1. 如图,能推得 $DE // BC$ 的条件是().

A.$AD:AB=DE:BC$
B.$AD:DB=DE:BC$
C.$AD:DB=AE:EC$
D.$AE:AC=AD:DB$

C

【分析】
要推得DE//BC，可从两个角度思考：一是利用平行线分线段成比例定理的推论，若直线DE截△ABC的AB、AC两边所得对应线段成比例，则DE//BC；二是先证明△ADE∽△ABC，得到同位角相等，进而推出两直线平行。我们只需逐一验证每个选项的比例是否符合上述判定要求即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$AD:AB=DE:BC$，仅一组边成比例，无法证明△ADE∽△ABC，也不符合平行线判定的比例规则，不能推出DE//BC，故A错误；
B选项：$AD:DB=DE:BC$，比例中DE、BC不是AB、AC边上被截的线段，对应线段不匹配，不符合判定要求，无法推出DE//BC，故B错误；
C选项：$AD:DB=AE:EC$，符合平行线分线段成比例定理的推论：一条直线截三角形的两边，所得对应线段成比例，则该直线平行于三角形的第三边，可直接推出DE//BC；也可将比例变形为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，结合公共角∠A=∠A，证得△ADE∽△ABC，得∠ADE=∠B，同位角相等，两直线平行，故C正确；
D选项：$AE:AC=AD:DB$，比例对应关系错误，正确的对应比例应为$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，因此无法推出DE//BC，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形判定
【点评】
本题是基础的几何判定类题目，核心考查三角形内平行线的判定条件，解题的关键是准确识别比例式中各线段的对应关系，避免对应混淆。
【难度系数】
0.8

2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若$OA:OC=OB:OD$，则下列结论中一定正确的是().

A.①与②相似
B.①与③相似
C.①与④相似
D.②与④相似

B

【分析】
首先明确已知条件：四边形对角线AC、BD交于O，且$OA:OC=OB:OD$，要判断哪组三角形相似。首先回忆相似三角形的判定定理，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是本题的核心解题依据。接下来找对应边的夹角：①是$△ AOB$，边OA、OB的夹角为$∠ AOB$；③是$△ COD$，边OC、OD的夹角为$∠ COD$，二者是对顶角，天然相等，刚好满足相似判定的条件，即可推出①和③相似。
【解析】
已知$OA:OC=OB:OD$，
∵ $∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，
∴ $∠ AOB=∠ COD$，
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ AOB ∽ △ COD$，即①与③相似。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题关键是准确找到成比例线段对应的夹角，熟练运用对顶角相等的隐含条件，避免混淆三角形的对应边和对应角即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

3. 在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=4$，$P$是边$AC$的中点，过点$P$的直线交$AB$于点$Q$，若以点$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，则$AQ$的长为（）。

A.3
B.3或$\frac{4}{3}$
C.3或$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

B

【分析】
本题考查相似三角形的应用，解题时需注意：两个三角形相似未明确对应顶点时，要结合公共角∠A分两种对应情况讨论：①△APQ与△ACB相似，此时∠APQ对应∠C；②△APQ与△ABC相似，此时∠APQ对应∠B。再根据相似三角形对应边成比例分别列式计算，最后验证结果是否符合点Q在AB上的要求即可。
【解析】
已知P是AC的中点，AC=4，因此$AP=\frac{1}{2}AC=2$。
由于∠A是△APQ和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当$△ APQ ∽ △ ACB$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$
代入$AP=2$，$AC=4$，$AB=6$得：
$\frac{2}{4}=\frac{AQ}{6}$，解得$AQ=3$。
2. 当$△ APQ ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$
代入$AP=2$，$AB=6$，$AC=4$得：
$\frac{2}{6}=\frac{AQ}{4}$，解得$AQ=\frac{4}{3}$。
两种结果均满足点Q在AB上的条件，因此AQ的长为3或$\frac{4}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形的常规考题，解题的核心是明确无对应顶点指定的相似问题需分类讨论，避免漏解，同时要结合图形位置验证解的合理性。
【难度系数】
0.65

4. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，在$△ DEF$中，$DE=DF$，要使得$△ ABC ∽ △ DEF$，还需要增加一个条件是.(填一个即可)

解：
$\because AB=AC$，$DE=DF$
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加条件$∠ A=∠ D$，即可判定$△ ABC ∽ △ DEF$。
$∠ A=∠ D$（答案不唯一）

【分析】
首先观察已知条件，△ABC和△DEF都是等腰三角形，可得两组腰的比值相等，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$。接下来回忆相似三角形的判定定理：1. 两角分别相等的两个三角形相似；2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；3. 三边对应成比例的两个三角形相似。结合已有条件，我们只需要补充符合判定定理的条件即可：比如补充顶角相等（对应两边的夹角相等，符合第二个判定定理），或者补充一组底角相等（可得两组角分别相等，符合第一个判定定理），或者补充底边的比值等于腰的比值（符合第三个判定定理）。
【解析】
已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，在$△ DEF$中，$DE=DF$，
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，
根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，添加条件$∠ A=∠ D$时，即可判定$△ ABC ∽ △ DEF$。
也可添加$∠B=∠E$、$∠C=∠F$、$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$等条件，答案不唯一。
【答案】
$∠ A=∠ D$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是开放型基础题，考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时先结合等腰三角形的性质梳理出已满足的相似条件，再补充符合判定规则的缺失条件即可，合理即可得分，答案不唯一。
【难度系数】
0.8

5. 在$△ ABC$中，$AB=9$，$AC=12$，$BC=18$，$D$为边$AC$上一点，$DC=\frac{2}{3}AC$.在边$AB$上取一点$E$，连接$DE$得$△ ADE$.若$△ ADE$与$△ ABC$相似，则$DE$的长是.

解：
∵ $AC=12$，$DC=\frac{2}{3}AC$，
∴ $AD = AC - DC = \frac{1}{3}AC = 4$。
∵ $∠ A$是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，$△ ADE$与$△ ABC$相似，分两种情况：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
代入$AD=4$，$AB=9$，$BC=18$，得 $\frac{4}{9}=\frac{DE}{18}$，
解得 $DE=8$；
② 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
代入$AD=4$，$AC=12$，$BC=18$，得 $\frac{4}{12}=\frac{DE}{18}$，
解得 $DE=6$。
综上，$DE$的长是$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{8}$。

【分析】
首先根据已知的AC长度和DC与AC的数量关系，先求出AD的长度；由于△ADE和△ABC有公共角∠A，且题目仅说明两三角形相似，未给出对应顶点的对应关系，因此需要分两种情况讨论对应边的比例：第一种是△ADE∽△ABC，此时AD与AB对应；第二种是△ADE∽△ACB，此时AD与AC对应，再分别根据相似三角形对应边成比例的性质列式计算DE的长度即可。
【解析】
∵ $AC=12$，$DC=\frac{2}{3}AC$，
∴ $AD = AC - DC = \frac{1}{3}AC = 4$。
∵ $∠ A$是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，$△ ADE$与$△ ABC$相似，分两种情况：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
代入$AD=4$，$AB=9$，$BC=18$，得 $\frac{4}{9}=\frac{DE}{18}$，
解得 $DE=8$；
② 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
代入$AD=4$，$AC=12$，$BC=18$，得 $\frac{4}{12}=\frac{DE}{18}$，
解得 $DE=6$。
综上，$DE$的长是6或8。
【答案】
6或8
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，线段长度计算
【点评】
本题是相似三角形的常考题型，解题的关键是明确当相似三角形未给出对应顶点时，需要结合已知条件分类讨论所有可能的对应关系，避免因漏解导致错误，解题时可结合公共角确定固定对应角，再分析其余角的对应情况梳理比例关系。
【难度系数】
0.6

6. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AC=3AD，AE=BE，则$\frac{DE}{BD}$的值为。（第6题）

解：设AD = x，
∵ AC = 3AD，
∴ AC = 3x，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC = 3x，∠A = 60°，
∵ AE = BE，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{3x}{2}$。
过点D作DF⊥AB于点F，
在Rt△ADF中，∠A = 60°，
∴ AF = AD·cos60° = $\frac{x}{2}$，DF = AD·sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴ EF = AE - AF = $\frac{3x}{2} - \frac{x}{2} = x$，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$DE^2 = DF^2 + EF^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + x^2 = \frac{7x^2}{4}$。
过点D作DG⊥BC于点G，
∵ CD = AC - AD = 2x，∠C = 60°，
∴ 在Rt△CDG中，CG = CD·cos60° = x，DG = CD·sin60° = $\sqrt{3}x$，
∴ BG = BC - CG = 3x - x = 2x，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：
$BD^2 = BG^2 + DG^2 = (2x)^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 7x^2$。
∴ $\frac{DE^2}{BD^2} = \frac{\frac{7x^2}{4}}{7x^2} = \frac{1}{4}$，
∴ $\frac{DE}{BD} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

【分析】
本题要求两条线段的比值，可先通过设参数的方式表示出各相关线段的长度，再结合等边三角形60°的特殊角，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出直角边的长度，最后借助勾股定理分别计算出DE和BD的长度，进而求出比值。
【解析】
设AD = x，
∵ AC = 3AD，
∴ AC = 3x，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = BC = AC = 3x，∠A = ∠C = 60°，
∵ AE = BE，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{3x}{2}$。
过点D作DF⊥AB于点F，
在Rt△ADF中，∠A = 60°，
∴ AF = AD·cos60° = $x × \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$，DF = AD·sin60° = $x × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴ EF = AE - AF = $\frac{3x}{2} - \frac{x}{2} = x$，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$DE^2 = DF^2 + EF^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + x^2 = \frac{3x^2}{4} + x^2 = \frac{7x^2}{4}$。
过点D作DG⊥BC于点G，
∵ CD = AC - AD = 3x - x = 2x，∠C = 60°，
∴ 在Rt△CDG中，CG = CD·cos60° = $2x × \frac{1}{2} = x$，DG = CD·sin60° = $2x × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}x$，
∴ BG = BC - CG = 3x - x = 2x，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：
$BD^2 = BG^2 + DG^2 = (2x)^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 4x^2 + 3x^2 = 7x^2$。
∴ $\frac{DE^2}{BD^2} = \frac{\frac{7x^2}{4}}{7x^2} = \frac{1}{4}$，
∵ DE、BD均为正数线段长度，
∴ $\frac{DE}{BD} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用
【点评】
本题属于几何比值计算类常规题型，通过设参数简化计算过程，构造直角三角形将特殊角的条件转化为边长关系，结合勾股定理求解，解题的关键是合理设参和正确作出辅助线。
【难度系数】
0.6

三、解答题
7. 如图，△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=$\sqrt{3}$，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.
(1) 求证：△BFG ∽ △FEG；
(2) 求BF的长.

(1) 证明：
∵ $△ ABC$，$△ DCE$，$△ FEG$ 是三个全等的等腰三角形，
∴ $FG = AB = \sqrt{3}$，$EG = CE = BC = 1$，
∴ $BG = BC + CE + EG = 3$，
∴ $\frac{FG}{BG} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{EG}{FG} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $\frac{FG}{BG} = \frac{EG}{FG}$，
又∵ $∠ G = ∠ G$，
∴ $△ BFG ∽ △ FEG$。
(2) 解：
∵ $△ FEG$ 是等腰三角形，
∴ $FE = FG = \sqrt{3}$，
由(1)知 $△ BFG ∽ △ FEG$，
∴ $\frac{BF}{FE} = \frac{FG}{EG}$，
将 $FE=\sqrt{3}$，$FG=\sqrt{3}$，$EG=1$ 代入得：
$\frac{BF}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{1}$，
解得 $BF = 3$。
答：$BF$ 的长为 $3$。

【分析】
(1)要证明△BFG∽△FEG，观察可得两个三角形有公共角∠G，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹∠G的两组对应边成比例即可。首先根据三个全等等腰三角形的性质，得出FG、EG的长度，再计算出BG的总长度，验证两组边的比值相等，即可完成证明。
(2)利用(1)得到的相似三角形结论，结合相似三角形对应边成比例的性质，将已知的FE、FG、EG的长度代入比例式，即可求出BF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $△ ABC$，$△ DCE$，$△ FEG$ 是三个全等的等腰三角形，
∴ $FG = AB = \sqrt{3}$，$EG = CE = BC = 1$，
∴ $BG = BC + CE + EG = 3$，
∴ $\frac{FG}{BG} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{EG}{FG} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $\frac{FG}{BG} = \frac{EG}{FG}$，
又
∵ $∠ G = ∠ G$，
∴ $△ BFG ∽ △ FEG$。
(2) 解：
∵ $△ FEG$ 是等腰三角形，
∴ $FE = FG = \sqrt{3}$，
由(1)知 $△ BFG ∽ △ FEG$，
∴ $\frac{BF}{FE} = \frac{FG}{EG}$，
将 $FE=\sqrt{3}$，$FG=\sqrt{3}$，$EG=1$ 代入得：
$\frac{BF}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{1}$，
解得 $BF = 3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $BF$ 的长为$3$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用题目，解题时先结合全等三角形的性质得到对应边的长度，再利用“两边成比例且夹角相等”的判定定理证明相似，最后借助相似三角形对应边成比例的性质求解边长，是相似章节的常规典型题。
【难度系数】
0.7