1. 了解因式分解法，会用其解一元二次方程。
2. 能根据方程的特征选择合适的解法，体会解法的多样性。
3. 提升运算能力与推理能力，发展化归思想。
自主导学

【分析】
本次自主学习围绕因式分解法解一元二次方程展开，我们可以从已学知识切入思考：已经掌握提公因式、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法，也知道“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的结论，因式分解法的核心就是把二次方程降次转化为熟悉的一元一次方程求解，符合化归的数学思想。学习时先梳理因式分解法的解题步骤，再结合不同形式的方程练习，总结不同特征方程对应的最优解法，就能达成学习目标。
【解析】
1. 因式分解法的核心原理：若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$，利用该原理可将二次方程降为一次方程求解，实现未知向已知的转化。
2. 因式分解法的标准解题步骤：
① 移项：将方程整理为左边是多项式、右边为0的标准形式；
② 分解：将左边的多项式因式分解，得到两个一次因式的乘积形式；
③ 降次：令两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④ 求解：分别解两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的解。
3. 常见方程特征及解法选择：
① 若方程不含常数项（如$x^2+bx=0$）：优先选择提公因式法分解；
② 若方程符合平方差形式（如$x^2-c^2=0$）：选择平方差公式分解；
③ 若方程符合完全平方形式（如$x^2\pm2bx+b^2=0$）：选择完全平方公式分解；
④ 若上述方法都不适用，再选择配方法或公式法求解。
示例：解方程$2x(x-1)=x-1$
解：①移项得$2x(x-1)-(x-1)=0$
②提取公因式$(x-1)$得$(x-1)(2x-1)=0$
③令$x-1=0$或$2x-1=0$
④解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$
【答案】
掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，能根据方程特征选择最优解法，感悟化归思想即可。
【知识点】
因式分解法解方程，一元二次方程解法选择，化归思想
【点评】
因式分解法是解一元二次方程的常用简便方法，熟练掌握该方法不仅能提升运算效率，还能进一步加深对降次、化归等数学思想的理解，学习时可以结合不同类型的方程多加练习，巩固因式分解基础，总结解法选择的规律。
【难度系数】
0.7

1. 因式分解法:先分解因式,使方程化为两个的乘积等于的形式,再使这两个分别等于,从而实现.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

1. 一次式 0 一次式 0 降次

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基本定义，解题时可结合该方法的原理推导填空内容：因式分解法的核心逻辑是利用“若两个代数式的乘积为0，则至少其中一个代数式的值为0”的性质，将次数较高的一元二次方程转化为次数更低的一次方程求解。首先需要将方程整理为左边是两个一次式相乘、右边为0的形式，再分别令两个一次式等于0，即可将二次方程转化为一次方程，实现降次的目的，对应空缺内容即可逐一确定。
【解析】
根据因式分解法的定义：先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。因此空缺处依次对应填入相关内容即可。
【答案】
一次式；0；一次式；0；降次
【知识点】
1. 因式分解法的概念
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生理解并记忆因式分解法解一元二次方程的原理和步骤，是运用因式分解法解方程的必备基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

2. 因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)化0.通过移项,将方程右边化为.
(2)分解.将方程左边分解为两个次因式的乘积.
(3)降次.令每个因式等于0,得到两个方程.
(4)求根.解这两个一元一次方程,它们的根就是原一元二次方程的根.

2. (1) 0 (2) 一 (3) 一元一次

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的步骤记忆，解题时可结合该方法的核心逻辑推导每一步的要求：①因式分解法的原理是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，因此首先要把方程整理为左边是多项式、右边是0的形式，所以第一步移项后右边要化为0；②一元二次方程左边是二次多项式，因式分解的目标是将其拆成两个次数更低的整式乘积，要实现降次，就需要分解为两个一次因式相乘；③令每个一次因式等于0，得到的方程只含一个未知数，且未知数最高次数为1，也就是一元一次方程，实现将二次方程转化为已学的一次方程求解的目的。
【解析】
(1) 化0步骤的要求是通过移项，将方程所有项都移到左边，使右边化为0，故第一空填0；
(2) 分解步骤需将方程左边的二次多项式分解为两个一次因式的乘积，才能实现后续降次，故第二空填一；
(3) 降次步骤中，令每个一次因式等于0，得到的是两个一元一次方程，故第三空填一元一次。
【答案】
(1) 0；(2) 一；(3) 一元一次
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；降次转化思想
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查因式分解法解一元二次方程的操作步骤，理解每一步的原理就能轻松掌握相关内容。
【难度系数】
0.9

1. 方程$2x(5x - 4)=0$的根是().

A.$x_1=2,x_2=\frac{4}{5}$
B.$x_1=0,x_2=\frac{5}{4}$
C.$x_1=0,x_2=\frac{4}{5}$
D.$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{4}{5}$

1. C

【分析】
这道题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，把原二次方程拆分为两个一元一次方程分别求解，就能得到原方程的全部根，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
已知方程$2x(5x - 4)=0$，根据乘法的性质可得：
1. 当$2x=0$时，解得$x_1=0$；
2. 当$5x-4=0$时，移项得$5x=4$，系数化为1后解得$x_2=\frac{4}{5}$。
因此原方程的根为$x_1=0$，$x_2=\frac{4}{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，计算量小，主要考察因式分解法解一元二次方程的基础应用，熟练掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

2. 一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根是（）.

A.$x_1=3,x_2=1$
B.$x_1=2,x_2=0$
C.$x_1=3,x_2=-2$
D.$x_1=-2,x_2=-1$

2. B

【分析】
本题是求一元二次方程的根，首先观察方程特征：方程右侧为0，左侧多项式存在公因式x，因此优先选用因式分解法求解，比配方法、公式法更简便。解题步骤思路为：先对左侧多项式提取公因式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到方程的两个根，最后匹配选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x = 0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x-2)=0$
根据乘法的性质，若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，因此可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，$x_1=0$；
当$x-2=0$时，$x_2=2$。
因此方程的根为$x_1=0$，$x_2=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的基础求解方法，熟练掌握因式分解法等常见的一元二次方程解法，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9

3. 方程 $x(x + 3) = x + 3$ 的根是（）。

A.$x=1$
B.$x_1=0, x_2=-3$
C.$x_1=1, x_2=-3$
D.$x_1=1, x_2=3$

3. C

【分析】
求解本题首先要注意不能直接在方程两边同时除以含未知数的整式$x+3$，否则会漏掉$x=-3$这个根。正确的解题思路是先通过移项将方程右边化为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的全部根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x+3)-(x+3)=0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x+3=0$时，$x_1=-3$；
当$x-1=0$时，$x_2=1$。
因此原方程的根为$x_1=1, x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法的应用，解题时要注意避免直接约去含未知数的整式造成漏根，属于常见易错题。
【难度系数】
0.7