∠ B$，$∠ CAQ=∠ C$，
$\therefore ∠ B+∠ C=∠ BAP+∠ CAQ=∠ BAC-∠ PAQ$。
在$△ABC$中，$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC$，
$\therefore 180°-∠ BAC=∠ BAC-90°$，
移项计算得$2∠ BAC=270°$，解得$∠ BAC=135°$。
【答案】
(1) $\boxed{20°}$；(2) $\boxed{135°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理，通过角的和差关系或建立方程求解角度，解题的关键是准确梳理各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
