知识点 单项式与多项式相乘
一般地，单项式与多项式相乘，就是用去乘多项式的，再把所得的积.
例1 计算 $(x^2+ax+5) · (-2x)$.
解 $(x^2+ax+5) · (-2x)$
$=x^2 · (-2x)+ax · (-2x)+5 · (-2x)$
$=-2x^3-2ax^2-10x$.

解：
单项式；每一项；相加
$(x^2+ax+5)·(-2x)$
$=x^2·(-2x)+ax·(-2x)+5·(-2x)$
$=-2x^3-2ax^2-10x$

例2 一个长方形的长和宽分别是$3a+1$，$2a$，这个长方形的面积是 （）

A.$6a^2+2$
B.$6a+2a$
C.$6a^2+2a^2$
D.$6a^2+2a$
解析 长方形的面积$=$长$×$宽$=(3a+1)· 2a=3a· 2a +1· 2a=6a^2+2a$.
答案 D

D

根据长方形面积公式，面积=长×宽，代入长和宽的表达式得$(3a+1)·2a$，利用乘法分配律展开，分别计算单项式乘法：$3a·2a=6a^2$，$1·2a=2a$，最终得到面积为$6a^2+2a$。

例3 已知$m - 2n = 1$，则$2n(m + 1) - m(1 + 2n) + 3$的值为（）

A.4
B.2
C.$-4$
D.$-2$
解析 因为$m - 2n = 1$，所以$2n - m = -1$。
所以原式$= 2mn + 2n - m - 2mn + 3 = 2n - m + 3 = -1 + 3 = 2$。
答案 B

B

由$m-2n=1$，可得$2n-m=-1$。利用单项式乘多项式法则展开原式：$2n(m+1)-m(1+2n)+3=2mn+2n-m-2mn+3$，合并同类项得$2n-m+3$，将$2n-m=-1$代入，计算得$-1+3=2$。

1. 下列式子计算正确的是 （）

A.$(6xy^2 - 4x^2y) · 3xy = 18xy^2 - 12x^2y$
B.$(-x)(2x + x^2 - 1) = -x^3 - 2x^2 + 1$
C.$(-3x^2y)(-2xy + 3yz - 1) = 6x^3 · y^2 - 9x^2y^2z^2 - 3x^2y$
D.$( \frac{3}{4}a^{n+1} - \frac{1}{2}b ) · 2ab = \frac{3}{2}a^{n+2}b - ab^2$

D

根据单项式乘多项式的运算法则，逐一计算各选项：
1. 选项A：$(6xy^2 - 4x^2y)·3xy = 6xy^2·3xy - 4x^2y·3xy = 18x^2y^3 - 12x^3y$，与给出结果不符，计算错误。
2. 选项B：$(-x)(2x + x^2 - 1) = -x·2x -x·x^2 +x·1 = -2x^2 -x^3 +x$，与给出结果不符，计算错误。
3. 选项C：$(-3x^2y)(-2xy + 3yz - 1) = (-3x^2y)·(-2xy) + (-3x^2y)·3yz + (-3x^2y)·(-1) = 6x^3y^2 -9x^2y^2z +3x^2y$，与给出结果不符，计算错误。
4. 选项D：$(\frac{3}{4}a^{n+1} - \frac{1}{2}b)·2ab = \frac{3}{4}a^{n+1}·2ab - \frac{1}{2}b·2ab = \frac{3}{2}a^{n+2}b - ab^2$，计算正确。