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一、选择题
1. 下列关系式中，$y$是$x$的反比例函数的是（
A.$y=5x$
B.$\dfrac{y}{x}=3$
C.$y=\dfrac{1}{x}$
D.$y=x^2 -3$
1. 下列关系式中，$y$是$x$的反比例函数的是（
C
）A.$y=5x$
B.$\dfrac{y}{x}=3$
C.$y=\dfrac{1}{x}$
D.$y=x^2 -3$
答案
1. C
解析
【分析】
解这道题的核心是掌握反比例函数的定义，我们首先回忆反比例函数的标准形式，再逐个对选项进行变形、判断，排除不符合的选项即可得到正确答案。反比例函数的常见形式有三种：①$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；②$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），结合以上形式逐一判断选项即可。
【解析】
解：根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，逐一分析选项：
选项A：$y=5x$是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项B：对$\dfrac{y}{x}=3$变形可得$y=3x$，是正比例函数，不符合要求，排除；
选项C：$y=\dfrac{1}{x}$符合$k=1$的反比例函数形式，判断正确；
选项D：$y=x^2-3$是二次函数，不符合反比例函数形式，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 正比例函数的定义 3. 二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查不同类型函数的形式识别，解题关键是牢记反比例函数的定义和常见形式，可变形的代数式先变形再判断即可。
【难度系数】
0.9
解这道题的核心是掌握反比例函数的定义，我们首先回忆反比例函数的标准形式，再逐个对选项进行变形、判断，排除不符合的选项即可得到正确答案。反比例函数的常见形式有三种：①$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；②$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），结合以上形式逐一判断选项即可。
【解析】
解：根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，逐一分析选项：
选项A：$y=5x$是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项B：对$\dfrac{y}{x}=3$变形可得$y=3x$，是正比例函数，不符合要求，排除；
选项C：$y=\dfrac{1}{x}$符合$k=1$的反比例函数形式，判断正确；
选项D：$y=x^2-3$是二次函数，不符合反比例函数形式，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 正比例函数的定义 3. 二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查不同类型函数的形式识别，解题关键是牢记反比例函数的定义和常见形式，可变形的代数式先变形再判断即可。
【难度系数】
0.9
2. 已知反比例函数$y=\dfrac{m-3}{x}$（其中$m≠3$），当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，那么$m$的取值范围是（
A.$m＜3$
B.$m＞3$
C.$m＜-3$
D.$m＞-3$
A
）A.$m＜3$
B.$m＞3$
C.$m＜-3$
D.$m＞-3$
答案
2. A
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $），当$ k＞0 $时，在每个象限内$ y $随$ x $的增大而减小；当$ k＜0 $时，在每个象限内$ y $随$ x $的增大而增大。本题给出$ x＞0 $时$ y $随$ x $增大而增大，说明比例系数小于0，只需令$ m-3 ＜ 0 $，解该不等式即可得到$ m $的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
解：对于反比例函数$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $），若在每个象限内$ y $随$ x $的增大而增大，则$ k ＜ 0 $。
本题中反比例函数为$ y = \frac{m-3}{x} $，且当$ x＞0 $时$ y $随$ x $的增大而增大，因此可得不等式：
$ m - 3 ＜ 0 $
解得$ m ＜ 3 $
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数增减性和比例系数的对应关系，解题关键是熟记反比例函数的性质，即可快速列式求解。
【难度系数】
0.85
首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $），当$ k＞0 $时，在每个象限内$ y $随$ x $的增大而减小；当$ k＜0 $时，在每个象限内$ y $随$ x $的增大而增大。本题给出$ x＞0 $时$ y $随$ x $增大而增大，说明比例系数小于0，只需令$ m-3 ＜ 0 $，解该不等式即可得到$ m $的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
解：对于反比例函数$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $），若在每个象限内$ y $随$ x $的增大而增大，则$ k ＜ 0 $。
本题中反比例函数为$ y = \frac{m-3}{x} $，且当$ x＞0 $时$ y $随$ x $的增大而增大，因此可得不等式：
$ m - 3 ＜ 0 $
解得$ m ＜ 3 $
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数增减性和比例系数的对应关系，解题关键是熟记反比例函数的性质，即可快速列式求解。
【难度系数】
0.85
3. 反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 的图象在 （
A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
C
）A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
3. C
解析
【分析】
要判断反比例函数图象所在的象限，需结合反比例函数的性质解题：首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其图象所在象限由比例系数$k$的符号决定：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。因此解题第一步先确定题目中反比例函数的$k$值，再根据$k$的符号判断象限即可。
【解析】
已知反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$，对比反比例函数一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，可得比例系数$k=-4$。
因为$k=-4＜0$，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数比例系数与图象所在象限的对应规律，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断反比例函数图象所在的象限，需结合反比例函数的性质解题：首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其图象所在象限由比例系数$k$的符号决定：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。因此解题第一步先确定题目中反比例函数的$k$值，再根据$k$的符号判断象限即可。
【解析】
已知反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$，对比反比例函数一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，可得比例系数$k=-4$。
因为$k=-4＜0$，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数比例系数与图象所在象限的对应规律，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 若反比例函数的图象如图所示，则k 的值可能是 （
A.$-1$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$
D.$2$
B
）A.$-1$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$
D.$2$
答案
4. B
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象在第一、三象限时，$k＞0$；在第二、四象限时$k＜0$。解题时第一步先根据图象所在象限确定$k$的正负，排除不符合的选项；第二步结合图中$x=1$时对应的函数值范围，代入解析式求出$k$的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
1. 由图象可知，反比例函数的图象分布在第一、三象限，因此$k＞0$，可排除取值为负的A选项。
2. 观察图象可得：当$x=1$时，对应的函数值$y＜1$，将$x=1$代入解析式得$y=\frac{k}{1}=k$，因此$k＜1$。
综上可得$k$的取值范围是$0＜k＜1$，四个选项中只有$\frac{2}{3}$满足该范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数k值的判定
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是结合图象特征逐步缩小k的取值范围，先判断k的正负，再利用特殊点的函数值确定k的大小范围，熟练掌握反比例函数的性质可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象在第一、三象限时，$k＞0$；在第二、四象限时$k＜0$。解题时第一步先根据图象所在象限确定$k$的正负，排除不符合的选项；第二步结合图中$x=1$时对应的函数值范围，代入解析式求出$k$的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
1. 由图象可知，反比例函数的图象分布在第一、三象限，因此$k＞0$，可排除取值为负的A选项。
2. 观察图象可得：当$x=1$时，对应的函数值$y＜1$，将$x=1$代入解析式得$y=\frac{k}{1}=k$，因此$k＜1$。
综上可得$k$的取值范围是$0＜k＜1$，四个选项中只有$\frac{2}{3}$满足该范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数k值的判定
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是结合图象特征逐步缩小k的取值范围，先判断k的正负，再利用特殊点的函数值确定k的大小范围，熟练掌握反比例函数的性质可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，是一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象，则关于$x$的不等式$kx+b＞\frac{2}{x}$的解为（
A.$x＞1$
B.$-2＜x＜1$
C.$-2＜x＜0$或$x＞1$
D.$x＜-2$
C
）A.$x＞1$
B.$-2＜x＜1$
C.$-2＜x＜0$或$x＞1$
D.$x＜-2$
答案
5. C
解析
【分析】
要解不等式$kx+b＞\frac{2}{x}$，其几何意义是找一次函数$y=kx+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{2}{x}$图象上方时对应的自变量$x$的取值范围。解题时先求出两个函数的交点坐标，再结合反比例函数$x≠0$的特点，分$x＜0$和$x＞0$两个区间观察图象的上下位置关系，最后合并得到解集即可。
【解析】
首先确定两个函数的交点坐标：
1. 已知反比例函数为$y=\frac{2}{x}$，观察图象右侧交点横坐标为1，代入反比例函数得$y=\frac{2}{1}=2$，即交点为$(1,2)$；
2. 观察图象左侧交点纵坐标为-1，代入反比例函数得$-1=\frac{2}{x}$，解得$x=-2$，即交点为$(-2,-1)$。
接下来分区间判断图象位置：
当$x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方的$x$范围是$-2＜x＜0$；
当$x＞0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方的$x$范围是$x＞1$。
因此不等式$kx+b＞\frac{2}{x}$的解为$-2＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数与不等式的关系
【点评】
本题核心是利用函数图象的位置关系解不等式，需注意反比例函数自变量的取值范围是$x≠0$，要分正负两个区间讨论，避免遗漏$x＜0$的解集部分。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx+b＞\frac{2}{x}$，其几何意义是找一次函数$y=kx+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{2}{x}$图象上方时对应的自变量$x$的取值范围。解题时先求出两个函数的交点坐标，再结合反比例函数$x≠0$的特点，分$x＜0$和$x＞0$两个区间观察图象的上下位置关系，最后合并得到解集即可。
【解析】
首先确定两个函数的交点坐标：
1. 已知反比例函数为$y=\frac{2}{x}$，观察图象右侧交点横坐标为1，代入反比例函数得$y=\frac{2}{1}=2$，即交点为$(1,2)$；
2. 观察图象左侧交点纵坐标为-1，代入反比例函数得$-1=\frac{2}{x}$，解得$x=-2$，即交点为$(-2,-1)$。
接下来分区间判断图象位置：
当$x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方的$x$范围是$-2＜x＜0$；
当$x＞0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方的$x$范围是$x＞1$。
因此不等式$kx+b＞\frac{2}{x}$的解为$-2＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数与不等式的关系
【点评】
本题核心是利用函数图象的位置关系解不等式，需注意反比例函数自变量的取值范围是$x≠0$，要分正负两个区间讨论，避免遗漏$x＜0$的解集部分。
【难度系数】
0.7
6. 根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强$ p $ pa与它的体积$ V $ $ \mathrm{m}^3 $的乘积是一个常数$ k $，即$ pV = k $（$ k $为常数，$ k＞0 $），下列图象能正确反映$ p $与$ V $之间函数关系的是 (
D
)答案
6. D
解析
【分析】
要判断p与V的函数图像，首先根据给出的等式推导函数解析式：由pV=k（k＞0）可变形为$p=\frac{k}{V}$，可知p是V的反比例函数。再结合实际意义，气体的压强p和体积V都必须是正数，因此函数图像只能在第一象限，且反比例函数在第一象限的分支是随V增大p减小的下降曲线，据此逐一对比选项即可。
【解析】
已知$pV=k$（$k$为常数，$k＞0$），将式子变形可得$p=\frac{k}{V}$，由此可知$p$是$V$的反比例函数。
结合实际意义，气体的压强$p＞0$，体积$V＞0$，因此该反比例函数的图像仅位于第一象限，且为随$V$增大$p$逐渐减小的曲线：
选项A是过原点的上升直线，属于正比例函数图像，不符合；
选项B是下降的直线，属于一次函数图像，不符合；
选项C是第一象限的上升曲线，不符合反比例函数的增减性特点；
选项D是第一象限的下降曲线，符合反比例函数$p=\frac{k}{V}$（$V＞0,p＞0$）的图像特征。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的应用；函数自变量取值范围
【点评】
本题结合物理中的波义耳定律考查反比例函数的图像识别，解题时要注意结合实际问题的取值范围排除错误选项，重点掌握反比例函数的图像特征。
【难度系数】
0.8
要判断p与V的函数图像，首先根据给出的等式推导函数解析式：由pV=k（k＞0）可变形为$p=\frac{k}{V}$，可知p是V的反比例函数。再结合实际意义，气体的压强p和体积V都必须是正数，因此函数图像只能在第一象限，且反比例函数在第一象限的分支是随V增大p减小的下降曲线，据此逐一对比选项即可。
【解析】
已知$pV=k$（$k$为常数，$k＞0$），将式子变形可得$p=\frac{k}{V}$，由此可知$p$是$V$的反比例函数。
结合实际意义，气体的压强$p＞0$，体积$V＞0$，因此该反比例函数的图像仅位于第一象限，且为随$V$增大$p$逐渐减小的曲线：
选项A是过原点的上升直线，属于正比例函数图像，不符合；
选项B是下降的直线，属于一次函数图像，不符合；
选项C是第一象限的上升曲线，不符合反比例函数的增减性特点；
选项D是第一象限的下降曲线，符合反比例函数$p=\frac{k}{V}$（$V＞0,p＞0$）的图像特征。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的应用；函数自变量取值范围
【点评】
本题结合物理中的波义耳定律考查反比例函数的图像识别，解题时要注意结合实际问题的取值范围排除错误选项，重点掌握反比例函数的图像特征。
【难度系数】
0.8
