登录
14.请你认真阅读下面材料：
计算：$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$。
解：原式的倒数是$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20-(-3)+(-5)-(-12)$
$=-20+3-5+12$
$=-10$，
故原式$=-\frac{1}{10}$。
根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}+\frac{5}{14}-\frac{2}{3}+\frac{3}{7})$。
计算：$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$。
解：原式的倒数是$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20-(-3)+(-5)-(-12)$
$=-20+3-5+12$
$=-10$，
故原式$=-\frac{1}{10}$。
根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}+\frac{5}{14}-\frac{2}{3}+\frac{3}{7})$。
答案
解:原式的倒数是$(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{14}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{7})÷ (-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{14}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{7})× (-42)$
$=\dfrac{1}{6}× (-42)+\dfrac{5}{14}× (-42)-\dfrac{2}{3}× (-42)+$
$\dfrac{3}{7}× (-42)$
$=-7+(-15)-(-28)+(-18)$
$=-7-15+28-18$
$=-12,$
故原式$=-\dfrac{1}{12}$。
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{14}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{7})× (-42)$
$=\dfrac{1}{6}× (-42)+\dfrac{5}{14}× (-42)-\dfrac{2}{3}× (-42)+$
$\dfrac{3}{7}× (-42)$
$=-7+(-15)-(-28)+(-18)$
$=-7-15+28-18$
$=-12,$
故原式$=-\dfrac{1}{12}$。
解析
【分析】
这是一道材料阅读类的有理数运算题，材料给出了“倒数法”的简便运算思路：当被除数是单一的分数单位形式，除数是多个分数的加减运算时，直接通分计算除数的和比较繁琐，我们可以先计算原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算，最后对算出的倒数结果取倒数，就能得到原式的答案，避免复杂的通分步骤。
【解析】
解：原式的倒数是$(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{14}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{7})÷ (-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{14}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{7})× (-42)$
根据乘法分配律展开得：
$=\dfrac{1}{6}× (-42)+\dfrac{5}{14}× (-42)-\dfrac{2}{3}× (-42)+\dfrac{3}{7}× (-42)$
分别计算每一项乘积：
$=-7+(-15)-(-28)+(-18)$
去括号化简：
$=-7-15+28-18$
$=-12$
故原式$=-\dfrac{1}{12}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{12}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题属于材料阅读型运算题，核心是理解材料给出的倒数法简便运算逻辑，通过求倒数将复杂的分数除法转化为可利用乘法分配律计算的乘法运算，大大降低计算量，避免通分计算出错，主要考查学生的材料理解能力和简便运算的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道材料阅读类的有理数运算题，材料给出了“倒数法”的简便运算思路：当被除数是单一的分数单位形式，除数是多个分数的加减运算时，直接通分计算除数的和比较繁琐，我们可以先计算原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算，最后对算出的倒数结果取倒数，就能得到原式的答案，避免复杂的通分步骤。
【解析】
解：原式的倒数是$(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{14}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{7})÷ (-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{14}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{7})× (-42)$
根据乘法分配律展开得：
$=\dfrac{1}{6}× (-42)+\dfrac{5}{14}× (-42)-\dfrac{2}{3}× (-42)+\dfrac{3}{7}× (-42)$
分别计算每一项乘积：
$=-7+(-15)-(-28)+(-18)$
去括号化简：
$=-7-15+28-18$
$=-12$
故原式$=-\dfrac{1}{12}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{12}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题属于材料阅读型运算题，核心是理解材料给出的倒数法简便运算逻辑，通过求倒数将复杂的分数除法转化为可利用乘法分配律计算的乘法运算，大大降低计算量，避免通分计算出错，主要考查学生的材料理解能力和简便运算的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
15.用“⊗”表示一种新运算：$a\otimes b = ab - (a + b)$，求：
(1)$(-2)\otimes (-3)$的值；
(2)$(3\otimes 4)\otimes (-5)$的值。
(1)$(-2)\otimes (-3)$的值；
(2)$(3\otimes 4)\otimes (-5)$的值。
答案
(1) 11
(2) $-25$
(2) $-25$
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题核心是先明确新运算“⊗”的运算规则：两个数进行⊗运算，结果等于两数的乘积减去两数的和。
(1) 第一问可直接将$a=-2$、$b=-3$代入新运算公式，按照有理数运算规则计算即可；
(2) 第二问有括号，需遵循“先算括号内”的运算顺序，先计算出$3\otimes 4$的结果，再将该结果作为新的$a$、$-5$作为新的$b$，代入公式计算最终结果，计算时注意负数的符号处理。
【解析】
根据新运算规则：$a\otimes b = ab - (a + b)$
(1) 计算$(-2)\otimes (-3)$，此时$a=-2$，$b=-3$，代入得：
$\begin{aligned}(-2)\otimes (-3)&=(-2)×(-3)-[(-2)+(-3)]\\&=6 - (-5)\\&=6 + 5\\&=11\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的$3\otimes 4$，此时$a=3$，$b=4$，代入得：
$\begin{aligned}3\otimes 4&=3×4-(3+4)\\&=12-7\\&=5\end{aligned}$
再计算$5\otimes (-5)$，此时$a=5$，$b=-5$，代入得：
$\begin{aligned}5\otimes (-5)&=5×(-5)-[5+(-5)]\\&=-25 - 0\\&=-25\end{aligned}$
即$(3\otimes 4)\otimes (-5)=-25$
【答案】
(1) $\boxed{11}$；(2) $\boxed{-25}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题的关键是准确理解新运算的规则，严格按照规则代入数值计算，计算时要注意先算括号内的部分，同时注意负数运算的符号变化，避免因符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算题型，解题核心是先明确新运算“⊗”的运算规则：两个数进行⊗运算，结果等于两数的乘积减去两数的和。
(1) 第一问可直接将$a=-2$、$b=-3$代入新运算公式，按照有理数运算规则计算即可；
(2) 第二问有括号，需遵循“先算括号内”的运算顺序，先计算出$3\otimes 4$的结果，再将该结果作为新的$a$、$-5$作为新的$b$，代入公式计算最终结果，计算时注意负数的符号处理。
【解析】
根据新运算规则：$a\otimes b = ab - (a + b)$
(1) 计算$(-2)\otimes (-3)$，此时$a=-2$，$b=-3$，代入得：
$\begin{aligned}(-2)\otimes (-3)&=(-2)×(-3)-[(-2)+(-3)]\\&=6 - (-5)\\&=6 + 5\\&=11\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的$3\otimes 4$，此时$a=3$，$b=4$，代入得：
$\begin{aligned}3\otimes 4&=3×4-(3+4)\\&=12-7\\&=5\end{aligned}$
再计算$5\otimes (-5)$，此时$a=5$，$b=-5$，代入得：
$\begin{aligned}5\otimes (-5)&=5×(-5)-[5+(-5)]\\&=-25 - 0\\&=-25\end{aligned}$
即$(3\otimes 4)\otimes (-5)=-25$
【答案】
(1) $\boxed{11}$；(2) $\boxed{-25}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题的关键是准确理解新运算的规则，严格按照规则代入数值计算，计算时要注意先算括号内的部分，同时注意负数运算的符号变化，避免因符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.8
