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1. 计算:
(1) $(2\sqrt{\dfrac{3}{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}})(\dfrac{\sqrt{8}}{2} + \sqrt{\dfrac{2}{3}})$；
(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})^2$；
(3) $(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})$；
(4) $\sqrt{6} ÷ (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) ÷ \sqrt{6}$。
(1) $(2\sqrt{\dfrac{3}{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}})(\dfrac{\sqrt{8}}{2} + \sqrt{\dfrac{2}{3}})$；
(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})^2$；
(3) $(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})$；
(4) $\sqrt{6} ÷ (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) ÷ \sqrt{6}$。
答案
(1) 解:
$(2\sqrt{\dfrac{3}{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}})(\dfrac{\sqrt{8}}{2} + \sqrt{\dfrac{2}{3}})$
$=2\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\dfrac{\sqrt{8}}{2}+2\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\dfrac{\sqrt{8}}{2}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$=2\sqrt{3}+2-1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=1+\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$。
(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})^2$
$=(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6})$
$=2\sqrt{2}(2\sqrt{3}-2\sqrt{6})$
$=4\sqrt{6}-8\sqrt{3}$。
(3) $(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})$
$=[1+(\sqrt{2}-\sqrt{3})][1-(\sqrt{2}-\sqrt{3})]$
$=1-(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$
$=1-5+2\sqrt{6}$
$=2\sqrt{6}-4$。
(4) $\sqrt{6} ÷ (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) ÷ \sqrt{6}$
$=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$
$=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$。
$(2\sqrt{\dfrac{3}{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}})(\dfrac{\sqrt{8}}{2} + \sqrt{\dfrac{2}{3}})$
$=2\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\dfrac{\sqrt{8}}{2}+2\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\dfrac{\sqrt{8}}{2}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$=2\sqrt{3}+2-1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=1+\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$。
(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})^2$
$=(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6})$
$=2\sqrt{2}(2\sqrt{3}-2\sqrt{6})$
$=4\sqrt{6}-8\sqrt{3}$。
(3) $(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})$
$=[1+(\sqrt{2}-\sqrt{3})][1-(\sqrt{2}-\sqrt{3})]$
$=1-(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$
$=1-5+2\sqrt{6}$
$=2\sqrt{6}-4$。
(4) $\sqrt{6} ÷ (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) ÷ \sqrt{6}$
$=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$
$=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$。
2. [2025洛阳西工区一模]若$x=\sqrt{3}-1$，则$x^2+2x$的值为
2
。答案
因为$x=\sqrt{3}-1$,所以$x^2 + 2x = (\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{3} - 1) = 3 - 2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} - 2 = 2$。
3. [2026 常德期末]先化简,再求值:$(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})+a(a-1)$,其中$a=\sqrt{5}$。
答案
解:$(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})+a(a-1)$
$=a^2 - 3 + a^2 - a$
$=2a^2 - a - 3$,
当$a=\sqrt{5}$时,原式$=2×(\sqrt{5})^2 - \sqrt{5} - 3 = 7 - \sqrt{5}$。
$=a^2 - 3 + a^2 - a$
$=2a^2 - a - 3$,
当$a=\sqrt{5}$时,原式$=2×(\sqrt{5})^2 - \sqrt{5} - 3 = 7 - \sqrt{5}$。
4. [2026 兰州五十四中期中] 先化简,再求值: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 2\sqrt{a}\sqrt{b}$, 其中 $a = 3, b = 4$。
答案
解:$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 2\sqrt{a}\sqrt{b}$
$=a+2\sqrt{ab}+b-(a-b)-2\sqrt{ab}$
$=a+2\sqrt{ab}+b-a+b-2\sqrt{ab}$
$=2b$,
当$a=3,b=4$时,原式$=2×4=8$。
$=a+2\sqrt{ab}+b-(a-b)-2\sqrt{ab}$
$=a+2\sqrt{ab}+b-a+b-2\sqrt{ab}$
$=2b$,
当$a=3,b=4$时,原式$=2×4=8$。
