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作一个角等于已知角
如图,已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
作法:如图,(1)以点O为圆心,
(2)作一条射线O'A',以点O'为圆心,
(3)以点C'为圆心,
(4)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
如图,已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
作法:如图,(1)以点O为圆心,
任意长
为半径作弧,分别交OA,OB于点C,D;(2)作一条射线O'A',以点O'为圆心,
OC
为半径作弧,交O'A'于点C';(3)以点C'为圆心,
CD
为半径作弧,与上一步作的弧相交于点D';(4)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
答案
(1) 任意长
(2) OC
(3) CD
(2) OC
(3) CD
解析
【分析】
要作一个角等于已知角，核心原理是利用“三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等”来构造相等的角。思考每一步的目的：第一步需要在已知∠AOB的两条边上截取两条等长的线段，因此以O为圆心画弧时，只要半径长度能同时和OA、OB相交即可，选任意长即可；第二步要在新作的射线O'A'上截取与OC长度相等的线段O'C'，因此以O'为圆心画弧时，半径需要等于OC的长度；第三步需要构造出与CD长度相等的线段C'D'，保证两个三角形三边对应相等，因此以C'为圆心画弧时，半径要等于CD的长度，这样就能得到全等三角形，进而得到相等的角。
【解析】
根据作一个角等于已知角的作图步骤：
(1) 为了在已知角两边得到等长线段OC、OD，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点C、D；
(2) 为了在新射线上得到与OC等长的线段O'C'，作射线O'A'后，以点O'为圆心，OC长为半径作弧，交O'A'于点C'，此时O'C'=OC；
(3) 为了得到与CD等长的线段C'D'，保证△OCD和△O'C'D'三边对应相等，以点C'为圆心，CD长为半径作弧，与步骤(2)的弧交于点D'，此时C'D'=CD，结合O'D'=OD（第二步半径OC=OD），可得△OCD≌△O'C'D'(SSS)；
(4) 过D'作射线O'B'，则对应角∠A'O'B'=∠AOB。
【答案】
(1) 任意长
(2) OC
(3) CD
【知识点】
作一个角等于已知角；SSS判定三角形全等；尺规作图
【点评】
本题是基础作图类题目，考查作一个角等于已知角的标准步骤，解题的关键是理解作图背后利用全等三角形对应角相等的原理，该作图是很多复杂尺规作图的基础，需要熟练掌握步骤。
【难度系数】
0.8
要作一个角等于已知角，核心原理是利用“三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等”来构造相等的角。思考每一步的目的：第一步需要在已知∠AOB的两条边上截取两条等长的线段，因此以O为圆心画弧时，只要半径长度能同时和OA、OB相交即可，选任意长即可；第二步要在新作的射线O'A'上截取与OC长度相等的线段O'C'，因此以O'为圆心画弧时，半径需要等于OC的长度；第三步需要构造出与CD长度相等的线段C'D'，保证两个三角形三边对应相等，因此以C'为圆心画弧时，半径要等于CD的长度，这样就能得到全等三角形，进而得到相等的角。
【解析】
根据作一个角等于已知角的作图步骤：
(1) 为了在已知角两边得到等长线段OC、OD，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点C、D；
(2) 为了在新射线上得到与OC等长的线段O'C'，作射线O'A'后，以点O'为圆心，OC长为半径作弧，交O'A'于点C'，此时O'C'=OC；
(3) 为了得到与CD等长的线段C'D'，保证△OCD和△O'C'D'三边对应相等，以点C'为圆心，CD长为半径作弧，与步骤(2)的弧交于点D'，此时C'D'=CD，结合O'D'=OD（第二步半径OC=OD），可得△OCD≌△O'C'D'(SSS)；
(4) 过D'作射线O'B'，则对应角∠A'O'B'=∠AOB。
【答案】
(1) 任意长
(2) OC
(3) CD
【知识点】
作一个角等于已知角；SSS判定三角形全等；尺规作图
【点评】
本题是基础作图类题目，考查作一个角等于已知角的标准步骤，解题的关键是理解作图背后利用全等三角形对应角相等的原理，该作图是很多复杂尺规作图的基础，需要熟练掌握步骤。
【难度系数】
0.8
[典例1]如图，已知四边形ABCD，∠EAD是其一个外角.利用直尺和圆规在边BC上作一点M，使得DM//AB.
[举一反三]如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，利用直尺和圆规过点D作BC的平行线.
[举一反三]如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，利用直尺和圆规过点D作BC的平行线.
答案
【举一反三】作法 如图.
(1)在点 D 处作∠ACB 的同位角∠ADE,使∠ADE=∠ACB.
(2)射线 DE 交AB 于点E,反向延长 ED,得直线 DE,则直线 DE//BC.
解析
【分析】
要过点D作BC的平行线，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，借助尺规作一个角等于已知角的方法，在点D处构造出与∠ACB相等的同位角，即可得到所求平行线。思考逻辑如下：首先明确平行线的判定中，构造相等同位角是最便捷的作图思路，其次我们已经掌握作一个角等于已知角的尺规操作，因此只需以AC为公共边，在点D处作出和∠ACB相等的同位角，该角的另一边所在直线就是所求平行线。
【解析】
作图依据为“同位角相等，两直线平行”，具体操作步骤如下：
1. 先作相等的同位角：按照尺规作一个角等于已知角的规范操作，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、BC于两点；再以点D为圆心，相同长度为半径画弧，交AC于一点；测量∠ACB上刚才截得的弧长，以D处的弧与AC的交点为圆心，该弧长为半径画弧，和之前以D为圆心画出的弧交于一点，连接点D和该交点得到射线DE，保证∠ADE=∠ACB，此时∠ADE与∠ACB为同位角。
2. 射线DE交AB于点E，反向延长ED得到直线DE，由同位角相等可判定DE//BC，该直线即为所求。
【答案】
作法 如图.
(1)在点 D 处作∠ACB 的同位角∠ADE,使∠ADE=∠ACB.
(2)射线 DE 交AB 于点E,反向延长 ED,得直线 DE,则直线 DE//BC.
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，核心是将作平行线的问题转化为作相等同位角的问题，既考查了作一个角等于已知角的操作熟练度，也考查了平行线判定定理的灵活应用，熟练掌握基础尺规作图方法和几何判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要过点D作BC的平行线，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，借助尺规作一个角等于已知角的方法，在点D处构造出与∠ACB相等的同位角，即可得到所求平行线。思考逻辑如下：首先明确平行线的判定中，构造相等同位角是最便捷的作图思路，其次我们已经掌握作一个角等于已知角的尺规操作，因此只需以AC为公共边，在点D处作出和∠ACB相等的同位角，该角的另一边所在直线就是所求平行线。
【解析】
作图依据为“同位角相等，两直线平行”，具体操作步骤如下：
1. 先作相等的同位角：按照尺规作一个角等于已知角的规范操作，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、BC于两点；再以点D为圆心，相同长度为半径画弧，交AC于一点；测量∠ACB上刚才截得的弧长，以D处的弧与AC的交点为圆心，该弧长为半径画弧，和之前以D为圆心画出的弧交于一点，连接点D和该交点得到射线DE，保证∠ADE=∠ACB，此时∠ADE与∠ACB为同位角。
2. 射线DE交AB于点E，反向延长ED得到直线DE，由同位角相等可判定DE//BC，该直线即为所求。
【答案】
作法 如图.
(1)在点 D 处作∠ACB 的同位角∠ADE,使∠ADE=∠ACB.
(2)射线 DE 交AB 于点E,反向延长 ED,得直线 DE,则直线 DE//BC.
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，核心是将作平行线的问题转化为作相等同位角的问题，既考查了作一个角等于已知角的操作熟练度，也考查了平行线判定定理的灵活应用，熟练掌握基础尺规作图方法和几何判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 作三角形
[典例2]如图,已知线段$a$和$∠ α$.求作$△ ABC$,使$AB = a$, $BC = 2a$, $∠ ABC = ∠ α$.
[举一反三]已知线段$a$,$∠ α$,$∠ β$,求作$△ ABC$,使$BC = a$, $∠ B = ∠ α$, $∠ C = ∠ β$.
典例解析
典例1
作法 如图.
在点$D$处作$∠ DAE$的内错角$∠ ADM$,使$∠ ADM = ∠ DAE$,交$BC$于点$M$,则$DM // AB$.
典例2
作法 如图.
(1)作$∠ MBN = ∠ α$;
(2)在射线$BM$上作$AB = a$,在射线$BN$上作$BC = 2a$;
(3)连接$AC$,则$△ ABC$就是所求作的三角形.
[典例2]如图,已知线段$a$和$∠ α$.求作$△ ABC$,使$AB = a$, $BC = 2a$, $∠ ABC = ∠ α$.
[举一反三]已知线段$a$,$∠ α$,$∠ β$,求作$△ ABC$,使$BC = a$, $∠ B = ∠ α$, $∠ C = ∠ β$.
典例解析
典例1
作法 如图.
在点$D$处作$∠ DAE$的内错角$∠ ADM$,使$∠ ADM = ∠ DAE$,交$BC$于点$M$,则$DM // AB$.
典例2
作法 如图.
(1)作$∠ MBN = ∠ α$;
(2)在射线$BM$上作$AB = a$,在射线$BN$上作$BC = 2a$;
(3)连接$AC$,则$△ ABC$就是所求作的三角形.
答案
【举一反三】作法 如图.
(1)作∠MBN=∠α;
(2)在射线 BM 上作BC=a;
(3)以 C 为顶点,CB 为一边,作∠ACB=∠β,射线 CA交BN 于点A,则△ABC 就是所求作的三角形.
解析
【分析】
本题是已知两角及夹边作三角形的尺规作图题，解题思路如下：首先确定夹边BC的两个端点，第一步先作∠MBN=∠α，得到顶点B及角的两条边；接着在其中一条边BM上截取BC=a，确定点C的位置；最后以C为顶点、CB为一边作∠ACB=∠β，该角的另一边与BN的交点即为点A，连接各点即可得到所求三角形。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 利用尺规作∠MBN，使∠MBN=∠α；
2. 在射线BM上截取线段BC，使得BC=a；
3. 以点C为顶点，线段CB为一边，作∠ACB=∠β，射线CA与射线BN交于点A，此时△ABC即为满足条件的三角形。
【答案】
(1)作∠MBN=∠α;
(2)在射线 BM 上作BC=a;
(3)以 C 为顶点,CB 为一边,作∠ACB=∠β,射线 CA交BN 于点A,则△ABC 就是所求作的三角形。
【知识点】
作一个角等于已知角，尺规作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，重点考查对“作一个角等于已知角”这一基本作图方法的掌握，作图时注意保留清晰的作图痕迹即可。
【难度系数】
0.8
本题是已知两角及夹边作三角形的尺规作图题，解题思路如下：首先确定夹边BC的两个端点，第一步先作∠MBN=∠α，得到顶点B及角的两条边；接着在其中一条边BM上截取BC=a，确定点C的位置；最后以C为顶点、CB为一边作∠ACB=∠β，该角的另一边与BN的交点即为点A，连接各点即可得到所求三角形。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 利用尺规作∠MBN，使∠MBN=∠α；
2. 在射线BM上截取线段BC，使得BC=a；
3. 以点C为顶点，线段CB为一边，作∠ACB=∠β，射线CA与射线BN交于点A，此时△ABC即为满足条件的三角形。
【答案】
(1)作∠MBN=∠α;
(2)在射线 BM 上作BC=a;
(3)以 C 为顶点,CB 为一边,作∠ACB=∠β,射线 CA交BN 于点A,则△ABC 就是所求作的三角形。
【知识点】
作一个角等于已知角，尺规作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，重点考查对“作一个角等于已知角”这一基本作图方法的掌握，作图时注意保留清晰的作图痕迹即可。
【难度系数】
0.8
