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一元二次方程的根与系数的关系:设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根分别为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$.
答案
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的基础推导与记忆。解题思路可通过一元二次方程求根公式推导得出结论：首先写出方程两个根的求根公式形式，再分别对两根做加法、乘法运算，化简后即可得到对应结果；也可直接记忆韦达定理的固定结论作答。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac\ge0$时，方程有两个实数根，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\dfrac{b}{a}$；$\dfrac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程求根公式
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对韦达定理核心结论的掌握情况，该知识点是求解一元二次方程相关问题的常用工具，需要在理解推导过程的基础上熟练记忆结论。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的基础推导与记忆。解题思路可通过一元二次方程求根公式推导得出结论：首先写出方程两个根的求根公式形式，再分别对两根做加法、乘法运算，化简后即可得到对应结果；也可直接记忆韦达定理的固定结论作答。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac\ge0$时，方程有两个实数根，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\dfrac{b}{a}$；$\dfrac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程求根公式
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对韦达定理核心结论的掌握情况，该知识点是求解一元二次方程相关问题的常用工具，需要在理解推导过程的基础上熟练记忆结论。
【难度系数】
0.9
1. 设方程$x^2 -4x -1=0$的两个根分别为$x_1$与$x_2$，则$x_1x_2$的值是(
A.-4
B.-1
C.1
D.0
B
)。A.-4
B.-1
C.1
D.0
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程两根乘积的求解，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程，两根$x_1$、$x_2$的乘积等于常数项与二次项系数的比值，即$x_1x_2=\frac{c}{a}$。无需解方程求出具体的根，只需先确定给定方程的二次项系数$a$、常数项$c$，注意系数的正负号，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根据根与系数的关系，若方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题中方程为$x^2-4x-1=0$，对应可得二次项系数$a=1$，常数项$c=-1$，代入公式得：
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确识别一元二次方程的各项系数，尤其要注意常数项的符号，直接套用韦达定理即可快速得出结果，不需要耗费时间求解方程的具体根，是对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程两根乘积的求解，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程，两根$x_1$、$x_2$的乘积等于常数项与二次项系数的比值，即$x_1x_2=\frac{c}{a}$。无需解方程求出具体的根，只需先确定给定方程的二次项系数$a$、常数项$c$，注意系数的正负号，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根据根与系数的关系，若方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题中方程为$x^2-4x-1=0$，对应可得二次项系数$a=1$，常数项$c=-1$，代入公式得：
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确识别一元二次方程的各项系数，尤其要注意常数项的符号，直接套用韦达定理即可快速得出结果，不需要耗费时间求解方程的具体根，是对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
2. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两个根分别为 $ x_1 = 2, x_2 = 1 $，那么 $ p, q $ 的值分别是(
A.$-3,2$
B.$3,-2$
C.$2,-3$
D.$2,3$
A
).A.$-3,2$
B.$3,-2$
C.$2,-3$
D.$2,3$
答案
2. A
解析
【分析】
已知一元二次方程的两个根，求方程中的未知系数p和q，可通过两种思路解题：一是利用方程的解的定义，将两个根分别代入方程，得到关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可得到结果；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，后者计算更简便。对于形式为$x^2+px+q=0$的一元二次方程，两根之和$x_1+x_2=-p$，两根之积$x_1x_2=q$，代入已知根的数值即可快速算出p、q的值。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$
将$x_1=2$，$x_2=1$代入上述公式：
$2+1=-p$，解得$p=-3$
$2×1=q$，解得$q=2$
方法二（代入法）：
将$x=2$代入方程得：$2^2+2p+q=0$，即$4+2p+q=0$ ①
将$x=1$代入方程得：$1^2+p+q=0$，即$1+p+q=0$ ②
用①-②消去q得：$3+p=0$，解得$p=-3$
将$p=-3$代入②得：$1-3+q=0$，解得$q=2$
综上，$p=-3$，$q=2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解法均符合要求，其中根与系数的关系解题更高效，解题时需注意两根之和与一次项系数的符号对应关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的两个根，求方程中的未知系数p和q，可通过两种思路解题：一是利用方程的解的定义，将两个根分别代入方程，得到关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可得到结果；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，后者计算更简便。对于形式为$x^2+px+q=0$的一元二次方程，两根之和$x_1+x_2=-p$，两根之积$x_1x_2=q$，代入已知根的数值即可快速算出p、q的值。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$
将$x_1=2$，$x_2=1$代入上述公式：
$2+1=-p$，解得$p=-3$
$2×1=q$，解得$q=2$
方法二（代入法）：
将$x=2$代入方程得：$2^2+2p+q=0$，即$4+2p+q=0$ ①
将$x=1$代入方程得：$1^2+p+q=0$，即$1+p+q=0$ ②
用①-②消去q得：$3+p=0$，解得$p=-3$
将$p=-3$代入②得：$1-3+q=0$，解得$q=2$
综上，$p=-3$，$q=2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解法均符合要求，其中根与系数的关系解题更高效，解题时需注意两根之和与一次项系数的符号对应关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
3. 若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，先把给定的一元二次方程整理成标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），确定系数$a、b、c$的值；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$m$和两根之积$n$；第三步，根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开变形得$x^2+2x-3=0$，
可知该方程中$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值计算：
$m=-\frac{2}{1}=-2$，
$n=\frac{-3}{1}=-3$。
因此点的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限的坐标特征，所以该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平面直角坐标系象限判定
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关知识和平面直角坐标系的知识点结合考查，难度较低，只要熟练掌握韦达定理的内容和各象限坐标的符号规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，先把给定的一元二次方程整理成标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），确定系数$a、b、c$的值；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$m$和两根之积$n$；第三步，根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开变形得$x^2+2x-3=0$，
可知该方程中$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值计算：
$m=-\frac{2}{1}=-2$，
$n=\frac{-3}{1}=-3$。
因此点的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限的坐标特征，所以该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平面直角坐标系象限判定
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关知识和平面直角坐标系的知识点结合考查，难度较低，只要熟练掌握韦达定理的内容和各象限坐标的符号规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 设$x_1,x_2$是方程$2x^2 -6x +3=0$的两个根，则$x_1^2 + x_2^2$的值是(
A.15
B.12
C.6
D.3
C
).A.15
B.12
C.6
D.3
答案
4. C
解析
【分析】
要计算方程两根的平方和，首先利用完全平方公式将代数式变形：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，变形后只需得到两根之和与两根之积即可，无需解方程求具体根的值。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可直接通过韦达定理（根与系数的关系）得到$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入变形后的式子就能算出结果。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 -6x +3=0$的两个根，其中$a=2$，$b=-6$，$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$。
将所求代数式变形后代入计算：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2 - 2×\frac{3}{2}=9-3=6$。
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根的代数式求值类基础题，解题核心是掌握代数式的变形技巧，将所求式子转化为可直接用韦达定理计算的形式，可简化计算过程，避免求解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
要计算方程两根的平方和，首先利用完全平方公式将代数式变形：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，变形后只需得到两根之和与两根之积即可，无需解方程求具体根的值。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可直接通过韦达定理（根与系数的关系）得到$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入变形后的式子就能算出结果。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 -6x +3=0$的两个根，其中$a=2$，$b=-6$，$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$。
将所求代数式变形后代入计算：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2 - 2×\frac{3}{2}=9-3=6$。
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根的代数式求值类基础题，解题核心是掌握代数式的变形技巧，将所求式子转化为可直接用韦达定理计算的形式，可简化计算过程，避免求解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
5. 若方程$3x^2 -10x + m = 0$有两个同号且不相等的实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m≥0$
B.$m＞0$
C.$0＜m＜\dfrac{25}{3}$
D.$0＜m≤\dfrac{25}{3}$
C
）.A.$m≥0$
B.$m＞0$
C.$0＜m＜\dfrac{25}{3}$
D.$0＜m≤\dfrac{25}{3}$
答案
5. C
解析
【分析】
本题需要结合一元二次方程根的个数条件和根的符号条件共同求解m的范围。首先，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0，可列出第一个不等式；其次，两个根同号，说明两根的乘积为正，结合根与系数的关系可列出第二个不等式，最后取两个不等式解集的公共部分即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -10x + m = 0$，其中二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-10$，常数项$c=m$。
① 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$：
代入数值计算：
$\Delta = (-10)^2 - 4×3× m ＞ 0$
$100 - 12m ＞ 0$
解得$m ＜ \frac{25}{3}$。
② 由两个根同号，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$：
代入数值计算：
$\frac{m}{3} ＞ 0$
解得$m ＞ 0$。
综合①②可得，m的取值范围是$0 ＜ m ＜ \frac{25}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用题，解题时需同时考虑根的个数和根的符号两个限制条件，易错点是误将判别式取为大于等于，导致错选D选项。
【难度系数】
0.7
本题需要结合一元二次方程根的个数条件和根的符号条件共同求解m的范围。首先，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0，可列出第一个不等式；其次，两个根同号，说明两根的乘积为正，结合根与系数的关系可列出第二个不等式，最后取两个不等式解集的公共部分即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -10x + m = 0$，其中二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-10$，常数项$c=m$。
① 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$：
代入数值计算：
$\Delta = (-10)^2 - 4×3× m ＞ 0$
$100 - 12m ＞ 0$
解得$m ＜ \frac{25}{3}$。
② 由两个根同号，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$：
代入数值计算：
$\frac{m}{3} ＞ 0$
解得$m ＞ 0$。
综合①②可得，m的取值范围是$0 ＜ m ＜ \frac{25}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础应用题，解题时需同时考虑根的个数和根的符号两个限制条件，易错点是误将判别式取为大于等于，导致错选D选项。
【难度系数】
0.7
6. 设$a,b$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，则$(a + 1)(b + 1)$的值为（
A.$-2024$
B.$2026$
C.$-2027$
D.$-2026$
D
）.A.$-2024$
B.$2026$
C.$-2027$
D.$-2026$
答案
6. D
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个实数根，求关于两根的代数式的值，解题思路如下：首先不需要求解a、b的具体数值，优先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和a+b、两根之积ab的值；再将待求代数式(a+1)(b+1)展开整理为含有a+b和ab的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵a，b是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b = -\frac{1}{1} = -1$，$ab = \frac{-2026}{1} = -2026$
将待求式展开：
$(a+1)(b+1) = ab + a + b + 1$
把$a+b=-1$，$ab=-2026$代入上式得：
原式$= -2026 + (-1) + 1 = -2026$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式化简求值
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查韦达定理的应用，无需计算方程的具体根即可解题，熟练掌握将目标代数式转化为两根之和、两根之积的表达形式是解题的核心，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的两个实数根，求关于两根的代数式的值，解题思路如下：首先不需要求解a、b的具体数值，优先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和a+b、两根之积ab的值；再将待求代数式(a+1)(b+1)展开整理为含有a+b和ab的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵a，b是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b = -\frac{1}{1} = -1$，$ab = \frac{-2026}{1} = -2026$
将待求式展开：
$(a+1)(b+1) = ab + a + b + 1$
把$a+b=-1$，$ab=-2026$代入上式得：
原式$= -2026 + (-1) + 1 = -2026$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式化简求值
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查韦达定理的应用，无需计算方程的具体根即可解题，熟练掌握将目标代数式转化为两根之和、两根之积的表达形式是解题的核心，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
7. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
-3
。答案
7. -3
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根，有两种常用解题思路：思路1：先将已知根$x_1=1$代入原方程，求出参数$m$的值，得到完整的一元二次方程后解方程即可得到另一个根；思路2：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于$-\frac{b}{a}$，代入已知条件直接计算$x_2$，该方法更简便，无需计算参数$m$。
【解析】
解法1（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+2x-m=0$，对应$a=1$，$b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$x_2=-2 - x_1=-2-1=-3$。
解法2（代入求参数再解方程）：
将$x_1=1$代入原方程得：$1^2+2×1 - m=0$，解得$m=3$。
原方程变为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x=1$或$x=-3$，因此$x_2=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解法都很常用，熟练掌握根与系数的关系可以简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根，有两种常用解题思路：思路1：先将已知根$x_1=1$代入原方程，求出参数$m$的值，得到完整的一元二次方程后解方程即可得到另一个根；思路2：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于$-\frac{b}{a}$，代入已知条件直接计算$x_2$，该方法更简便，无需计算参数$m$。
【解析】
解法1（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+2x-m=0$，对应$a=1$，$b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$x_2=-2 - x_1=-2-1=-3$。
解法2（代入求参数再解方程）：
将$x_1=1$代入原方程得：$1^2+2×1 - m=0$，解得$m=3$。
原方程变为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x=1$或$x=-3$，因此$x_2=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解法都很常用，熟练掌握根与系数的关系可以简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.9
8.（易错题）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m - 1)x + m^2 = 0$，若方程的两根互为倒数，则$m=$
-1
。答案
8. -1
解析
【分析】
解题时先从“两根互为倒数”的条件入手，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先得到两根之积为1，列方程求出m的初步取值；再注意一元二次方程存在两个实根的前提是判别式Δ≥0，要对求出的m值进行检验，排除不符合条件的增根，最终得到正确结果。
【解析】
设该一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据两根互为倒数的性质，得$x_1x_2=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由韦达定理可知两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$a=1$，$c=m^2$，因此：
$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
2. 方程有两个实数根，需满足判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=b^2-4ac=[-2(m-1)]^2-4×1× m^2$
$=4(m^2-2m+1)-4m^2$
$=-8m+4$
令$\Delta≥0$，即$-8m+4≥0$，解得$m≤\frac{1}{2}$。
3. 检验m的取值：
$m=1$时，$1＞\frac{1}{2}$，不符合$\Delta≥0$的要求，舍去；
$m=-1$时，$-1＜\frac{1}{2}$，符合条件。
因此$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；倒数的性质
【点评】
本题是典型的易错题，易错点在于求出$m=\pm1$后忽略方程有实根的前提条件，未通过判别式检验直接填写结果。解题时要注意：涉及一元二次方程两根的关系时，必须保证方程有实数根，要养成对结果检验的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时先从“两根互为倒数”的条件入手，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先得到两根之积为1，列方程求出m的初步取值；再注意一元二次方程存在两个实根的前提是判别式Δ≥0，要对求出的m值进行检验，排除不符合条件的增根，最终得到正确结果。
【解析】
设该一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据两根互为倒数的性质，得$x_1x_2=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由韦达定理可知两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$a=1$，$c=m^2$，因此：
$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
2. 方程有两个实数根，需满足判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=b^2-4ac=[-2(m-1)]^2-4×1× m^2$
$=4(m^2-2m+1)-4m^2$
$=-8m+4$
令$\Delta≥0$，即$-8m+4≥0$，解得$m≤\frac{1}{2}$。
3. 检验m的取值：
$m=1$时，$1＞\frac{1}{2}$，不符合$\Delta≥0$的要求，舍去；
$m=-1$时，$-1＜\frac{1}{2}$，符合条件。
因此$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；倒数的性质
【点评】
本题是典型的易错题，易错点在于求出$m=\pm1$后忽略方程有实根的前提条件，未通过判别式检验直接填写结果。解题时要注意：涉及一元二次方程两根的关系时，必须保证方程有实数根，要养成对结果检验的习惯。
【难度系数】
0.6
