5. ▶一题多解 比较$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}$与$\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}$的大小。

解:通解(作商法) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}÷\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}×\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}=\frac{6+4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}＜1$,所以$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}＜\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}$。
另解1(倒数法) $\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{3}+1},\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{3}+2}$,
而$\frac{1}{\sqrt{3}+1}＞\frac{1}{\sqrt{3}+2}$,所以$\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}＞\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}$,
所以$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}＜\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}$。
另解2(作差法) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}-\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+3)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+3)}-\frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}+2)}=\frac{6+4\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+3)}-\frac{7+4\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+3)}=-\frac{1}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+3)}＜0$,
所以$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}＜\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}$。

6. (1)比较$-\sqrt{5}+1$与$-\frac{\sqrt{2}}{2}$的大小；
(2)比较$\sqrt{65}-2$与$\sqrt{10}+2$的大小；
(3)比较$\sqrt[3]{29}$与$\sqrt{7}$的大小；
(4)比较$\frac{\sqrt{13}-3}{8}$与$\frac{\sqrt{3}}{8}$的大小。

解:(1)因为$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$,
所以$-2＜-\sqrt{5}+1＜-1$。
因为$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$,
所以$-1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}＜-\frac{1}{2}$,
所以$-\sqrt{5}+1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)因为$8＜\sqrt{65}＜9,3＜\sqrt{10}＜4$,
所以$6＜\sqrt{65}-2＜7,5＜\sqrt{10}+2＜6$,
所以$\sqrt{65}-2＞\sqrt{10}+2$。
(3)因为$3＜\sqrt[3]{29}＜4,2＜\sqrt{7}＜3$,
所以$\sqrt[3]{29}＞\sqrt{7}$。
(4)因为$3＜\sqrt{13}＜4$,所以$0＜\sqrt{13}-3＜1$,
所以$0＜\frac{\sqrt{13}-3}{8}＜\frac{1}{8}$。
因为$1＜\sqrt{3}＜2$,所以$\frac{1}{8}＜\frac{\sqrt{3}}{8}＜\frac{1}{4}$,
所以$\frac{\sqrt{13}-3}{8}＜\frac{\sqrt{3}}{8}$。

7. 已知$0 ＜ x ＜ 1$，则$x, \frac{1}{x}, x^2, \sqrt{x}$的大小关系为（）

A.$x ＜ \frac{1}{x} ＜ x^2 ＜ \sqrt{x}$
B.$x ＜ x^2 ＜ \sqrt{x} ＜ \frac{1}{x}$
C.$x^2 ＜ x ＜ \sqrt{x} ＜ \frac{1}{x}$
D.$\sqrt{x} ＜ x ＜ x^2 ＜ \frac{1}{x}$

C 本题直接比较大小比较困难,可以采用特殊值法求解,取$x=\frac{1}{4}$,则$\frac{1}{x}=4,x^2=\frac{1}{16},\sqrt{x}=\frac{1}{2}$。因为$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$,所以$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$。

8. 一题多解 比较$\sqrt{6} - \sqrt{5}$与$\sqrt{7} - \sqrt{6}$的大小。

解:通解(倒数法) $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\sqrt{6}+\sqrt{5},\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\sqrt{7}+\sqrt{6}$。
因为$\sqrt{6}+\sqrt{5}＜\sqrt{7}+\sqrt{6}$,即$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$,
所以$\sqrt{6}-\sqrt{5}＞\sqrt{7}-\sqrt{6}$。
另解(作差法) $\sqrt{6}-\sqrt{5}-(\sqrt{7}-\sqrt{6})=2\sqrt{6}-\sqrt{5}-\sqrt{7}=2\sqrt{6}-(\sqrt{5}+\sqrt{7})$。
因为$(2\sqrt{6})^2=24,(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2=12+2\sqrt{35}$,
$24-(12+2\sqrt{35})=12-2\sqrt{35}=2(6-\sqrt{35})＞0$,
所以$2\sqrt{6}＞\sqrt{5}+\sqrt{7}$,所以$\sqrt{6}-\sqrt{5}＞\sqrt{7}-\sqrt{6}$。