10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$∠ B = 30°$，$CD$平分$∠ ACB$，交$AB$于点$D$，$DE // AC$，交$BC$于点$E$，若$AC=3$，则$DE$的长为（）


A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$3$

10. A 【解析】在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=3,
所以BC=2AC=6,∠ACB=60°。
因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD。
因为DE//AC,
所以∠BDE = ∠A = 90°,∠BCD = ∠ACD =∠EDC,
所以BE=2DE,DE=CE,
所以BC=BE+CE=3DE=6,所以DE=2。

11. 如图,一技术人员用刻度尺测量某三角形部件的尺寸。已知$∠ ACB=90°$,$D$为边$AB$的中点,点$A,B$对应的刻度分别为$1,7$,则$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。

11. 3

12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$D$在$AB$边上，将$△ CBD$沿$CD$折叠，使点$B$恰好落在$AC$边上的点$E$处。若$∠ A=22°$，则$∠ CDE$的度数为。

12. 67° 【解析】因为将△CBD沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点E处,∠ACB=90°,
所以∠BCD=∠ECD=45°,∠B=∠CED。
因为∠A=22°,所以∠B=90°-22°=68°,
所以∠CED=∠B=68°,
所以∠CDE=180°-45°-68°=67°。

13. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高线,CF是边AB上的中线,且$DC=BF,DE⊥ CF$于点E。
(1)E是CF的中点吗?请说明理由。
(2)求证:$∠ B=2∠ BCF$。

13. 解:(1)E是CF的中点。理由:如图,连结DF。
因为AD是边BC上的高线,CF是边AB上的中线，
所以$DF=BF=\frac{1}{2}AB$。
因为DC=BF，
所以CD=DF。
因为DE⊥CF,所以E是CF的中点。
(2)证明:由(1)的结论DF=BF得∠FDB=∠B。
因为DC=DF,所以∠DCF=∠DFC。
由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，
所以∠B=2∠BCF。

14. 如图，$∠ ABC=∠ ADC=90°,M,N$分别是$AC,BD$的中点。
(1)证明：$MN\bot BD$。
(2)若$∠ BAD=60°,AC=8$，求$MN$的长。

14. 解:(1)证明:连结BM,DM,如图。
因为∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点，
所以$BM=DM=\frac{1}{2}AC$。
因为N是BD的中点，
所以MN⊥BD。
(2)因为AC=8，
所以由(1)可得$BM=AM=MC=MD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
所以∠ABM=∠BAM,∠MAD=∠MDA。
因为∠BMC是△ABM的外角,∠CMD是△ADM的外角，
所以∠BMC=2∠BAM,∠CMD=2∠MAD，
所以∠BMD=∠BMC+∠DMC=2(∠BAM+∠DAM)=2∠BAD。
因为∠BAD=60°，
所以∠BMD=120°。
因为BM=DM,N是BD的中点，
所以∠BMN=∠DMN=60°，
所以$MN=\frac{1}{2}BM$，
所以MN=2。