5. [2026 上海闵行区期中]已知$xy=12$，$x+y=-8$，则$y\sqrt{\frac{x}{y}} + x\sqrt{\frac{y}{x}}$的值为。

因为$xy=12,x+y=-8$,所以$x＜0,y＜0$,所以
$y\sqrt{\dfrac{x}{y}}+x\sqrt{\dfrac{y}{x}}=y·\dfrac{\sqrt{xy}}{-y}+x·\dfrac{\sqrt{xy}}{-x}=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}=-2\sqrt{xy}=-2×\sqrt{12}=-4\sqrt{3}$。

6. 已知$a+\frac{1}{a}=1+\sqrt{10}$，求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值。

解:$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = (a + \dfrac{1}{a})^2 - 2 = (1 + \sqrt{10})^2 - 2 = 9 + 2\sqrt{10}$。

7. [2026 济南钢城区期末]已知 $x=2+\sqrt{3}, y=2-\sqrt{3}$，求下列各式的值：
(1) $x^2 - y^2$；
(2) $x^2 + xy + y^2$。

解:(1)由题意,得$x+y=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$,$x-y=2+\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$。
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 4×2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。
(2)$x^2 + xy + y^2 = (x + y)^2 - xy = 4^2 - (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 16 - [2^2 - (\sqrt{3})^2] = 16 - 1 = 15$。

8. 新趋势·过程性学习 [2026 银川十中期末]【问题解决】
已知 $x=\sqrt{5}+2$，求代数式 $x^2 -4x -7$ 的值。
小敏的做法如下：
由 $x=\sqrt{5}+2$，得 $(x-2)^2=5$，
所以 $x^2 -4x +4=5$，得 $x^2 -4x=1$。
把 $x^2 -4x$ 作为整体代入，得 $x^2 -4x -7=1 -7=-6$。
小敏的做法是先把已知条件适当变形，再整体代入解决问题。
【迁移应用】
(1)已知 $x=\sqrt{5}-2$，求代数式 $x^2 +4x -10$ 的值。
(2)已知 $a=\frac{1}{\sqrt{10}-3}$，求代数式 $3a^2 -18a +5$ 的值。

解:(1)由$x=\sqrt{5}-2$,得$x+2=\sqrt{5}$,
所以$(x+2)^2=(\sqrt{5})^2$,即$x^2 +4x +4=5$,所以$x^2 +4x=1$,
所以$x^2 +4x -10=1 -10=-9$。
(2)$a=\dfrac{1}{\sqrt{10}-3}=\dfrac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\sqrt{10}+3$,
所以$a-3=\sqrt{10}$,所以$(a-3)^2=10$,
所以$a^2 -6a +9=10$,得$a^2 -6a=1$,
所以$3a^2 -18a +5=3(a^2 -6a)+5=3×1+5=8$。