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1. 二次函数$y=ax^2$（$a$为常数，$a≠0$）的图象特征
| 二次函数 | μlticolumn{2}{c}{$y=ax^2$} |
| --- | --- | --- |
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| 图象 |
| |
| 开口方向 |
| 顶点坐标 |
| 对称轴 |
| 增减性 |
| 最值 |
| 二次函数 | μlticolumn{2}{c}{$y=ax^2$} |
| --- | --- | --- |
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| 图象 |
| || 开口方向 |
开口向上
| 开口向下
|| 顶点坐标 |
(0,0)
| (0,0)
|| 对称轴 |
$y$轴
| $y$轴
|| 增减性 |
$x＞0$时，递增；$x＜0$时，递减
| $x＞0$时，递减；$x＜0$时，递增
|| 最值 |
最小值0
| 最大值0
|答案
当$a＞0$时：开口向上，顶点坐标$(0,0)$，对称轴为$y$轴，增减性为$x＞0$时，递增；$x＜0$时，递减，最小值为0
当$a＜0$时：开口向下，顶点坐标$(0,0)$，对称轴为$y$轴，增减性为$x＞0$时，递减；$x＜0$时，递增，最大值为0
当$a＜0$时：开口向下，顶点坐标$(0,0)$，对称轴为$y$轴，增减性为$x＞0$时，递减；$x＜0$时，递增，最大值为0
解析
【分析】
解决本题需要结合二次函数$y=ax^2$的图象特征逐一推导各项性质：①首先根据$a$的符号判断开口方向，$a$为正则开口向上，$a$为负则开口向下；②$y=ax^2$没有一次项和常数项，因此顶点在坐标原点，对称轴为y轴；③结合图象的上升/下降趋势判断增减性，以对称轴为分界，分别分析$x＞0$和$x＜0$时$y$随$x$的变化规律；④最值对应顶点的纵坐标，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。
【解析】
1. 当$a＞0$时：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴（或直线$x=0$）
增减性：$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
最值：当$x=0$时，$y$取最小值$0$
2. 当$a＜0$时：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴（或直线$x=0$）
增减性：$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
最值：当$x=0$时，$y$取最大值$0$
【答案】
$a＞0$：开口向上，顶点坐标$(0,0)$，对称轴为$y$轴，$x＞0$时$y$随$x$增大而递增，$x＜0$时$y$随$x$增大而递减，最小值为$0$；
$a＜0$：开口向下，顶点坐标$(0,0)$，对称轴为$y$轴，$x＞0$时$y$随$x$增大而递减，$x＜0$时$y$随$x$增大而递增，最大值为$0$。
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性；二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是掌握最简二次函数$y=ax^2$的图象与对应性质，是学习后续复杂形式二次函数的基础，牢记图象特征就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题需要结合二次函数$y=ax^2$的图象特征逐一推导各项性质：①首先根据$a$的符号判断开口方向，$a$为正则开口向上，$a$为负则开口向下；②$y=ax^2$没有一次项和常数项，因此顶点在坐标原点，对称轴为y轴；③结合图象的上升/下降趋势判断增减性，以对称轴为分界，分别分析$x＞0$和$x＜0$时$y$随$x$的变化规律；④最值对应顶点的纵坐标，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。
【解析】
1. 当$a＞0$时：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴（或直线$x=0$）
增减性：$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
最值：当$x=0$时，$y$取最小值$0$
2. 当$a＜0$时：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴（或直线$x=0$）
增减性：$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
最值：当$x=0$时，$y$取最大值$0$
【答案】
$a＞0$：开口向上，顶点坐标$(0,0)$，对称轴为$y$轴，$x＞0$时$y$随$x$增大而递增，$x＜0$时$y$随$x$增大而递减，最小值为$0$；
$a＜0$：开口向下，顶点坐标$(0,0)$，对称轴为$y$轴，$x＞0$时$y$随$x$增大而递减，$x＜0$时$y$随$x$增大而递增，最大值为$0$。
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性；二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是掌握最简二次函数$y=ax^2$的图象与对应性质，是学习后续复杂形式二次函数的基础，牢记图象特征就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2.二次函数 $y=ax^2+c$（$a,c$为常数，$a≠0$）的图象特征
| 二次函数 | μlticolumn{2}{c}{$y=ax^2+c$} |
| --- | --- | --- |
| | $a＞0,c＞0$ | $a＜0,c＞0$ |
| 图象 |
| |
| 开口方向 |
| 顶点坐标 |
| 对称轴 |
| 增减性 |
| 最值 |
| 二次函数 | μlticolumn{2}{c}{$y=ax^2+c$} |
| --- | --- | --- |
| | $a＞0,c＞0$ | $a＜0,c＞0$ |
| 图象 |
| || 开口方向 |
开口向上
| 开口向下
|| 顶点坐标 |
(0,c)
| (0,c)
|| 对称轴 |
$y$轴
| $y$轴
|| 增减性 |
$x＞0$时，递增；$x＜0$时，递减
| $x＞0$时，递减；$x＜0$时，递增
|| 最值 |
最小值$c$
| 最大值$c$
|答案
当$a＞0,c＞0$时：开口向上，顶点坐标$(0,c)$，对称轴为$y$轴，增减性为$x＞0$时，递增；$x＜0$时，递减，最小值为$c$
当$a＜0,c＞0$时：开口向下，顶点坐标$(0,c)$，对称轴为$y$轴，增减性为$x＞0$时，递减；$x＜0$时，递增，最大值为$c$
当$a＜0,c＞0$时：开口向下，顶点坐标$(0,c)$，对称轴为$y$轴，增减性为$x＞0$时，递减；$x＜0$时，递增，最大值为$c$
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路逐步推导：1. 先看二次项系数a的符号：a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；2. 分析函数形式：$y=ax^2+c$没有一次项，因此对称轴为y轴，将x=0代入函数可得y=c，因此顶点坐标为$(0,c)$；3. 结合开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，开口向下时规律相反；4. 结合开口判断最值：开口向上时顶点取最小值，开口向下时顶点取最大值，最值均为顶点的纵坐标c。
【解析】
我们分两种情况分别推导各性质：
1. 当$a＞0,c＞0$时：
开口方向：二次项系数a为正，因此开口向上；
顶点坐标：将$x=0$代入函数得$y=c$，因此顶点坐标为$(0,c)$；
对称轴：函数不含一次项，对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
增减性：开口向上，因此$x＜0$时，y随x的增大而减小；$x＞0$时，y随x的增大而增大；
最值：开口向上，顶点为最低点，因此最小值为c。
2. 当$a＜0,c＞0$时：
开口方向：二次项系数a为负，因此开口向下；
顶点坐标：将$x=0$代入函数得$y=c$，因此顶点坐标为$(0,c)$；
对称轴：函数不含一次项，对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
增减性：开口向下，因此$x＜0$时，y随x的增大而增大；$x＞0$时，y随x的增大而减小；
最值：开口向下，顶点为最高点，因此最大值为c。
【答案】
| | $a＞0,c＞0$ | $a＜0,c＞0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 顶点坐标 | $(0,c)$ | $(0,c)$ |
| 对称轴 | y轴（或直线$x=0$） | y轴（或直线$x=0$） |
| 增减性 | $x＜0$时，y随x增大而减小；$x＞0$时，y随x增大而增大 | $x＜0$时，y随x增大而增大；$x＞0$时，y随x增大而减小 |
| 最值 | 最小值为c | 最大值为c |
【知识点】
1. 二次函数开口判定
2. 二次函数顶点与对称轴
3. 二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查题，针对不含一次项的特殊二次函数$y=ax^2+c$的图象和性质设题，属于基础类习题，只要牢记a对开口方向的作用、该类函数的对称轴和顶点特征，结合开口方向分析增减性和最值即可快速解题，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.85
解题时我们可以按以下思路逐步推导：1. 先看二次项系数a的符号：a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；2. 分析函数形式：$y=ax^2+c$没有一次项，因此对称轴为y轴，将x=0代入函数可得y=c，因此顶点坐标为$(0,c)$；3. 结合开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，开口向下时规律相反；4. 结合开口判断最值：开口向上时顶点取最小值，开口向下时顶点取最大值，最值均为顶点的纵坐标c。
【解析】
我们分两种情况分别推导各性质：
1. 当$a＞0,c＞0$时：
开口方向：二次项系数a为正，因此开口向上；
顶点坐标：将$x=0$代入函数得$y=c$，因此顶点坐标为$(0,c)$；
对称轴：函数不含一次项，对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
增减性：开口向上，因此$x＜0$时，y随x的增大而减小；$x＞0$时，y随x的增大而增大；
最值：开口向上，顶点为最低点，因此最小值为c。
2. 当$a＜0,c＞0$时：
开口方向：二次项系数a为负，因此开口向下；
顶点坐标：将$x=0$代入函数得$y=c$，因此顶点坐标为$(0,c)$；
对称轴：函数不含一次项，对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
增减性：开口向下，因此$x＜0$时，y随x的增大而增大；$x＞0$时，y随x的增大而减小；
最值：开口向下，顶点为最高点，因此最大值为c。
【答案】
| | $a＞0,c＞0$ | $a＜0,c＞0$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 顶点坐标 | $(0,c)$ | $(0,c)$ |
| 对称轴 | y轴（或直线$x=0$） | y轴（或直线$x=0$） |
| 增减性 | $x＜0$时，y随x增大而减小；$x＞0$时，y随x增大而增大 | $x＜0$时，y随x增大而增大；$x＞0$时，y随x增大而减小 |
| 最值 | 最小值为c | 最大值为c |
【知识点】
1. 二次函数开口判定
2. 二次函数顶点与对称轴
3. 二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查题，针对不含一次项的特殊二次函数$y=ax^2+c$的图象和性质设题，属于基础类习题，只要牢记a对开口方向的作用、该类函数的对称轴和顶点特征，结合开口方向分析增减性和最值即可快速解题，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.85
1. 二次函数$y=-2x^2$图象的顶点坐标是(
A.(0,0)
B.(1,-1)
C.(-1,-1)
D.(2,-4)
A
)。A.(0,0)
B.(1,-1)
C.(-1,-1)
D.(2,-4)
答案
A
解析
【分析】
要确定二次函数$y=-2x^2$的顶点坐标，可从两种符合学段要求的思路入手：一是回忆形如$y=ax^2$的最简二次函数的图象性质，二是用二次函数顶点坐标的通用公式计算。首先明确$y=-2x^2$没有一次项和常数项，既可以对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$直接找$h$、$k$的值，也可以代入一般式的顶点坐标公式计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法1：利用最简二次函数性质
形如$y=ax^2$的二次函数，图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），当$x=0$时，$y=a×0^2=0$，因此它的顶点坐标为$(0,0)$。本题中函数属于$y=ax^2$的形式，故顶点坐标为$(0,0)$。
方法2：利用顶点坐标通用公式
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$y=-2x^2$对应$a=-2$，$b=0$，$c=0$，代入得：
横坐标：$-\frac{0}{2×(-2)}=0$，
纵坐标：$\frac{4×(-2)×0 - 0^2}{4×(-2)}=0$，
因此顶点坐标为$(0,0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题是基础题，直接考查最简二次函数的顶点坐标相关知识点，熟练掌握特殊形式二次函数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数$y=-2x^2$的顶点坐标，可从两种符合学段要求的思路入手：一是回忆形如$y=ax^2$的最简二次函数的图象性质，二是用二次函数顶点坐标的通用公式计算。首先明确$y=-2x^2$没有一次项和常数项，既可以对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$直接找$h$、$k$的值，也可以代入一般式的顶点坐标公式计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法1：利用最简二次函数性质
形如$y=ax^2$的二次函数，图象是抛物线，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），当$x=0$时，$y=a×0^2=0$，因此它的顶点坐标为$(0,0)$。本题中函数属于$y=ax^2$的形式，故顶点坐标为$(0,0)$。
方法2：利用顶点坐标通用公式
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$y=-2x^2$对应$a=-2$，$b=0$，$c=0$，代入得：
横坐标：$-\frac{0}{2×(-2)}=0$，
纵坐标：$\frac{4×(-2)×0 - 0^2}{4×(-2)}=0$，
因此顶点坐标为$(0,0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题是基础题，直接考查最简二次函数的顶点坐标相关知识点，熟练掌握特殊形式二次函数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.将抛物线$y=-x^2 -1$向上平移2个单位长度得到的抛物线的表达式为（
A.$y=-x^2$
B.$y=-x^2 -2$
C.$y=-x^2 +1$
D.$y=x^2 +1$
C
）。A.$y=-x^2$
B.$y=-x^2 -2$
C.$y=-x^2 +1$
D.$y=x^2 +1$
答案
C
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次函数图象平移的核心规律：纵向（上下）平移遵循“上加下减”的原则，即向上平移几个单位，就在原函数表达式的整体（或常数项）上加几；向下平移就减几。本题是向上平移2个单位，属于纵向平移，只需要对原表达式的常数项进行调整即可，不需要改动含x的项。
【解析】
二次函数图象上下平移时遵循“上加下减”的运算规则：
已知原抛物线的表达式为$y=-x^2 -1$，将其向上平移2个单位长度，只需在原表达式的常数项后加2，即：
$y=-x^2 -1 + 2$
化简得：$y=-x^2 +1$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象的平移规则，只要熟练记忆平移的运算规律，无需复杂计算就能快速得出答案，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆二次函数图象平移的核心规律：纵向（上下）平移遵循“上加下减”的原则，即向上平移几个单位，就在原函数表达式的整体（或常数项）上加几；向下平移就减几。本题是向上平移2个单位，属于纵向平移，只需要对原表达式的常数项进行调整即可，不需要改动含x的项。
【解析】
二次函数图象上下平移时遵循“上加下减”的运算规则：
已知原抛物线的表达式为$y=-x^2 -1$，将其向上平移2个单位长度，只需在原表达式的常数项后加2，即：
$y=-x^2 -1 + 2$
化简得：$y=-x^2 +1$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象的平移规则，只要熟练记忆平移的运算规律，无需复杂计算就能快速得出答案，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
3.二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=ax+a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
C
)。答案
C
解析
【分析】
本题属于同一坐标系下不同函数图象的判断类题目，解题核心是利用参数a的正负性分别分析两个函数的图象特征，逐一排除矛盾选项即可。首先回忆两个函数的性质：①二次函数$y=ax^2$的顶点在原点，当$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②一次函数$y=ax+a$可整理为$y=a(x+1)$，恒过定点$(-1,0)$，当$a＞0$时，斜率为正、与y轴交于正半轴，图象过一、二、三象限；当$a＜0$时，斜率为负、与y轴交于负半轴，图象过二、三、四象限。接下来分$a＞0$和$a＜0$两种情况排查选项即可。
【解析】
我们分两种情况讨论参数$a$的符号：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向上，一次函数$y=ax+a$斜率为正、与y轴交于正半轴，图象过一、二、三象限。
A选项中一次函数过二、三、四象限，不符合$a＞0$的特征，排除；D选项中一次函数与y轴交于负半轴，不符合$a＞0$的特征，排除。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向下，一次函数$y=ax+a$斜率为负、与y轴交于负半轴，图象过二、三、四象限。
B选项中一次函数过一、二、三象限，不符合$a＜0$的特征，排除；C选项中二次函数开口向下，一次函数过二、三、四象限，二者$a$的符号一致，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，重点考察参数对函数图象的影响，采用分类讨论的方法可以快速排除错误选项，也可借助一次函数过定点$(-1,0)$的特征辅助验证，熟练掌握两类基本函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于同一坐标系下不同函数图象的判断类题目，解题核心是利用参数a的正负性分别分析两个函数的图象特征，逐一排除矛盾选项即可。首先回忆两个函数的性质：①二次函数$y=ax^2$的顶点在原点，当$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②一次函数$y=ax+a$可整理为$y=a(x+1)$，恒过定点$(-1,0)$，当$a＞0$时，斜率为正、与y轴交于正半轴，图象过一、二、三象限；当$a＜0$时，斜率为负、与y轴交于负半轴，图象过二、三、四象限。接下来分$a＞0$和$a＜0$两种情况排查选项即可。
【解析】
我们分两种情况讨论参数$a$的符号：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向上，一次函数$y=ax+a$斜率为正、与y轴交于正半轴，图象过一、二、三象限。
A选项中一次函数过二、三、四象限，不符合$a＞0$的特征，排除；D选项中一次函数与y轴交于负半轴，不符合$a＞0$的特征，排除。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向下，一次函数$y=ax+a$斜率为负、与y轴交于负半轴，图象过二、三、四象限。
B选项中一次函数过一、二、三象限，不符合$a＜0$的特征，排除；C选项中二次函数开口向下，一次函数过二、三、四象限，二者$a$的符号一致，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，重点考察参数对函数图象的影响，采用分类讨论的方法可以快速排除错误选项，也可借助一次函数过定点$(-1,0)$的特征辅助验证，熟练掌握两类基本函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.抛物线 $ y=2x^2 $ 的顶点坐标是
(0,0)
，对称轴是$y$轴
，当 $ x $ $＜0$
时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而减小；当 $ x $ $＞0$
时，$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而增大；当 $ x $ $=0$
时，函数取得最小
值，最小
值为0
；当 $ x $ $≠0$
时，$ y＞0 $。答案
(0,0) $y$轴 $＜0$ $＞0$ $=0$ 小 小 0 $≠0$
解析
【分析】
这道题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路如下：首先根据表达式确定二次项系数$a$的取值，判断抛物线开口方向；再结合$y=ax^2$的基础特征，依次推导顶点坐标、对称轴；之后结合开口方向判断对称轴两侧的增减性、最值；最后根据函数表达式的非负性分析$y＞0$时$x$的取值范围即可。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$，属于$y=ax^2$（$a≠0$）的基础形式：
1. 顶点坐标：$y=ax^2$形式的抛物线顶点为坐标原点，即$\boldsymbol{(0,0)}$；
2. 对称轴：该类抛物线对称轴为$\boldsymbol{y}$轴（也可表示为直线$x=0$）；
3. 增减性：由$a=2＞0$可知抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，即$\boldsymbol{x＜0}$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，即$\boldsymbol{x＞0}$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 最值：开口向上的抛物线顶点为最低点，因此当$\boldsymbol{x=0}$时，函数取得最$\boldsymbol{小}$值，最$\boldsymbol{小}$值为$\boldsymbol{0}$；
5. $y＞0$的取值：由于$x^2≥0$，仅当$x=0$时$y=0$，其余情况$2x^2＞0$，因此当$\boldsymbol{x≠0}$时，$y＞0$。
【答案】
$(0,0)$ $y$轴 $＜0$ $＞0$ $=0$ 小 小 0 $≠0$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数的增减性、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$的符号对抛物线开口方向的影响，以及开口方向、对称轴和函数增减性、最值的对应关系，熟练掌握该类基础二次函数的性质是学习后续复杂二次函数的重要前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路如下：首先根据表达式确定二次项系数$a$的取值，判断抛物线开口方向；再结合$y=ax^2$的基础特征，依次推导顶点坐标、对称轴；之后结合开口方向判断对称轴两侧的增减性、最值；最后根据函数表达式的非负性分析$y＞0$时$x$的取值范围即可。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$，属于$y=ax^2$（$a≠0$）的基础形式：
1. 顶点坐标：$y=ax^2$形式的抛物线顶点为坐标原点，即$\boldsymbol{(0,0)}$；
2. 对称轴：该类抛物线对称轴为$\boldsymbol{y}$轴（也可表示为直线$x=0$）；
3. 增减性：由$a=2＞0$可知抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，即$\boldsymbol{x＜0}$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，即$\boldsymbol{x＞0}$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 最值：开口向上的抛物线顶点为最低点，因此当$\boldsymbol{x=0}$时，函数取得最$\boldsymbol{小}$值，最$\boldsymbol{小}$值为$\boldsymbol{0}$；
5. $y＞0$的取值：由于$x^2≥0$，仅当$x=0$时$y=0$，其余情况$2x^2＞0$，因此当$\boldsymbol{x≠0}$时，$y＞0$。
【答案】
$(0,0)$ $y$轴 $＜0$ $＞0$ $=0$ 小 小 0 $≠0$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数的增减性、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$的符号对抛物线开口方向的影响，以及开口方向、对称轴和函数增减性、最值的对应关系，熟练掌握该类基础二次函数的性质是学习后续复杂二次函数的重要前提。
【难度系数】
0.9
5.抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$开口________，对称轴是________，顶点坐标为________，当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$y$有最________值________。
答案
向下 $y$轴 $(0,0)$ 0 大 0
解析
【分析】
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的取值，根据$a$的符号判断开口方向；第二步回忆$y=ax^2$类二次函数的固定对称轴和顶点坐标；第三步结合开口方向判断函数存在最大值还是最小值，以及取最值时对应的$x$值和$y$值。
【解析】
对于二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2$：
1. 二次项系数$a=-\frac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
3. 因为抛物线开口向下，所以顶点是图象的最高点，即当$x=0$时，$y$有最大值，将$x=0$代入解析式得$y=0$，因此最大值为$0$。
【答案】
向下 $y$轴 $(0,0)$ 0 大 0
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；二次函数的顶点与对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题是对基础形式二次函数性质的直接考查，牢记二次项系数$a$的符号与开口方向、最值类型的对应关系，以及$y=ax^2$的对称轴、顶点特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的取值，根据$a$的符号判断开口方向；第二步回忆$y=ax^2$类二次函数的固定对称轴和顶点坐标；第三步结合开口方向判断函数存在最大值还是最小值，以及取最值时对应的$x$值和$y$值。
【解析】
对于二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2$：
1. 二次项系数$a=-\frac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
3. 因为抛物线开口向下，所以顶点是图象的最高点，即当$x=0$时，$y$有最大值，将$x=0$代入解析式得$y=0$，因此最大值为$0$。
【答案】
向下 $y$轴 $(0,0)$ 0 大 0
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；二次函数的顶点与对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题是对基础形式二次函数性质的直接考查，牢记二次项系数$a$的符号与开口方向、最值类型的对应关系，以及$y=ax^2$的对称轴、顶点特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6.抛物线 $y=3x^2+4$ 可以由抛物线 $y=3x^2$ 沿y轴
向上平移4个单位长度
得到；同样抛物线 $y=3x^2-4$ 可以由抛物线 $y=3x^2$ 沿y轴向下平移4个单位长度
得到。答案
向上平移4个单位长度 向下平移4个单位长度
解析
【分析】
拿到本题首先观察对比抛物线解析式的特征，两个待判断的抛物线和原抛物线$y=3x^2$的二次项系数完全相同，说明图象形状、开口方向一致，仅存在位置的平移变化。接下来回忆二次函数沿y轴平移的规律：“上加下减常数项”，即抛物线沿y轴平移时，仅常数项发生变化，常数项增加n个单位就向上平移n个单位长度，常数项减少n个单位就向下平移n个单位长度。最后分别计算两个解析式和原解析式的常数项差值，对应平移规律即可得到结论。
【解析】
二次函数图象沿y轴平移遵循“上加下减常数项”的规律：
1. 对比抛物线$y=3x^2$和$y=3x^2+4$，后者常数项比前者多4，因此$y=3x^2+4$可由$y=3x^2$沿y轴向上平移4个单位长度得到；
2. 对比抛物线$y=3x^2$和$y=3x^2-4$，后者常数项比前者少4，因此$y=3x^2-4$可由$y=3x^2$沿y轴向下平移4个单位长度得到。
【答案】
向上平移4个单位长度 向下平移4个单位长度
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查沿y轴方向平移的规律，牢记“上加下减常数项”的规律即可快速解题，是二次函数图象部分必须熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先观察对比抛物线解析式的特征，两个待判断的抛物线和原抛物线$y=3x^2$的二次项系数完全相同，说明图象形状、开口方向一致，仅存在位置的平移变化。接下来回忆二次函数沿y轴平移的规律：“上加下减常数项”，即抛物线沿y轴平移时，仅常数项发生变化，常数项增加n个单位就向上平移n个单位长度，常数项减少n个单位就向下平移n个单位长度。最后分别计算两个解析式和原解析式的常数项差值，对应平移规律即可得到结论。
【解析】
二次函数图象沿y轴平移遵循“上加下减常数项”的规律：
1. 对比抛物线$y=3x^2$和$y=3x^2+4$，后者常数项比前者多4，因此$y=3x^2+4$可由$y=3x^2$沿y轴向上平移4个单位长度得到；
2. 对比抛物线$y=3x^2$和$y=3x^2-4$，后者常数项比前者少4，因此$y=3x^2-4$可由$y=3x^2$沿y轴向下平移4个单位长度得到。
【答案】
向上平移4个单位长度 向下平移4个单位长度
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查沿y轴方向平移的规律，牢记“上加下减常数项”的规律即可快速解题，是二次函数图象部分必须熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
7.已知抛物线$y=(m+1)x^2 + m^2 - m -2$经过点(0,0)。
(1)求m的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(1)求m的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
答案
(1)把$(0,0)$的坐标代入$y=(m+1)x^2 + m^2 - m -2$,得$0=m^2 - m -2$。
解得$m=-1$或$m=2$。
因为$m≠-1$,所以$m=2$。
(2)此抛物线的表达式为$y=3x^2$,顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
(3)当$x≥0$时,$y$的值随着$x$值的增大而增大。
解得$m=-1$或$m=2$。
因为$m≠-1$,所以$m=2$。
(2)此抛物线的表达式为$y=3x^2$,顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
(3)当$x≥0$时,$y$的值随着$x$值的增大而增大。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过点(0,0)，函数图象上的点满足函数解析式，因此将x=0、y=0代入解析式可得到关于m的方程；同时抛物线属于二次函数，隐含二次项系数不为0的条件，需要对求出的m值进行取舍。
(2) 将求得的正确m值代入原解析式，得到具体的二次函数表达式，结合形如y=ax²的二次函数的图象性质，即可直接得出顶点坐标和对称轴。
(3) 根据二次函数的开口方向和对称轴判断增减性：当a＞0时抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，结合本题对称轴即可得到对应x的取值范围。
【解析】
(1) 把点$(0,0)$的坐标代入$y=(m+1)x^2 + m^2 - m -2$，可得：
$0=m^2 - m -2$
因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=-1$或$m=2$。
因为抛物线是二次函数，二次项系数$m+1≠0$，即$m≠-1$，因此$m=2$。
(2) 将$m=2$代入原解析式，得抛物线表达式为$y=3x^2$。
根据二次函数$y=ax^2$的性质，该抛物线的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴（或直线$x=0$）。
(3) 抛物线$y=3x^2$中$a=3＞0$，开口向上，对称轴为y轴，因此在对称轴右侧，即当$x≥0$时，y的值随着x值的增大而增大。
【答案】
(1) $m=2$；
(2) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
(3) 当$x≥0$时，y的值随着x值的增大而增大。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；待定系数法求参数
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题的关键是不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，避免错选m的值，后续问题结合二次函数的基本图象性质即可解答，需要熟练掌握二次函数的开口、对称轴、增减性等基础规律。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线经过点(0,0)，函数图象上的点满足函数解析式，因此将x=0、y=0代入解析式可得到关于m的方程；同时抛物线属于二次函数，隐含二次项系数不为0的条件，需要对求出的m值进行取舍。
(2) 将求得的正确m值代入原解析式，得到具体的二次函数表达式，结合形如y=ax²的二次函数的图象性质，即可直接得出顶点坐标和对称轴。
(3) 根据二次函数的开口方向和对称轴判断增减性：当a＞0时抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，结合本题对称轴即可得到对应x的取值范围。
【解析】
(1) 把点$(0,0)$的坐标代入$y=(m+1)x^2 + m^2 - m -2$，可得：
$0=m^2 - m -2$
因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=-1$或$m=2$。
因为抛物线是二次函数，二次项系数$m+1≠0$，即$m≠-1$，因此$m=2$。
(2) 将$m=2$代入原解析式，得抛物线表达式为$y=3x^2$。
根据二次函数$y=ax^2$的性质，该抛物线的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴（或直线$x=0$）。
(3) 抛物线$y=3x^2$中$a=3＞0$，开口向上，对称轴为y轴，因此在对称轴右侧，即当$x≥0$时，y的值随着x值的增大而增大。
【答案】
(1) $m=2$；
(2) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
(3) 当$x≥0$时，y的值随着x值的增大而增大。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；待定系数法求参数
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题的关键是不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，避免错选m的值，后续问题结合二次函数的基本图象性质即可解答，需要熟练掌握二次函数的开口、对称轴、增减性等基础规律。
【难度系数】
0.8
