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4. 已知一元二次方程$(x+1)^2=3x+3$的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或第三象限
D.第二象限或第四象限
D
).A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或第三象限
D.第二象限或第四象限
答案
4. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要求解给定的一元二次方程得到两个根，再分两种情况讨论点P的坐标（两个根分别作为横坐标、纵坐标，以及交换顺序作为横纵坐标），最后结合各象限内点的坐标特征判断点P所在的象限即可。
【解析】
第一步：求解一元二次方程
原方程为$(x+1)^2=3x+3$，先移项整理得：
$(x+1)^2 - 3(x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$可得：
$(x+1)(x+1 - 3) = 0$
化简为：
$(x+1)(x-2) = 0$
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=2$。
第二步：分析点P的坐标及所在象限
已知点P的横、纵坐标分别是方程的两个根，分两种情况讨论：
① 当横坐标为$-1$，纵坐标为$2$时，点P坐标为$(-1,2)$，符合第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），属于第二象限；
② 当横坐标为$2$，纵坐标为$-1$时，点P坐标为$(2,-1)$，符合第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负），属于第四象限。
因此点P在第二象限或第四象限。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意不要遗漏两个根交换作为横纵坐标的情况，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要求解给定的一元二次方程得到两个根，再分两种情况讨论点P的坐标（两个根分别作为横坐标、纵坐标，以及交换顺序作为横纵坐标），最后结合各象限内点的坐标特征判断点P所在的象限即可。
【解析】
第一步：求解一元二次方程
原方程为$(x+1)^2=3x+3$，先移项整理得：
$(x+1)^2 - 3(x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$可得：
$(x+1)(x+1 - 3) = 0$
化简为：
$(x+1)(x-2) = 0$
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=2$。
第二步：分析点P的坐标及所在象限
已知点P的横、纵坐标分别是方程的两个根，分两种情况讨论：
① 当横坐标为$-1$，纵坐标为$2$时，点P坐标为$(-1,2)$，符合第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），属于第二象限；
② 当横坐标为$2$，纵坐标为$-1$时，点P坐标为$(2,-1)$，符合第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负），属于第四象限。
因此点P在第二象限或第四象限。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意不要遗漏两个根交换作为横纵坐标的情况，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
5. 新定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的3倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.若$(x-n)(x+3)=0$是“倍根方程”,则$n$的值为(
A.$-1$或$-9$
B.$1$
C.$-9$
D.$1$或$9$
A
).A.$-1$或$-9$
B.$1$
C.$-9$
D.$1$或$9$
答案
5. A
解析
【分析】
首先先求解给定的一元二次方程，得到它的两个实数根，再结合“倍根方程”的定义，即一个根是另一个根的3倍，分两种情况讨论两根的倍数关系，分别计算n的值即可，注意分类时不要漏解。
【解析】
解方程$(x-n)(x+3)=0$，可得两个实数根为$x_1=n$，$x_2=-3$。
根据“倍根方程”的定义，分两种情况讨论：
情况1：$x_1=3x_2$，代入得$n=3×(-3)=-9$；
情况2：$x_2=3x_1$，代入得$-3=3n$，解得$n=-1$。
综上，$n$的值为$-1$或$-9$，故选A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程的根；新定义问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题关键是准确理解新定义的含义，讨论两根的倍数关系时要考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先先求解给定的一元二次方程，得到它的两个实数根，再结合“倍根方程”的定义，即一个根是另一个根的3倍，分两种情况讨论两根的倍数关系，分别计算n的值即可，注意分类时不要漏解。
【解析】
解方程$(x-n)(x+3)=0$，可得两个实数根为$x_1=n$，$x_2=-3$。
根据“倍根方程”的定义，分两种情况讨论：
情况1：$x_1=3x_2$，代入得$n=3×(-3)=-9$；
情况2：$x_2=3x_1$，代入得$-3=3n$，解得$n=-1$。
综上，$n$的值为$-1$或$-9$，故选A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程的根；新定义问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题关键是准确理解新定义的含义，讨论两根的倍数关系时要考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 用因式分解法解方程$x^2 -16=0$时，分解因式后的方程是
$(x+4)(x-4)=0$
。答案
6. $(x+4)(x-4)=0$
解析
【分析】
解题时先观察方程左边的代数式结构，$x^2-16$符合平方差公式的形式（两个数的平方作差），因此可以利用平方差公式对左边进行因式分解，方程右边保持为0，即可得到分解因式后的方程。
【解析】
原方程为$x^2 -16=0$，
将左边变形为平方差的形式：$x^2 - 4^2=0$，
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对左边因式分解可得：$(x+4)(x-4)=0$。
【答案】
$(x+4)(x-4)=0$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见因式分解的方法是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时先观察方程左边的代数式结构，$x^2-16$符合平方差公式的形式（两个数的平方作差），因此可以利用平方差公式对左边进行因式分解，方程右边保持为0，即可得到分解因式后的方程。
【解析】
原方程为$x^2 -16=0$，
将左边变形为平方差的形式：$x^2 - 4^2=0$，
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对左边因式分解可得：$(x+4)(x-4)=0$。
【答案】
$(x+4)(x-4)=0$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见因式分解的方法是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.9
7. 方程$x^2=\sqrt{2}x$的根是
$x_1=0,x_2=\sqrt{2}$
。答案
7. $x_1=0,x_2=\sqrt{2}$
解析
【分析】
遇到这类一元二次方程，不能直接两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确解题思路是先将所有项移到方程左侧，使右侧为0，再通过提取公因式的方法对左侧多项式因式分解，将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的全部根。
【解析】
1. 移项，将所有含x的项移到等号左侧，得到：
$x^2 - \sqrt{2}x = 0$
2. 提取公因式x，对左侧代数式因式分解，可得：
$x(x - \sqrt{2}) = 0$
3. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，拆分得到两个一元一次方程：
$x=0$ 或 $x - \sqrt{2}=0$
4. 分别求解两个一次方程，得$x_1=0$，$x_2=\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的求解方法，解题时需注意不要直接对等式两边除以含未知数的式子，避免遗漏根，熟练掌握提取公因式的因式分解方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到这类一元二次方程，不能直接两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确解题思路是先将所有项移到方程左侧，使右侧为0，再通过提取公因式的方法对左侧多项式因式分解，将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的全部根。
【解析】
1. 移项，将所有含x的项移到等号左侧，得到：
$x^2 - \sqrt{2}x = 0$
2. 提取公因式x，对左侧代数式因式分解，可得：
$x(x - \sqrt{2}) = 0$
3. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，拆分得到两个一元一次方程：
$x=0$ 或 $x - \sqrt{2}=0$
4. 分别求解两个一次方程，得$x_1=0$，$x_2=\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的求解方法，解题时需注意不要直接对等式两边除以含未知数的式子，避免遗漏根，熟练掌握提取公因式的因式分解方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 解下列方程：
(1) $x^2 - 4x = 0$；
(2) $9x^2 - 64 = 0$；
(3) $-x^2 - 2x = 1$；
(4) $x(x - 1) = 8x - 8$。
(1) $x^2 - 4x = 0$；
(2) $9x^2 - 64 = 0$；
(3) $-x^2 - 2x = 1$；
(4) $x(x - 1) = 8x - 8$。
答案
(1) $x_1=0,x_2=4$ (2) $x_1=\frac{8}{3},x_2=-\frac{8}{3}$ (3) $x_1=x_2=-1$ (4) $x_1=1,x_2=8$
解析
【分析】
这是一组一元二次方程求解的题目，可根据方程的结构特征选择简便解法：
(1) 方程左边可提取公因式$x$，利用因式分解法，令每个因式为0即可求解；
(2) 方程符合平方差的结构，可先移项，用直接开平方法快速求解；
(3) 先移项整理为标准一元二次方程形式，可整理为完全平方式，用因式分解法求解；
(4) 先将右侧式子移到左侧，提取公因式$(x-1)$，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x = 0$提取公因式，得：
$x(x-4)=0$
∴ $x=0$ 或 $x-4=0$
解得 $x_1=0, x_2=4$
(2) 对$9x^2 - 64 = 0$移项，得：
$9x^2=64$
两边同时除以9，得：
$x^2=\frac{64}{9}$
开平方得：
$x=\pm\frac{8}{3}$
解得 $x_1=\frac{8}{3}, x_2=-\frac{8}{3}$
(3) 对$-x^2 - 2x = 1$移项，得：
$-x^2-2x-1=0$
两边同时乘$-1$，得：
$x^2+2x+1=0$
因式分解得：
$(x+1)^2=0$
解得 $x_1=x_2=-1$
(4) 对$x(x - 1) = 8x - 8$移项，得：
$x(x-1)-8(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)(x-8)=0$
∴ $x-1=0$ 或 $x-8=0$
解得 $x_1=1, x_2=8$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=4$ (2) $x_1=\frac{8}{3},x_2=-\frac{8}{3}$ (3) $x_1=x_2=-1$ (4) $x_1=1,x_2=8$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、直接开平方法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础求解能力，解题时需根据方程的特点灵活选择合适的解法，能有效提升解题效率，是一元二次方程部分的基础训练题。
【难度系数】
0.85
这是一组一元二次方程求解的题目，可根据方程的结构特征选择简便解法：
(1) 方程左边可提取公因式$x$，利用因式分解法，令每个因式为0即可求解；
(2) 方程符合平方差的结构，可先移项，用直接开平方法快速求解；
(3) 先移项整理为标准一元二次方程形式，可整理为完全平方式，用因式分解法求解；
(4) 先将右侧式子移到左侧，提取公因式$(x-1)$，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x = 0$提取公因式，得：
$x(x-4)=0$
∴ $x=0$ 或 $x-4=0$
解得 $x_1=0, x_2=4$
(2) 对$9x^2 - 64 = 0$移项，得：
$9x^2=64$
两边同时除以9，得：
$x^2=\frac{64}{9}$
开平方得：
$x=\pm\frac{8}{3}$
解得 $x_1=\frac{8}{3}, x_2=-\frac{8}{3}$
(3) 对$-x^2 - 2x = 1$移项，得：
$-x^2-2x-1=0$
两边同时乘$-1$，得：
$x^2+2x+1=0$
因式分解得：
$(x+1)^2=0$
解得 $x_1=x_2=-1$
(4) 对$x(x - 1) = 8x - 8$移项，得：
$x(x-1)-8(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)(x-8)=0$
∴ $x-1=0$ 或 $x-8=0$
解得 $x_1=1, x_2=8$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=4$ (2) $x_1=\frac{8}{3},x_2=-\frac{8}{3}$ (3) $x_1=x_2=-1$ (4) $x_1=1,x_2=8$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、直接开平方法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础求解能力，解题时需根据方程的特点灵活选择合适的解法，能有效提升解题效率，是一元二次方程部分的基础训练题。
【难度系数】
0.85
9.(易错题)解方程：
$x(2x+3)=6(2x+3).$
$x(2x+3)=6(2x+3).$
答案
解析
【分析】
本题是解方程易错题，很多同学会直接在方程两边同时除以$(2x+3)$，得到$x=6$，漏掉$2x+3=0$的情况导致丢根。正确思路是先将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(2x+3)$，把原一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部根。
【解析】
解：移项，得：
$x(2x+3)-6(2x+3)=0$
提取公因式$(2x+3)$，得：
$(2x+3)(x-6)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$2x+3=0$ 或 $x-6=0$
解$2x+3=0$，得$x_1=-\frac{3}{2}$；
解$x-6=0$，得$x_2=6$。
【答案】
$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解
【点评】
本题属于常见易错题型，解题时切记不可直接在方程两边同时除以含有未知数的整式，否则会丢失使该整式为0的根，通过移项、因式分解转化为一次方程求解的方法更严谨，不易漏根。
【难度系数】
0.6
本题是解方程易错题，很多同学会直接在方程两边同时除以$(2x+3)$，得到$x=6$，漏掉$2x+3=0$的情况导致丢根。正确思路是先将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(2x+3)$，把原一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部根。
【解析】
解：移项，得：
$x(2x+3)-6(2x+3)=0$
提取公因式$(2x+3)$，得：
$(2x+3)(x-6)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$2x+3=0$ 或 $x-6=0$
解$2x+3=0$，得$x_1=-\frac{3}{2}$；
解$x-6=0$，得$x_2=6$。
【答案】
$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解
【点评】
本题属于常见易错题型，解题时切记不可直接在方程两边同时除以含有未知数的整式，否则会丢失使该整式为0的根，通过移项、因式分解转化为一次方程求解的方法更严谨，不易漏根。
【难度系数】
0.6
10. 如图25.2-2是某同学解方程$(x+3)^2=3(x+3)$的过程：
图25.2-2
(1)你认为他解方程的过程正确吗？若不正确，请说明理由；
(2)用适当的方法解此方程。
图25.2-2
(1)你认为他解方程的过程正确吗？若不正确，请说明理由；
(2)用适当的方法解此方程。
答案
(1) 不正确，因为$x+3$可能是0，而等式两边不能都除以0，所以他解方程的过程不正确
(2) $(x+3)^2=3(x+3)$，$(x+3)^2-3(x+3)=0$，$x(x+3)=0$，则$x_1=0$，$x_2=-3$
(2) $(x+3)^2=3(x+3)$，$(x+3)^2-3(x+3)=0$，$x(x+3)=0$，则$x_1=0$，$x_2=-3$
解析
【分析】
(1) 判断解题过程是否正确需结合等式的性质思考：等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立，因此要先判断除式$x+3$是否可能为0，若$x+3$可能为0，直接除就不符合等式性质，会丢失方程的根。
(2) 解该方程适合用因式分解法：先将所有含$x+3$的项移到等号左侧，再提取公因式$x+3$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令两个因式为0，解对应的一元一次方程即可得到全部根。
【解析】
(1) 该同学的解方程过程不正确。
理由：根据等式的性质，等式两边同时除以的整式不能为0，本题中$x+3$有可能等于0，此时直接在方程两边同除以$x+3$，会丢失$x=-3$这个根，因此解题过程错误。
(2) 解方程$(x+3)^2=3(x+3)$的步骤如下：
① 移项，得：$(x+3)^2-3(x+3)=0$
② 提取公因式$x+3$，得：$(x+3)(x+3-3)=0$，化简为$x(x+3)=0$
③ 令每个因式为0，得：$x=0$或$x+3=0$
④ 解两个一次方程，得两个根。
【答案】
(1) 不正确，因为$x+3$可能是0，而等式两边不能都除以0，所以他解方程的过程不正确
(2) $x_1=0$，$x_2=-3$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查解一元二次方程的易错点和因式分解法的应用，解题时要注意不能随意除以可能为0的整式，避免出现丢根的问题，针对含相同公因式的一元二次方程，优先选择因式分解法求解更简便。
【难度系数】
0.7
(1) 判断解题过程是否正确需结合等式的性质思考：等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立，因此要先判断除式$x+3$是否可能为0，若$x+3$可能为0，直接除就不符合等式性质，会丢失方程的根。
(2) 解该方程适合用因式分解法：先将所有含$x+3$的项移到等号左侧，再提取公因式$x+3$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令两个因式为0，解对应的一元一次方程即可得到全部根。
【解析】
(1) 该同学的解方程过程不正确。
理由：根据等式的性质，等式两边同时除以的整式不能为0，本题中$x+3$有可能等于0，此时直接在方程两边同除以$x+3$，会丢失$x=-3$这个根，因此解题过程错误。
(2) 解方程$(x+3)^2=3(x+3)$的步骤如下：
① 移项，得：$(x+3)^2-3(x+3)=0$
② 提取公因式$x+3$，得：$(x+3)(x+3-3)=0$，化简为$x(x+3)=0$
③ 令每个因式为0，得：$x=0$或$x+3=0$
④ 解两个一次方程，得两个根。
【答案】
(1) 不正确，因为$x+3$可能是0，而等式两边不能都除以0，所以他解方程的过程不正确
(2) $x_1=0$，$x_2=-3$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查解一元二次方程的易错点和因式分解法的应用，解题时要注意不能随意除以可能为0的整式，避免出现丢根的问题，针对含相同公因式的一元二次方程，优先选择因式分解法求解更简便。
【难度系数】
0.7
11. 若关于$x$的一元二次方程$(x-2)·(x-m)=0$的一个根是10，则另一个根是
2
。答案
11. 2
解析
【分析】
我们可以通过两种思路解题：思路1：因式分解法解一元二次方程的原理是若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，因此方程$(x-2)(x-m)=0$的两个根分别对应$x-2=0$和$x-m=0$的解，即$x=2$和$x=m$，已知其中一个根是10，那么10就是$x=m$对应的根，剩下的另一个根自然就是2。思路2：可以先把已知根$x=10$代入原方程，求出参数$m$的值，再代入原方程求解另一个根，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：
∵ 方程$(x-2)(x-m)=0$是因式分解形式的一元二次方程
∴ 方程的根满足$x-2=0$或$x-m=0$
解得$x_1=2$，$x_2=m$
已知方程的一个根为10，因此$m=10$，则另一个根为2。
方法二：
将$x=10$代入方程$(x-2)(x-m)=0$得：
$(10-2)(10-m)=0$
即$8(10-m)=0$
解得$m=10$
∴ 原方程为$(x-2)(x-10)=0$
令$x-2=0$得$x=2$，即另一个根为2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的根、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的概念及因式分解法解方程的应用，解题时可灵活选择方法，直接利用因式分解的性质能更快得到答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
我们可以通过两种思路解题：思路1：因式分解法解一元二次方程的原理是若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，因此方程$(x-2)(x-m)=0$的两个根分别对应$x-2=0$和$x-m=0$的解，即$x=2$和$x=m$，已知其中一个根是10，那么10就是$x=m$对应的根，剩下的另一个根自然就是2。思路2：可以先把已知根$x=10$代入原方程，求出参数$m$的值，再代入原方程求解另一个根，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：
∵ 方程$(x-2)(x-m)=0$是因式分解形式的一元二次方程
∴ 方程的根满足$x-2=0$或$x-m=0$
解得$x_1=2$，$x_2=m$
已知方程的一个根为10，因此$m=10$，则另一个根为2。
方法二：
将$x=10$代入方程$(x-2)(x-m)=0$得：
$(10-2)(10-m)=0$
即$8(10-m)=0$
解得$m=10$
∴ 原方程为$(x-2)(x-10)=0$
令$x-2=0$得$x=2$，即另一个根为2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的根、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的概念及因式分解法解方程的应用，解题时可灵活选择方法，直接利用因式分解的性质能更快得到答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
