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8.抛物线$y=x^2+b$与$y=ax^2-2$的形状、开口方向相同，只是位置不同，则$a,b$的值分别是（
A.$a=1,b≠-2$
B.$a=-2,b≠2$
C.$a=1,b≠2$
D.$a=2,b≠2$
A
）。A.$a=1,b≠-2$
B.$a=-2,b≠2$
C.$a=1,b≠2$
D.$a=2,b≠2$
答案
A
解析
【分析】
首先明确二次函数$y=ax^2+k$的核心性质：抛物线的开口方向、形状完全由二次项系数$a$决定，若两个抛物线的$a$值相等，它们的形状、开口方向就完全相同，仅可能存在上下位置的差异；若两个抛物线仅位置不同，说明二者不会完全重合，也就是顶点位置不同，即常数项取值不相等。我们先根据形状、开口相同的条件求出$a$的值，再根据位置不同的限制求出$b$的取值范围即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状。
∵ 抛物线$y=x^2+b$与$y=ax^2-2$的形状、开口方向相同
∴ 两个抛物线的二次项系数相等，可得$a=1$
又
∵ 两个抛物线只是位置不同，说明两抛物线不会完全重合
∴ 二者的常数项不相等，即$b≠-2$
综上，$a=1$，$b≠-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质；二次项系数的意义
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心是理解二次项系数、常数项分别对抛物线的影响，掌握相关性质就能快速解题，出错点通常是忽略“位置不同”代表两抛物线不重合的隐含条件。
【难度系数】
0.9
首先明确二次函数$y=ax^2+k$的核心性质：抛物线的开口方向、形状完全由二次项系数$a$决定，若两个抛物线的$a$值相等，它们的形状、开口方向就完全相同，仅可能存在上下位置的差异；若两个抛物线仅位置不同，说明二者不会完全重合，也就是顶点位置不同，即常数项取值不相等。我们先根据形状、开口相同的条件求出$a$的值，再根据位置不同的限制求出$b$的取值范围即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状。
∵ 抛物线$y=x^2+b$与$y=ax^2-2$的形状、开口方向相同
∴ 两个抛物线的二次项系数相等，可得$a=1$
又
∵ 两个抛物线只是位置不同，说明两抛物线不会完全重合
∴ 二者的常数项不相等，即$b≠-2$
综上，$a=1$，$b≠-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质；二次项系数的意义
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心是理解二次项系数、常数项分别对抛物线的影响，掌握相关性质就能快速解题，出错点通常是忽略“位置不同”代表两抛物线不重合的隐含条件。
【难度系数】
0.9
9.如图，抛物线 $ y = ax^2 + c $ 经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则ac的值为(
A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
B
)。A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
答案
B
解析
【分析】
首先根据抛物线解析式$y=ax^2+c$的性质，确定其对称轴为y轴，顶点B坐标为$(0,c)$，OB为正方形的对角线。再结合正方形对角线互相垂直平分的性质，可得另一条对角线AC为水平线段，中点与OB中点重合，从而得到点A的纵坐标为$\frac{c}{2}$。接着利用正方形对角线与边长的关系求出点A的横坐标与c的关系，最后将点A坐标代入抛物线解析式，化简即可求出$ac$的值。
【解析】
1. 抛物线$y=ax^2+c$的顶点在y轴上，因此点B坐标为$(0,c)$，线段OB是正方形OABC的对角线，长度为$c$。
2. 正方形对角线互相垂直平分，OB为竖直方向，因此对角线AC为水平方向，且AC的中点与OB的中点$(0,\frac{c}{2})$重合，故点A的纵坐标为$\frac{c}{2}$，设点A坐标为$(t,\frac{c}{2})$（$t＞0$）。
3. 正方形对角线长度是边长的$\sqrt{2}$倍，即$OB=\sqrt{2}· OA$，其中$OA=\sqrt{t^2+(\frac{c}{2})^2}$，代入$OB=c$得：
$c=\sqrt{2}×\sqrt{t^2+(\frac{c}{2})^2}$
两边平方化简：
$c^2=2(t^2+\frac{c^2}{4})$
$c^2=2t^2+\frac{c^2}{2}$
$\frac{c^2}{2}=2t^2$
得$t=\frac{c}{2}$（$t＞0$），即点A坐标为$(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$。
4. 将点A代入抛物线解析式：
$\frac{c}{2}=a·(\frac{c}{2})^2 + c$
整理得：
$\frac{ac^2}{4}=-\frac{c}{2}$
$\because c≠0$，两边同时除以$c$得$\frac{ac}{4}=-\frac{1}{2}$，解得$ac=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题将二次函数的对称性和正方形性质结合考查，解题的关键是抓住正方形对角线的特点推导出点A的坐标表达式，再代入解析式整体计算$ac$的值，无需单独求出a和c，可简化运算。
【难度系数】
0.65
首先根据抛物线解析式$y=ax^2+c$的性质，确定其对称轴为y轴，顶点B坐标为$(0,c)$，OB为正方形的对角线。再结合正方形对角线互相垂直平分的性质，可得另一条对角线AC为水平线段，中点与OB中点重合，从而得到点A的纵坐标为$\frac{c}{2}$。接着利用正方形对角线与边长的关系求出点A的横坐标与c的关系，最后将点A坐标代入抛物线解析式，化简即可求出$ac$的值。
【解析】
1. 抛物线$y=ax^2+c$的顶点在y轴上，因此点B坐标为$(0,c)$，线段OB是正方形OABC的对角线，长度为$c$。
2. 正方形对角线互相垂直平分，OB为竖直方向，因此对角线AC为水平方向，且AC的中点与OB的中点$(0,\frac{c}{2})$重合，故点A的纵坐标为$\frac{c}{2}$，设点A坐标为$(t,\frac{c}{2})$（$t＞0$）。
3. 正方形对角线长度是边长的$\sqrt{2}$倍，即$OB=\sqrt{2}· OA$，其中$OA=\sqrt{t^2+(\frac{c}{2})^2}$，代入$OB=c$得：
$c=\sqrt{2}×\sqrt{t^2+(\frac{c}{2})^2}$
两边平方化简：
$c^2=2(t^2+\frac{c^2}{4})$
$c^2=2t^2+\frac{c^2}{2}$
$\frac{c^2}{2}=2t^2$
得$t=\frac{c}{2}$（$t＞0$），即点A坐标为$(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$。
4. 将点A代入抛物线解析式：
$\frac{c}{2}=a·(\frac{c}{2})^2 + c$
整理得：
$\frac{ac^2}{4}=-\frac{c}{2}$
$\because c≠0$，两边同时除以$c$得$\frac{ac}{4}=-\frac{1}{2}$，解得$ac=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题将二次函数的对称性和正方形性质结合考查，解题的关键是抓住正方形对角线的特点推导出点A的坐标表达式，再代入解析式整体计算$ac$的值，无需单独求出a和c，可简化运算。
【难度系数】
0.65
10.当$m=$
-2
时，抛物线$y=(m+1)· x^{m^2+m}+9$开口向下，对称轴是$y$轴
。在对称轴左侧，$y$的值随着$x$值的增大而增大
；在对称轴右侧，$y$的值随着$x$值的增大而减小
。答案
-2 $y$轴 增大 减小
解析
【分析】
解题时先明确两个核心条件：一是该函数为二次函数，需满足自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0；二是抛物线开口向下，要求二次项系数小于0。首先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数的正负限制筛选出符合要求的m值。代入m得到解析式后，根据形如y=ax²+k的二次函数性质，即可确定对称轴以及不同区间的增减性。
【解析】
1. 求m的取值：
根据二次函数的定义，x的最高次数为2，可得方程：
$m^2 + m = 2$
整理为$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
又因为抛物线开口向下，所以二次项系数$m+1＜0$，即$m＜-1$，因此仅$m=-2$符合要求。
2. 确定抛物线性质：
将$m=-2$代入解析式，得$y=-x^2 + 9$，属于$y=ax^2+k$型二次函数，顶点坐标为$(0,9)$，因此对称轴为y轴。
由于二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小。
【答案】
-2；y轴；增大；减小
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是牢记二次函数的定义隐含“二次项系数不为0”的条件，结合开口方向筛选参数后，再根据开口方向判断增减性即可，需熟练掌握二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心条件：一是该函数为二次函数，需满足自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0；二是抛物线开口向下，要求二次项系数小于0。首先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数的正负限制筛选出符合要求的m值。代入m得到解析式后，根据形如y=ax²+k的二次函数性质，即可确定对称轴以及不同区间的增减性。
【解析】
1. 求m的取值：
根据二次函数的定义，x的最高次数为2，可得方程：
$m^2 + m = 2$
整理为$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
又因为抛物线开口向下，所以二次项系数$m+1＜0$，即$m＜-1$，因此仅$m=-2$符合要求。
2. 确定抛物线性质：
将$m=-2$代入解析式，得$y=-x^2 + 9$，属于$y=ax^2+k$型二次函数，顶点坐标为$(0,9)$，因此对称轴为y轴。
由于二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小。
【答案】
-2；y轴；增大；减小
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是牢记二次函数的定义隐含“二次项系数不为0”的条件，结合开口方向筛选参数后，再根据开口方向判断增减性即可，需熟练掌握二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
11.已知二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象经过点 $ A(\frac{1}{2}, -\frac{1}{8}), B(3, m) $。
(1)求a与m的值。
(2)写出该图象上点B的对称点C的坐标。
(3)当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
(4)当x取何值时，y有最大值（或最小值）？
(1)求a与m的值。
(2)写出该图象上点B的对称点C的坐标。
(3)当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
(4)当x取何值时，y有最大值（或最小值）？
答案
(1)把$(\frac{1}{2},-\frac{1}{8})$的坐标代入函数表达式,得$\frac{1}{4}a=-\frac{1}{8}$,解得$a=-\frac{1}{2}$。
把$(3,m)$的坐标代入函数表达式得,$m=-\frac{1}{2}×9=-\frac{9}{2}$。
(2)$C(-3,-\frac{9}{2})$。
(3)当$x＞0$时,$y$的值随$x$值的增大而减小。
(4)当$x=0$时,$y$有最大值0。
把$(3,m)$的坐标代入函数表达式得,$m=-\frac{1}{2}×9=-\frac{9}{2}$。
(2)$C(-3,-\frac{9}{2})$。
(3)当$x＞0$时,$y$的值随$x$值的增大而减小。
(4)当$x=0$时,$y$有最大值0。
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，因此先将点A的坐标代入$y=ax^2$求出a的值，确定函数解析式后，再将点B的坐标代入解析式即可求出m的值；
(2) 二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，据此可写出点B的对称点C的坐标；
(3) 根据a的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴为y轴，即可确定y随x增大而减小的x的取值范围；
(4) 根据抛物线的开口方向，可知顶点处取最值，结合$y=ax^2$的顶点为原点，即可得到对应的最值情况。
【解析】
(1) 将点$A(\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$代入$y = ax^2$，得：
$\displaystyle a×(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{8}$，即$\displaystyle \frac{1}{4}a = -\frac{1}{8}$，解得$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$，
∴二次函数解析式为$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$，
将点$B(3, m)$代入$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$，得：
$\displaystyle m=-\frac{1}{2}×3^2 = -\frac{9}{2}$；
(2) 二次函数$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$的对称轴为y轴，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，
∴点$B(3, -\frac{9}{2})$关于y轴的对称点C的坐标为$\displaystyle (-3, -\frac{9}{2})$；
(3)
∵$\displaystyle a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴当$x＞0$时，y的值随x值的增大而减小；
(4)
∵抛物线开口向下，顶点为坐标原点$(0,0)$，
∴当$x=0$时，y有最大值，最大值为0。
【答案】
(1)$a=-\frac{1}{2}$，$m=-\frac{9}{2}$；
(2)$C(-3,-\frac{9}{2})$；
(3)当$x＞0$时，y的值随x值的增大而减小；
(4)当$x=0$时，y有最大值0。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，围绕$y=ax^2$的性质展开考查，解题核心是熟练掌握$y=ax^2$的开口方向、对称轴、增减性、对称性及最值的相关规律。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
(1) 函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，因此先将点A的坐标代入$y=ax^2$求出a的值，确定函数解析式后，再将点B的坐标代入解析式即可求出m的值；
(2) 二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，据此可写出点B的对称点C的坐标；
(3) 根据a的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴为y轴，即可确定y随x增大而减小的x的取值范围；
(4) 根据抛物线的开口方向，可知顶点处取最值，结合$y=ax^2$的顶点为原点，即可得到对应的最值情况。
【解析】
(1) 将点$A(\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$代入$y = ax^2$，得：
$\displaystyle a×(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{8}$，即$\displaystyle \frac{1}{4}a = -\frac{1}{8}$，解得$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$，
∴二次函数解析式为$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$，
将点$B(3, m)$代入$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$，得：
$\displaystyle m=-\frac{1}{2}×3^2 = -\frac{9}{2}$；
(2) 二次函数$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$的对称轴为y轴，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，
∴点$B(3, -\frac{9}{2})$关于y轴的对称点C的坐标为$\displaystyle (-3, -\frac{9}{2})$；
(3)
∵$\displaystyle a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴当$x＞0$时，y的值随x值的增大而减小；
(4)
∵抛物线开口向下，顶点为坐标原点$(0,0)$，
∴当$x=0$时，y有最大值，最大值为0。
【答案】
(1)$a=-\frac{1}{2}$，$m=-\frac{9}{2}$；
(2)$C(-3,-\frac{9}{2})$；
(3)当$x＞0$时，y的值随x值的增大而减小；
(4)当$x=0$时，y有最大值0。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，围绕$y=ax^2$的性质展开考查，解题核心是熟练掌握$y=ax^2$的开口方向、对称轴、增减性、对称性及最值的相关规律。
【难度系数】
0.8
12.已知一次函数$y=kx+b$的图象与二次函数$y=ax^2$的图象交于点$A(1,m)$和点$B(-2,4)$，与$y$轴交于点$C$。
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求$△ AOB$的面积。
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求$△ AOB$的面积。
答案
(1)把$(-2,4)$的坐标代入$y=ax^2$,得$4a=4$,解得$a=1$,
所以二次函数的表达式为$y=x^2$。
把$(1,m)$的坐标代入$y=x^2$,得$m=1$。
把$(1,1),(-2,4)$的坐标代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}k+b=1,\\-2k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$
所以一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2)由题意得一次函数图象与$y$轴交于点$C(0,2)$,
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=3$。
所以二次函数的表达式为$y=x^2$。
把$(1,m)$的坐标代入$y=x^2$,得$m=1$。
把$(1,1),(-2,4)$的坐标代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}k+b=1,\\-2k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$
所以一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2)由题意得一次函数图象与$y$轴交于点$C(0,2)$,
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=3$。
解析
【分析】
(1)求两个函数表达式时，先看二次函数$y=ax^2$仅含一个未知参数$a$，已知点$B(-2,4)$在二次函数图象上，先代入$B$点坐标求出$a$，得到二次函数解析式；再将点$A(1,m)$代入二次函数解析式求出$m$，得到$A$点完整坐标；最后把$A$、$B$两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，列二元一次方程组求解得到$k$和$b$，即可得到一次函数解析式。
(2)求$△ AOB$的面积时，直接用底乘高计算不便，因此采用割补法：利用一次函数与$y$轴的交点$C$，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ COB$，两个三角形公共底为$OC$的长度，高分别为点$A$、点$B$横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1) 求二次函数表达式：
将点$B(-2,4)$代入$y=ax^2$，得：
$a× (-2)^2=4$，即$4a=4$，解得$a=1$，
因此二次函数的表达式为$y=x^2$。
求点$A$的纵坐标：
将$A(1,m)$代入$y=x^2$，得$m=1^2=1$，即$A$点坐标为$(1,1)$。
求一次函数表达式：
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases} k+b=1 \\ -2k+b=4 \end{cases}$
两式相减消去$b$，得$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=1$，得$b=2$，
因此一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 求$△ AOB$的面积：
一次函数$y=-x+2$与$y$轴交点$C$的横坐标为0，代入得$y=2$，即$C(0,2)$，因此$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_A|=\frac{1}{2}×2×1=1$
$S_{△ COB}=\frac{1}{2}× OC× |x_B|=\frac{1}{2}×2×2=2$
因此$S_{△ AOB}=1+2=3$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
待定系数法求解析式；函数交点问题；坐标系内面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时要灵活运用割补法解决坐标系内不规则图形的面积计算问题，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1)求两个函数表达式时，先看二次函数$y=ax^2$仅含一个未知参数$a$，已知点$B(-2,4)$在二次函数图象上，先代入$B$点坐标求出$a$，得到二次函数解析式；再将点$A(1,m)$代入二次函数解析式求出$m$，得到$A$点完整坐标；最后把$A$、$B$两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，列二元一次方程组求解得到$k$和$b$，即可得到一次函数解析式。
(2)求$△ AOB$的面积时，直接用底乘高计算不便，因此采用割补法：利用一次函数与$y$轴的交点$C$，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ COB$，两个三角形公共底为$OC$的长度，高分别为点$A$、点$B$横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1) 求二次函数表达式：
将点$B(-2,4)$代入$y=ax^2$，得：
$a× (-2)^2=4$，即$4a=4$，解得$a=1$，
因此二次函数的表达式为$y=x^2$。
求点$A$的纵坐标：
将$A(1,m)$代入$y=x^2$，得$m=1^2=1$，即$A$点坐标为$(1,1)$。
求一次函数表达式：
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases} k+b=1 \\ -2k+b=4 \end{cases}$
两式相减消去$b$，得$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=1$，得$b=2$，
因此一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 求$△ AOB$的面积：
一次函数$y=-x+2$与$y$轴交点$C$的横坐标为0，代入得$y=2$，即$C(0,2)$，因此$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_A|=\frac{1}{2}×2×1=1$
$S_{△ COB}=\frac{1}{2}× OC× |x_B|=\frac{1}{2}×2×2=2$
因此$S_{△ AOB}=1+2=3$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
待定系数法求解析式；函数交点问题；坐标系内面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时要灵活运用割补法解决坐标系内不规则图形的面积计算问题，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
