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8. 在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx+1(k≠0)$和$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象大致是（
）
）答案
解：对于一次函数$y=kx+1(k≠0)$，当$x=0$时，$y=1$，因此该函数图象恒过点$(0,1)$，即与$y$轴正半轴相交，由此排除选项A、B。
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx+1$的斜率为正，$y$随$x$的增大而增大，图象经过第一、二、三象限，无对应选项。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx+1$的斜率为负，$y$随$x$的增大而减小，图象经过第一、二、四象限，符合选项D的特征。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx+1$的斜率为正，$y$随$x$的增大而增大，图象经过第一、二、三象限，无对应选项。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx+1$的斜率为负，$y$随$x$的增大而减小，图象经过第一、二、四象限，符合选项D的特征。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
解析
【分析】
解题时首先观察两个函数的特征：一次函数$y=kx+1$的常数项为1，因此它的图象一定与y轴交于正半轴的$(0,1)$点，可先利用这个特征排除不符合的选项；接下来对参数$k$的正负进行分类讨论，分别判断$k＞0$和$k＜0$时一次函数的斜率走向、反比例函数所在的象限，和剩余选项对比即可得到正确答案。
【解析】
首先分析一次函数$y=kx+1(k≠0)$：当$x=0$时，$y=1$，因此该函数图象恒过点$(0,1)$，即与y轴正半轴相交。观察选项，A、B中一次函数与y轴交于负半轴，不符合特征，排除A、B。
接下来分两种情况讨论参数$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第一、三象限；一次函数$y=kx+1$的斜率为正，$y$随$x$的增大而增大，图象经过第一、二、三象限，剩余的C、D选项均不符合该特征，排除这种情况。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第二、四象限；一次函数$y=kx+1$的斜率为负，$y$随$x$的增大而减小，图象经过第一、二、四象限，和选项D的特征完全吻合。
综上，答案选D。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
一次函数图象性质；反比例函数图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心考查两类函数的图象与参数$k$的对应关系，解题时优先利用函数的固定特征排除错误选项，再通过分类讨论参数取值验证剩余选项，可大大提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察两个函数的特征：一次函数$y=kx+1$的常数项为1，因此它的图象一定与y轴交于正半轴的$(0,1)$点，可先利用这个特征排除不符合的选项；接下来对参数$k$的正负进行分类讨论，分别判断$k＞0$和$k＜0$时一次函数的斜率走向、反比例函数所在的象限，和剩余选项对比即可得到正确答案。
【解析】
首先分析一次函数$y=kx+1(k≠0)$：当$x=0$时，$y=1$，因此该函数图象恒过点$(0,1)$，即与y轴正半轴相交。观察选项，A、B中一次函数与y轴交于负半轴，不符合特征，排除A、B。
接下来分两种情况讨论参数$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第一、三象限；一次函数$y=kx+1$的斜率为正，$y$随$x$的增大而增大，图象经过第一、二、三象限，剩余的C、D选项均不符合该特征，排除这种情况。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象位于第二、四象限；一次函数$y=kx+1$的斜率为负，$y$随$x$的增大而减小，图象经过第一、二、四象限，和选项D的特征完全吻合。
综上，答案选D。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
一次函数图象性质；反比例函数图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心考查两类函数的图象与参数$k$的对应关系，解题时优先利用函数的固定特征排除错误选项，再通过分类讨论参数取值验证剩余选项，可大大提升解题效率。
【难度系数】
0.7
9. 如图3,已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴相交于点$A(-3,0),B(1,0)$,则下列结论错误的是 ()
A.$abc＜0$
B.若点$(-4,y_1),(\dfrac{1}{2},y_2)$在抛物线上,则$y_1＜y_2$
C.$b^2-4ac＞0$
D.对任意实数$m,am^2+bm≥a-b$均成立
A.$abc＜0$
B.若点$(-4,y_1),(\dfrac{1}{2},y_2)$在抛物线上,则$y_1＜y_2$
C.$b^2-4ac＞0$
D.对任意实数$m,am^2+bm≥a-b$均成立
答案
B
解析
【分析】
首先根据二次函数与x轴的两个交点坐标求出对称轴，再结合图像的开口方向、与y轴的交点位置判断a、b、c的符号，之后逐一分析每个选项：A选项直接计算abc的符号即可判断；B选项通过比较两个点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小；C选项根据抛物线与x轴交点个数和判别式的关系判断；D选项结合二次函数的最小值性质判断，最终找出错误的选项。
【解析】
步骤1：求对称轴，判断a、b、c的符号
∵二次函数图像与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，
∴抛物线对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$；
由图像可知：抛物线开口向上，故$a＞0$；
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，故$b＞0$；
抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$。
步骤2：逐一判断选项
选项A：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，则$abc＜0$，A结论正确，不符合题意；
选项B：点$(-4,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-4-(-1)|=3$，点$(\frac{1}{2},y_2)$到对称轴的距离为$|\frac{1}{2}-(-1)|=\frac{3}{2}$，
∵抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大，
∴$y_1＞y_2$，B结论错误，符合题意；
选项C：
∵抛物线与x轴有2个不同的交点，
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$b^2-4ac＞0$，C结论正确，不符合题意；
选项D：抛物线开口向上，顶点处取得最小值，顶点横坐标为$x=-1$，此时函数值为$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，
∴对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥ a-b+c$，两边同时减去c得$am^2+bm≥ a-b$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数最值，判别式的意义
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系、利用对称轴比较函数值大小的方法以及二次函数最值的特征，属于二次函数的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据二次函数与x轴的两个交点坐标求出对称轴，再结合图像的开口方向、与y轴的交点位置判断a、b、c的符号，之后逐一分析每个选项：A选项直接计算abc的符号即可判断；B选项通过比较两个点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小；C选项根据抛物线与x轴交点个数和判别式的关系判断；D选项结合二次函数的最小值性质判断，最终找出错误的选项。
【解析】
步骤1：求对称轴，判断a、b、c的符号
∵二次函数图像与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，
∴抛物线对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$；
由图像可知：抛物线开口向上，故$a＞0$；
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，故$b＞0$；
抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$。
步骤2：逐一判断选项
选项A：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，则$abc＜0$，A结论正确，不符合题意；
选项B：点$(-4,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-4-(-1)|=3$，点$(\frac{1}{2},y_2)$到对称轴的距离为$|\frac{1}{2}-(-1)|=\frac{3}{2}$，
∵抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大，
∴$y_1＞y_2$，B结论错误，符合题意；
选项C：
∵抛物线与x轴有2个不同的交点，
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$b^2-4ac＞0$，C结论正确，不符合题意；
选项D：抛物线开口向上，顶点处取得最小值，顶点横坐标为$x=-1$，此时函数值为$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，
∴对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥ a-b+c$，两边同时减去c得$am^2+bm≥ a-b$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数最值，判别式的意义
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系、利用对称轴比较函数值大小的方法以及二次函数最值的特征，属于二次函数的常考题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图4,在正方形ABCD中,AB=2√2,P为对角线AC上的动点,PQ⊥AC交折线A-D-C于点Q.设AP=x,△APQ的面积为y,则y与x的函数图象正确的是 ()
答案
$\boldsymbol{B}$
解析
【分析】
这是正方形背景下的动点分段函数图象题，解题思路如下：1. 先求出正方形对角线AC的总长度，再根据Q点的运动位置（在AD上/在DC上）分两种情况讨论；2. 利用正方形对角线平分内角的性质，结合PQ⊥AC的条件，判断出对应三角形为等腰直角三角形，分别推导两段的面积函数解析式，最后结合函数图象特征匹配选项即可。
【解析】
已知正方形ABCD边长$AB=2\sqrt{2}$，则对角线$AC=\sqrt{2}× AB=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，分两种情况讨论：
1. 当$0≤ x≤2$时，Q在AD边上：
AC是正方形对角线，$∠ PAQ=45°$，又$PQ⊥ AC$，故$△ APQ$为等腰直角三角形，$PQ=AP=x$，
则面积$y=\frac{1}{2}· AP· PQ=\frac{1}{2}x^2$，此段为开口向上的抛物线，当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2^2=2$。
2. 当$2＜x≤4$时，Q在DC边上：
此时$∠ PCQ=45°$，$PQ⊥ AC$，故$△ PQC$为等腰直角三角形，$PQ=PC=AC-AP=4-x$，
则面积$y=\frac{1}{2}· AP· PQ=\frac{1}{2}x(4-x)=-\frac{1}{2}x^2+2x$，此段为开口向下的抛物线，当$x=4$时，$y=0$。
综上，函数图象先随x增大上升至$(2,2)$，再随x增大下降至$(4,0)$，对应选项为B。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
正方形的性质，分段函数，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题需要结合动点的运动轨迹合理分段，利用几何图形性质推导函数表达式，再匹配对应图象，核心考查分类讨论思想的应用，是几何与函数结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
这是正方形背景下的动点分段函数图象题，解题思路如下：1. 先求出正方形对角线AC的总长度，再根据Q点的运动位置（在AD上/在DC上）分两种情况讨论；2. 利用正方形对角线平分内角的性质，结合PQ⊥AC的条件，判断出对应三角形为等腰直角三角形，分别推导两段的面积函数解析式，最后结合函数图象特征匹配选项即可。
【解析】
已知正方形ABCD边长$AB=2\sqrt{2}$，则对角线$AC=\sqrt{2}× AB=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，分两种情况讨论：
1. 当$0≤ x≤2$时，Q在AD边上：
AC是正方形对角线，$∠ PAQ=45°$，又$PQ⊥ AC$，故$△ APQ$为等腰直角三角形，$PQ=AP=x$，
则面积$y=\frac{1}{2}· AP· PQ=\frac{1}{2}x^2$，此段为开口向上的抛物线，当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2^2=2$。
2. 当$2＜x≤4$时，Q在DC边上：
此时$∠ PCQ=45°$，$PQ⊥ AC$，故$△ PQC$为等腰直角三角形，$PQ=PC=AC-AP=4-x$，
则面积$y=\frac{1}{2}· AP· PQ=\frac{1}{2}x(4-x)=-\frac{1}{2}x^2+2x$，此段为开口向下的抛物线，当$x=4$时，$y=0$。
综上，函数图象先随x增大上升至$(2,2)$，再随x增大下降至$(4,0)$，对应选项为B。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
正方形的性质，分段函数，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题需要结合动点的运动轨迹合理分段，利用几何图形性质推导函数表达式，再匹配对应图象，核心考查分类讨论思想的应用，是几何与函数结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 一元二次方程$x(x-1)=0$的两根是。
11. 一元二次方程$x(x-1)=0$的两根是。
答案
解：
由$x(x-1)=0$，
可得$x=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
由$x(x-1)=0$，
可得$x=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的求解，观察方程特征：左边是两个一次因式的乘积，右边为0，我们可以利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将原一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程就能得到原方程的两根，这是因式分解法解一元二次方程的典型思路。
【解析】
由$x(x-1)=0$，
可得$x=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题关键是熟练掌握零乘积性质和因式分解法的解题逻辑，属于考试中常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程的求解，观察方程特征：左边是两个一次因式的乘积，右边为0，我们可以利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将原一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程就能得到原方程的两根，这是因式分解法解一元二次方程的典型思路。
【解析】
由$x(x-1)=0$，
可得$x=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题关键是熟练掌握零乘积性质和因式分解法的解题逻辑，属于考试中常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.9
12.已知,一个抛物线和抛物线$y=-3x^2$的形状相同,方向相反,且顶点为$(-1,3)$,则这个抛物线的解析式为.
答案
$\boldsymbol{y=3(x+1)^2+3}$（或$y=3x^2+6x+6$）
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的性质：二次函数的形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的正负决定。已知所求抛物线与$y=-3x^2$形状相同、方向相反，可先确定二次项系数$a$的值；又已知顶点坐标，因此优先选用顶点式来设解析式，再代入顶点坐标计算即可得到结果，若需要一般式再展开即可。
【解析】
解：设该抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为抛物线顶点，$a$为二次项系数。
1. 确定$a$的值：
∵ 所求抛物线和抛物线$y=-3x^2$形状相同，方向相反
∴ 二次项系数的绝对值相等，符号相反，即$a = 3$
2. 代入顶点坐标计算解析式：
已知抛物线顶点为$(-1,3)$，即$h=-1$，$k=3$，代入顶点式得：
$y=3(x - (-1))^2 + 3$
化简得顶点式：$y=3(x+1)^2+3$
若展开为一般式，计算如下：
$y=3(x^2+2x+1)+3 = 3x^2+6x+3+3 = 3x^2+6x+6$
两种形式均符合要求。
【答案】
$y=3(x+1)^2+3$（或$y=3x^2+6x+6$）
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是掌握二次项系数对图象形状和开口方向的影响，已知顶点坐标时选用顶点式求解可大幅简化计算，需要熟练掌握该类题型的解题方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数的性质：二次函数的形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的正负决定。已知所求抛物线与$y=-3x^2$形状相同、方向相反，可先确定二次项系数$a$的值；又已知顶点坐标，因此优先选用顶点式来设解析式，再代入顶点坐标计算即可得到结果，若需要一般式再展开即可。
【解析】
解：设该抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为抛物线顶点，$a$为二次项系数。
1. 确定$a$的值：
∵ 所求抛物线和抛物线$y=-3x^2$形状相同，方向相反
∴ 二次项系数的绝对值相等，符号相反，即$a = 3$
2. 代入顶点坐标计算解析式：
已知抛物线顶点为$(-1,3)$，即$h=-1$，$k=3$，代入顶点式得：
$y=3(x - (-1))^2 + 3$
化简得顶点式：$y=3(x+1)^2+3$
若展开为一般式，计算如下：
$y=3(x^2+2x+1)+3 = 3x^2+6x+3+3 = 3x^2+6x+6$
两种形式均符合要求。
【答案】
$y=3(x+1)^2+3$（或$y=3x^2+6x+6$）
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是掌握二次项系数对图象形状和开口方向的影响，已知顶点坐标时选用顶点式求解可大幅简化计算，需要熟练掌握该类题型的解题方法。
【难度系数】
0.8
13. 如图5,已知扇形AOB的半径为3,圆心角为$90°$,点C在$\overset{\frown}{AB}$上,$∠ BOC=60°$,过点C作$CD ⊥ OA$于点D,连接CB,则图中阴影部分的面积是.(结果保留根号和$π$)
答案
$\boldsymbol{\frac{3π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{8}}$
解析
【分析】
本题要求不规则阴影部分的面积，需采用割补法将其转化为规则图形面积的和差计算。首先根据已知角度求出∠AOC=30°，再分别计算扇形BOC的面积、等边三角形OBC的面积和直角三角形OCD的面积，最后通过面积差得到阴影部分面积。
【解析】
1. 求∠AOC的度数：
已知∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-60°=30°。
2. 计算Rt△OCD的面积：
∵CD⊥OA，OC=3，在Rt△OCD中，
CD=OC·sin30°=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
OD=OC·cos30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×OD×CD=\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
3. 计算△OBC的面积：
∵OB=OC=3，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴$S_{△ OBC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×OB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×9=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
4. 计算扇形BOC的面积：
$S_{扇形BOC}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$。
5. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积 = $S_{扇形BOC} - (S_{△ OBC} - S_{△ OCD})$ = $\frac{3π}{2} - (\frac{9\sqrt{3}}{4} - \frac{9\sqrt{3}}{8})$ = $\frac{3π}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{8}$。
【答案】
$\frac{3π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{8}$
【知识点】
扇形面积计算；解直角三角形；等边三角形的性质
【点评】
本题是求不规则图形面积的典型题型，核心解题思路是用割补法将阴影面积转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差，熟练掌握相关面积公式和特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题要求不规则阴影部分的面积，需采用割补法将其转化为规则图形面积的和差计算。首先根据已知角度求出∠AOC=30°，再分别计算扇形BOC的面积、等边三角形OBC的面积和直角三角形OCD的面积，最后通过面积差得到阴影部分面积。
【解析】
1. 求∠AOC的度数：
已知∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-60°=30°。
2. 计算Rt△OCD的面积：
∵CD⊥OA，OC=3，在Rt△OCD中，
CD=OC·sin30°=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
OD=OC·cos30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×OD×CD=\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
3. 计算△OBC的面积：
∵OB=OC=3，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴$S_{△ OBC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×OB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×9=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
4. 计算扇形BOC的面积：
$S_{扇形BOC}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$。
5. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积 = $S_{扇形BOC} - (S_{△ OBC} - S_{△ OCD})$ = $\frac{3π}{2} - (\frac{9\sqrt{3}}{4} - \frac{9\sqrt{3}}{8})$ = $\frac{3π}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{8}$。
【答案】
$\frac{3π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{8}$
【知识点】
扇形面积计算；解直角三角形；等边三角形的性质
【点评】
本题是求不规则图形面积的典型题型，核心解题思路是用割补法将阴影面积转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差，熟练掌握相关面积公式和特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
14. 如图6,在菱形ABCD中,∠BAD=30°,将菱形ABCD绕点A逆时针旋转,得到四边形AB'C'D',连接B'D,若∠BAD'=84°,则∠ADB'的度数为°。
答案
$\boldsymbol{78}$
解析
【分析】
解题时先结合菱形和旋转的性质推导边的关系，确定目标三角形的形状，再通过角度和差求顶角，最后利用等腰三角形性质计算底角。思路如下：1. 菱形四边相等可得AB=AD，旋转前后对应边相等可得AB=AB'，因此AD=AB'，即△ADB'是等腰三角形；2. 结合已知∠BAD'=84°和原菱形∠BAD=30°，先求出旋转角度数，再推导等腰△ADB'的顶角∠DAB'的度数；3. 根据三角形内角和、等腰三角形两底角相等，即可求出∠ADB'的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAD=30°。
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到四边形AB'C'D'，
∴AB=AB'，旋转角∠BAB'=∠DAD'，∠B'AD'=∠BAD=30°。
∵∠BAD'=∠BAD + ∠DAD' = 84°，
∴∠DAD'=84° - 30° = 54°，即旋转角为54°，
∴∠BAB'=54°，
∴∠DAB'=∠BAB' - ∠BAD = 54° - 30° = 24°。
又
∵AB'=AB=AD，△ADB'为等腰三角形，
∴∠ADB'=$\frac{180° - ∠DAB'}{2}$=$\frac{180° - 24°}{2}$=78°。
【答案】
$\boldsymbol{78}$
【知识点】
菱形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是准确识别旋转前后相等的边和角，推导出目标三角形为等腰三角形，再结合角度和差关系即可求解。
【难度系数】
0.65
解题时先结合菱形和旋转的性质推导边的关系，确定目标三角形的形状，再通过角度和差求顶角，最后利用等腰三角形性质计算底角。思路如下：1. 菱形四边相等可得AB=AD，旋转前后对应边相等可得AB=AB'，因此AD=AB'，即△ADB'是等腰三角形；2. 结合已知∠BAD'=84°和原菱形∠BAD=30°，先求出旋转角度数，再推导等腰△ADB'的顶角∠DAB'的度数；3. 根据三角形内角和、等腰三角形两底角相等，即可求出∠ADB'的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAD=30°。
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到四边形AB'C'D'，
∴AB=AB'，旋转角∠BAB'=∠DAD'，∠B'AD'=∠BAD=30°。
∵∠BAD'=∠BAD + ∠DAD' = 84°，
∴∠DAD'=84° - 30° = 54°，即旋转角为54°，
∴∠BAB'=54°，
∴∠DAB'=∠BAB' - ∠BAD = 54° - 30° = 24°。
又
∵AB'=AB=AD，△ADB'为等腰三角形，
∴∠ADB'=$\frac{180° - ∠DAB'}{2}$=$\frac{180° - 24°}{2}$=78°。
【答案】
$\boldsymbol{78}$
【知识点】
菱形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是准确识别旋转前后相等的边和角，推导出目标三角形为等腰三角形，再结合角度和差关系即可求解。
【难度系数】
0.65
