5. 方程$3x^2 -8=7x$化为一般形式是________，$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$。

$3x^2-7x-8=0$ 3 $-7$ $-8$

【分析】
要解决本题，首先要明确一元二次方程一般形式的要求：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中等号右侧必须为0，左侧按未知数的降幂排列，$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先通过移项将原方程所有项移到等号左侧，右侧化为0，整理为符合要求的一般形式后，再对应找出$a、b、c$即可，注意系数要包含其前面的符号。
【解析】
原方程为$3x^2 -8=7x$，根据移项变号的规则，将右侧的$7x$移到等号左侧，可得：
$3x^2 -7x -8=0$，即为方程的一般形式。
对照一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-7$，常数项$c=-8$。
【答案】
$3x^2-7x-8=0$；3；$-7$；$-8$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对一元二次方程一般形式的掌握，易错点是移项时忽略符号变化，或者确定$b、c$时遗漏其前面的负号，解题时需格外注意。
【难度系数】
0.8

6. 若一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，则m的取值范围是。

6. $m＞\frac{1}{8}$

【分析】
要确定一元二次方程没有实数根时参数m的取值范围，需利用一元二次方程根的判别式的性质解题：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根与判别式$\Delta=b^2-4ac$的对应关系：当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。接下来先明确题中方程对应a、b、c的值，代入$\Delta＜0$得到关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=m$。
因为该方程没有实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$，代入数值可得：
$\begin{aligned}1^2 - 4×2× m &＜ 0 \\1 - 8m &＜ 0 \\-8m &＜ -1 \\m &＞ \frac{1}{8}\end{aligned}$
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意系数代入不要出错，解不等式时要牢记不等号方向的变化规则，掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7.（易错题）已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是.

7. $a＜2$ 且 $a≠1$

【分析】
要确定a的取值范围，需结合两个核心条件求解：①一元二次方程的定义要求二次项系数不为0，这是前提条件，否则方程不属于一元二次方程；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。先分别根据两个条件列出不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就是a的最终取值范围，注意不要漏掉二次项系数不为0的限制条件。
【解析】
解：
∵方程$(a-1)x^2 -2x +1=0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵方程有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=1$
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4×(a-1)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ＞ 0$
去括号：$4 - 4a + 4 ＞ 0$
合并同类项：$8 - 4a ＞ 0$
移项化简得：$a ＜ 2$
综合两个条件，得$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a≠1$
【答案】
$a＜2$ 且 $a≠1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是易错题，常见错误是忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，仅通过判别式求出$a＜2$就结束，导致漏解。解题时要先明确方程类型对应的限制条件，再结合根的情况列式，最后合并所有条件得到最终结果。
【难度系数】
0.7

8. 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 + 2x - 2 = 0$；
(2)$3x^2 + 4x - 7 = 0$；
(3)$(x - \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2}x = 0$。

(1) $x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=1,x_2=-\frac{7}{3}$
(3) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$

【分析】
公式法解一元二次方程的核心步骤为：①将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定系数$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算根即可。前两个小题已经是一般形式，第(3)题需要先展开整理为一般形式再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 + 2x - 2 = 0$，可得$a=1$，$b=2$，$c=-2$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(-2)=4+8=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-2±\sqrt{12}}{2×1}=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2}=-1±\sqrt{3}$。
(2) 对于方程$3x^2 + 4x - 7 = 0$，可得$a=3$，$b=4$，$c=-7$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×3×(-7)=16+84=100＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2×3}=\frac{-4±10}{6}$，
取正号得$x=\frac{-4+10}{6}=1$，取负号得$x=\frac{-4-10}{6}=-\frac{7}{3}$。
(3) 先整理方程：展开$(x-\sqrt{2})^2$得$x^2-2\sqrt{2}x+2$，
原方程合并同类项得$x^2+2\sqrt{2}x+2=0$，可得$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=2$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4×1×2=8-8=0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-2\sqrt{2}±\sqrt{0}}{2×1}=-\sqrt{2}$，即两个相等的实数根。
【答案】
(1) $x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=1,x_2=-\frac{7}{3}$
(3) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程判别式，一元二次方程一般式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题时需注意先将非一般形式的方程整理为标准形式，再准确代入系数计算判别式和求根，避免直接代入展开前的系数导致计算错误。
【难度系数】
0.8

9. 已知实数 $a,b,c$，且 $abc≠0$。
(1)若 $a,b,c$ 分别是关于 $x$ 的一元二次方程二次项系数、一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为 $x = \frac{-2\pm\sqrt{b^2 +8}}{2}$，求 $a+b+c$ 的值。
(2)若 $c＞0$，且 $a+2b+c=0$，$abc=1$，求 $c$ 的最小值。

9.
∵用公式法解得方程的根为 $x=\frac{-2\pm\sqrt{b^2 +8}}{2}$, 而 $ax^2 +bx +c=0$ 的求根公式 $\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$,
∴$2a=2,b=2,-4ac=8$.
∴$a=1,b=2,c=-2$.
∴$a+b+c=1+2-2=1$
(2)
∵$a+2b+c=0,abc=1$,
∴$a=-2b-c$.
∴$(-2b-c)bc=1$, 整理得 $2cb^2 +bc^2 +1=0$.
∵关于 $b$ 的一元二次方程有实数解,
∴$\Delta=c^4 -4×2c≥0$. 而 $c＞0$,
∴$c^3≥8$.
∴$c≥2$.
∴$c$ 的最小值为 2

【分析】
(1) 解题核心是对比题目给出的根的表达式与一元二次方程标准求根公式$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的对应项，让分母、分子的一次项、根号内的常数项分别对应相等，列方程求出$a,b,c$的值后，再计算$a+b+c$即可。
(2) 先将$a$用含$b,c$的式子表示，代入$abc=1$整理得到关于$b$的一元二次方程；因为$b$是实数，所以该方程必有实根，利用根的判别式$\Delta≥0$，结合$c＞0$的条件解不等式，即可求出$c$的最小值。
【解析】
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，已知方程的根为$x=\frac{-2\pm\sqrt{b^2+8}}{2}$，对比对应系数可得：
$\begin{cases}2a=2 \\ -b=-2 \\ -4ac=8\end{cases}$
解得$a=1$，$b=2$，将$a=1$代入$-4ac=8$，得$c=-2$。
因此$a+b+c=1+2-2=1$。
(2) 由$a+2b+c=0$移项得$a=-2b-c$，代入$abc=1$得：
$(-2b-c)bc=1$，整理为关于$b$的一元二次方程：$2cb^2 + c^2b + 1 = 0$。
因为$b$是实数，所以该方程有实根，判别式$\Delta≥0$，即：
$\Delta=(c^2)^2 - 4×2c×1 = c^4 - 8c ≥ 0$
已知$c＞0$，不等式两边同时除以$c$得$c^3≥8$，解得$c≥2$。
因此$c$的最小值为2。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 根的判别式的应用
3. 参数最值求解
【点评】
本题围绕一元二次方程核心知识点命题，第一问侧重基础公式的识记与对应匹配，第二问需要灵活转化条件构造方程，结合判别式求参数最值，能有效考查对知识点的理解和综合运用能力。
【难度系数】
0.6

10. 若关于$ x $的一元二次方程$-2x^2 +4x +k=0$有两个相等的实数根，则$ k $的值是（）.

A.2
B.0
C.$-2$
D.$-4$

10. C

【分析】
已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，再代入Δ=0的等式，解关于k的一元一次方程即可得到k的值，最后匹配对应选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
题中方程为$-2x^2+4x+k=0$，因此$a=-2$，$b=4$，$c=k$。
根据题意方程有两个相等的实数根，可得$\Delta=0$，代入得：
$\begin{aligned}4^2 - 4×(-2)× k &=0 \\16 + 8k &=0 \\8k &= -16 \\k &= -2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是基础考点，主要考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需注意准确识别方程各项的系数，避免符号出错，熟练掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8

11. 若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 +2x+1=0$有实数根，则实数$a$的取值范围是().

A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$

11. C

【分析】
解题时需分两步思考：①题目明确说明是一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，避免遗漏这个隐含前提；②一元二次方程有实数根的条件是判别式Δ≥0，据此列不等式求解，最后取两个条件的公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不能为0：
即$a-1≠0$，解得$a≠1$；
2. 计算一元二次方程的判别式$\Delta = b^2-4ac$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$：
$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 = 4 - 4(a-1) = 8 - 4a$；
3. 因为方程有实数根，所以$\Delta≥0$：
即$8-4a≥0$，移项得$-4a≥-8$，两边同时除以$-4$（不等号方向改变），解得$a≤2$；
4. 结合两个条件，可得$a$的取值范围是$a≤2$且$a≠1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程”的限定条件，忘记二次项系数不能为0，误选A选项，解题时要先明确方程的类型，再结合根的情况列条件求解。
【难度系数】
0.7