1.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，要说明$∠ D'O'C' = ∠ DOC$，需要证明$△ D'O'C' ≌ △ DOC$，则这两个三角形全等的依据是（）。


A.SAS
B.SSS
C.ASA
D.AAS

1. B

【分析】
要确定两个三角形全等的依据，需先结合尺规作一个角等于已知角的操作步骤，找出△D'O'C'和△DOC的对应边的相等关系：首先明确作图时我们通过控制弧的半径相等，得到两个三角形的三组对应边分别相等，再对应全等判定定理即可得出答案。
【解析】
根据尺规作角的步骤可得：
作图时首先以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D，因此OC=OD；
作∠A'O'B'时，先以O'为圆心、OC的长度为半径画弧，交O'A'于点C'，可得O'C'=OC=O'D'；
再以C'为圆心、CD的长度为半径画弧，与前弧交于点D'，因此C'D'=CD。
在△D'O'C'和△DOC中：
$\begin{cases}O'C'=OC \\O'D'=OD \\C'D'=CD\end{cases}$
∴△D'O'C'≌△DOC（SSS），因此全等的依据是SSS，选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 尺规作一个角等于已知角
2. SSS判定三角形全等
【点评】
本题将尺规作图和全等三角形判定结合考查，解题核心是梳理清楚作图过程中得到的边相等的关系，属于基础题，熟练掌握作图步骤和全等判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

2.如图，已知P是△ABC内部一点，用直尺和圆规作直线PQ，使直线PQ//BC.

作法 如图.
(1)过点 P 作射线 CM,在点 P 处作∠BCM 的同位角∠QPM,使∠QPM=∠BCM.
(2)反向延长 PQ,得直线 PQ,则直线 PQ//BC.

【分析】
要作直线$PQ// BC$，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，通过构造相等的同位角得到平行线。首先构造一条同时经过点$P$且与$AC$相交的截线，再利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，在点$P$处作出与$∠ ACB$相等的同位角，即可得到平行于$BC$的直线。
【解析】
作图依据为同位角相等，两直线平行，步骤如下：
1. 过点$P$作与$AC$相交的射线，将其作为截线；
2. 先以点$C$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AC$、$BC$于两点；再以点$P$为圆心，相同长度为半径画弧，交过点$P$的射线于一点；接下来测量点$C$处弧与两边交点的距离，以点$P$处弧与射线的交点为圆心、该距离为半径画弧，两段弧的交点即为确定$PQ$方向的点，过$P$和该交点作射线$PQ$，使$∠ QPM$与$∠ BCM$为同位角且大小相等；
3. 反向延长射线$PQ$，得到的直线$PQ$即为所求。
【答案】
作法 如图.
(1)过点 P 作射线 CM,在点 P 处作∠BCM 的同位角∠QPM,使∠QPM=∠BCM.
(2)反向延长 PQ,得直线 PQ,则直线 PQ//BC.
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题核心是将作平行线的问题转化为作相等同位角的问题，需要熟练掌握作一个角等于已知角的操作步骤，以及平行线的判定原理。
【难度系数】
0.8

3.如图,已知线段a和∠α,用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,∠B=∠α,∠C=2∠α.

作法 如图.
(1)作∠MBN=∠α;
(2)在射线 BM 上作BC=a;
(3)依次作∠BCD=∠α,∠DCA=∠α,CA 交 BN 于点A,则△ABC 就是所求作的三角形.

【分析】
要构造满足条件的△ABC，已知边BC=a，∠B=∠α，∠C=2∠α，可按以下思路推导：①首先确定三角形的固定边BC，先作出长度为a的定长线段BC；②运用“作一个角等于已知角”的基本作图方法，在点B处作出∠B=∠α，得到该角的另一边射线BN；③由于∠C=2∠α，可通过两次作等于∠α的角拼接得到2倍角，在点C处作出∠ACB=2∠α，该角的另一边与BN的交点即为第三个顶点A，连接三点即可得到所求三角形。
【解析】
具体作图步骤如下：
(1) 用尺规作∠MBN=∠α；
(2) 在射线BM上截取线段BC，使得BC=a；
(3) 以点C为顶点、CB为一边，作∠BCD=∠α；再以CD为一边，在∠BCD的外侧作∠DCA=∠α，此时∠ACB=∠BCD+∠DCA=2∠α，射线CA交BN于点A，△ABC即为所求作的三角形。
【答案】
作法 如图.
(1)作∠MBN=∠α;
(2)在射线 BM 上作BC=a;
(3)依次作∠BCD=∠α,∠DCA=∠α,CA 交 BN 于点A,则△ABC 就是所求作的三角形.
【知识点】
作一个角等于已知角，作定长线段，尺规作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，重点考查基本作图方法的掌握情况，解题的核心是熟练掌握作一个角等于已知角的操作，通过角的拼接得到2倍角，作图过程中要注意保留作图痕迹，保证所作角的位置符合要求。
【难度系数】
0.8

4.如图，用直尺和圆规作一点E，使$CE // AB$，$CE=AB$，且点E在四边形ABCD的内部。

作法 如图.
(1)连接 AC,在 AC 的右侧作∠ACF=∠BAC;
(2)在 CF 上作CE=AB,此时点 E 在四边形 ABCD 的内部,则点 E 就是所求作的点.

【分析】
要得到满足$CE // AB$且$CE=AB$的点E，可结合平行线的判定逻辑推导：首先以AC为截线，构造相等的内错角就能得到AB的平行线，再在平行线上截取和AB等长的线段即可。第一步先连接AC，通过“作一个角等于已知角”的方法作出$∠ ACF=∠ BAC$，此时根据“内错角相等，两直线平行”可推出$CF // AB$；第二步在CF上截取长度等于AB的线段CE，同时保证E在四边形ABCD内部，就得到所求点。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接AC，使用尺规作图的方法，在AC的右侧作$∠ ACF=∠ BAC$，由内错角相等两直线平行，可得$CF // AB$；
2. 在射线CF上截取线段$CE=AB$，且使点E落在四边形ABCD的内部，此时点E即为所求作的点。
【答案】
作法 如图.
(1)连接 AC,在 AC 的右侧作∠ACF=∠BAC;
(2)在 CF 上作CE=AB,此时点 E 在四边形 ABCD 的内部,则点 E 就是所求作的点.
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；尺规作图
【点评】
本题考查尺规作图的基础应用，核心是熟练掌握作等角、作等长线段的基本操作，结合平行线判定定理构造符合要求的平行线，作图时要注意题目要求的点E在四边形内部的限制条件。
【难度系数】
0.7