15. 如图7,过点$A(4,0)$作$AB ⊥ x$轴,交反比例函数$y=\dfrac{20}{x}(x＞0)$的图象于点$B$,以$AB$为边在$AB$的左侧作菱形$ABCD$,顶点$C,D$在$y$轴上,则点$C$的坐标为.

解：
∵ $AB ⊥ x$轴，点$A$的坐标为$(4,0)$，
∴ 点$B$的横坐标为$4$，
将$x=4$代入反比例函数$y=\dfrac{20}{x}$，得$y=\dfrac{20}{4}=5$，
∴ 点$B$的坐标为$(4,5)$，$AB=5$。
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AD=AB=5$，$AB // CD$，
又∵ 顶点$C$、$D$在$y$轴上，$AB ⊥ x$轴，
∴ $CD$在$y$轴上，在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$OA=4$，$AD=5$，
∴ $OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵ $CD=AB=5$，
∴ $OC=OD+CD=3+5=8$，
∴ 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(0,8)}$。

【分析】
解题时首先结合点A的坐标和AB垂直x轴的条件，确定点B的横坐标，代入反比例函数解析式即可求出点B坐标，得到AB的长度；再根据菱形四条边相等、对边平行的性质，得到AD和CD的长度；最后利用D、C在y轴上的条件，在直角三角形AOD中用勾股定理算出OD的长度，进而求出OC的长度，得到点C的坐标。
【解析】
∵ $AB ⊥ x$轴，点$A$的坐标为$(4,0)$，
∴ 点$B$的横坐标为$4$，
将$x=4$代入反比例函数$y=\dfrac{20}{x}$，得$y=\dfrac{20}{4}=5$，
∴ 点$B$的坐标为$(4,5)$，$AB=5$。
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AD=AB=CD=5$，$AB // CD$，
又
∵ 顶点$C$、$D$在$y$轴上，$AB ⊥ x$轴，
∴ $CD$在$y$轴上，在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$OA=4$，$AD=5$，
∴ $OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $OC=OD+CD=3+5=8$，
∴ 点$C$的坐标为$(0,8)$。
【答案】
$(0,8)$
【知识点】
反比例函数图象与性质，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的基础综合题，将函数坐标求解、几何图形性质、勾股定理结合考查，解题核心是先求出AB的长度，再依次推导相关线段的长度，最终得到目标点的坐标，能较好地检验学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. (8分)解方程:
(1)$x^2 +4x -5=0$;
(2)$3x(x-2)=2(2-x)$.

解：
(1) 对$x^2 +4x -5=0$因式分解，得
$(x+5)(x-1)=0$
$\therefore x+5=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=-5$，$x_2=1$。
(2) 移项，得
$3x(x-2)+2(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得
$(x-2)(3x+2)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $3x+2=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-\frac{2}{3}$。

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，优先选择简便的因式分解法解题：
(1) 对于方程$x^2 +4x -5=0$，观察左侧二次三项式，可使用十字相乘法因式分解，将常数项-5拆成5和-1的乘积，且$5+(-1)=4$恰好等于一次项系数，分解后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解即可。
(2) 对于方程$3x(x-2)=2(2-x)$，先将右侧的$2(2-x)$变形为$-2(x-2)$，移项后可提取公因式$(x-2)$因式分解，注意不能直接两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个解，分解后同样转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对$x^2 +4x -5=0$因式分解，得
$(x+5)(x-1)=0$
$\therefore x+5=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=-5$，$x_2=1$。
(2) 移项，得
$3x(x-2)+2(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得
$(x-2)(3x+2)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $3x+2=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=-5$，$x_2=1$；
(2) $x_1=2$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，选择因式分解法可大幅简化计算过程，解题时需注意不要随意除以含未知数的整式，避免出现漏解的情况，需熟练掌握各类因式分解的方法，快速求解一元二次方程。
【难度系数】
0.85

17. (9分)在平面直角坐标系中, O 为原点, 点 A(3,0), 点 B(0,4),把△ABO绕点 B 逆时针旋转,得△A'BO',点 A,O 旋转后的对应点为 A',O',记旋转角为 α.

(1)如图8①,若 α=90°,求 AA'的长;
(2)如图8②,若 α=45°,求点 O'的坐标.

解：
(1) 由点A(3,0)，点B(0,4)，得OA=3，OB=4，∠AOB=90°。
由勾股定理，得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵ △ABO绕点B逆时针旋转90°得到△A'BO'，
∴ $BA=BA'$，$∠ ABA'=α=90°$，
∴ △ABA'为等腰直角三角形，
∴ $AA'=\sqrt{2}· AB=5\sqrt{2}$。
(2) 过点$O'$作$O'C⊥ y$轴于点C。
由旋转的性质，得$BO'=BO=4$，$∠ OBO'=α=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCO'$中，$∠ BCO'=90°$，$∠ O'BC=45°$，
∴ $O'C=BC=BO'·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
∴ $OC=OB-BC=4-2\sqrt{2}$，
∴ 点$O'$的坐标为$(2\sqrt{2},4-2\sqrt{2})$。

【分析】
(1) 求解$AA'$的长度时，首先根据点A、B的坐标得到OA、OB的长度，利用勾股定理求出AB的长度；再结合旋转的性质可知$BA=BA'$，旋转角$∠ ABA'=90°$，即$△ ABA'$为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的边的关系计算$AA'$即可。
(2) 求解点$O'$的坐标时，可过$O'$作$y$轴的垂线构造直角三角形；根据旋转性质得$BO'=BO=4$，旋转角$∠ OBO'=45°$，在直角三角形中利用三角函数求出$O'$的横坐标对应的线段长度和纵坐标对应的线段长度，即可得到$O'$的坐标。
【解析】
(1) 由点$A(3,0)$，点$B(0,4)$，得$OA=3$，$OB=4$，$∠ AOB=90°$。
由勾股定理，得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵ $△ ABO$绕点$B$逆时针旋转$90°$得到$△ A'BO'$，
∴ $BA=BA'$，$∠ ABA'=α=90°$，
∴ $△ ABA'$为等腰直角三角形，
∴ $AA'=\sqrt{2}· AB=5\sqrt{2}$。
(2) 过点$O'$作$O'C⊥ y$轴于点$C$。
由旋转的性质，得$BO'=BO=4$，$∠ OBO'=α=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCO'$中，$∠ BCO'=90°$，$∠ O'BC=45°$，
∴ $O'C=BC=BO'·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
∴ $OC=OB-BC=4-2\sqrt{2}$，
∴ 点$O'$的坐标为$(2\sqrt{2},4-2\sqrt{2})$。
【答案】
(1) $AA'$的长为$5\sqrt{2}$；
(2) 点$O'$的坐标为$\boldsymbol{(2\sqrt{2},4-2\sqrt{2})}$。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于旋转背景下的常规计算题型，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质，第二问通过作垂线构造直角三角形是平面直角坐标系中求点坐标的常用思路，整体难度不大，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7