8. 如图,在正方形ABCD中,E是边AB上一点,AH ⊥ CE于点H,点M在CH上,且AH=HM,写出线段CM与BH之间的数量关系,并加以说明.

解：$CM=\sqrt{2}BH$，说明如下：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴ $∠ BAC=45°$，$\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$。
∵ $AH⊥ CE$，$AH=HM$，
∴ $△ AHM$是等腰直角三角形，
∴ $∠ HAM=45°$，$\dfrac{AM}{AH}=\sqrt{2}$。
∴ $∠ HAM=∠ BAC=45°$，
∴ $∠ HAB + ∠ BAM = ∠ MAC + ∠ BAM$，
即 $∠ HAB=∠ MAC$。
又∵ $\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，
∴ $△ ABH ∽ △ ACM$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{CM}{BH}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，
即 $CM=\sqrt{2}BH$。

【分析】
要探究CM与BH的数量关系，可结合已知的特殊图形特征分析：首先正方形和由AH⊥CE、AH=HM得到的等腰直角△AHM都含有45°角，且斜边与直角边的比值均为√2，因此可尝试通过证明三角形相似得到线段的比例关系。第一步先推导正方形、等腰直角△AHM的边的比例和角的特征，第二步通过角的和差得到一组相等的夹角，结合两边对应成比例证明△ABH∽△ACM，最后利用相似三角形对应边成比例即可得到两条线段的数量关系。
【解析】
$CM=\sqrt{2}BH$，说明如下：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴ $∠ BAC=45°$，$\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$。
∵ $AH⊥ CE$，$AH=HM$，
∴ $△ AHM$是等腰直角三角形，
∴ $∠ HAM=45°$，$\dfrac{AM}{AH}=\sqrt{2}$。
∴ $∠ HAM=∠ BAC=45°$，
∴ $∠ HAB + ∠ BAM = ∠ MAC + ∠ BAM$，
即 $∠ HAB=∠ MAC$。
又
∵ $\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，
∴ $△ ABH ∽ △ ACM$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{CM}{BH}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，
即 $CM=\sqrt{2}BH$。
【答案】
$CM=\sqrt{2}BH$
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合常考题，将特殊图形性质与相似三角形结合考查，解题的关键是利用两组特殊图形的45°角推导得到相等的夹角，进而证明三角形相似，能有效锻炼角度转化、逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.6

9.（1）如图(1)，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，则线段AE，BD的数量关系为，线段BD，AE所在直线的位置关系为；
（2）如图(2)，已知△ABC和△DCE为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=α，AB=AC，DE=EC，AC=2BC，则线段AE与BD具有怎样的数量关系，直线BD与AE所夹锐角与α具有怎样的数量关系，并加以说明。

解：(1) $AE=BD$；$BD⊥ AE$
(2) $AE=2BD$，直线$BD$与$AE$所夹锐角等于$α$，说明如下：
$\because ∠ ACB=∠ DCE=α$，
$\therefore ∠ ACB-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD$，即$∠ BCD=∠ ACE$。
$\because AB=AC$，$DE=EC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=α$，$∠ CDE=∠ DCE=α$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEC$，
$\therefore \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{DC}{EC}$。
$\because AC=2BC$，
$\therefore \dfrac{AC}{BC}=2$，即$\dfrac{EC}{DC}=2$，
$\therefore \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{1}{2}$，
又$\because ∠ BCD=∠ ACE$，
$\therefore △ BCD ∽ △ ACE$，
$\therefore \dfrac{BD}{AE}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{2}$，即$AE=2BD$。
设$BD$交$AE$于点$F$，交$AC$于点$G$，
$\because △ BCD ∽ △ ACE$，
$\therefore ∠ CBD=∠ CAE$，
又$\because ∠ BGC=∠ AGF$，
$\therefore 180°-∠ CBD-∠ BGC=180°-∠ CAE-∠ AGF$，
即$∠ AFG=∠ BCG=α$，
$\therefore$ 直线$BD$与$AE$所夹锐角等于$α$。

【分析】
（1）第一问已知两个等腰直角三角形，先推导夹角相等：由∠ACB=∠DCE=90°，同时减去公共角∠ACD可得∠BCD=∠ACE，结合已知的两组等边BC=AC、DC=CE，可通过SAS证明△BCD≌△ACE，根据全等性质直接得到AE和BD的数量关系；再利用全等得到的对应角相等，结合三角形内角和导角即可得到两直线的位置关系。
（2）第二问已知两个等腰三角形顶角均为α，先根据等腰三角形底角相等证明△ABC∽△DEC，得到对应边成比例，结合AC=2BC推导△BCD和△ACE的两边对应成比例，再加上夹角∠BCD=∠ACE，即可证明△BCD∽△ACE，根据相似性质得到AE与BD的数量关系；再利用相似得到的对应角相等，结合对顶角相等，通过三角形内角和导角即可得到直线BD与AE所夹锐角和α的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
又
∵AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD；
延长BD交AE于点F，由全等得∠CBD=∠CAE，
∵∠CBD+∠CDB=90°，∠CDB=∠ADF，
∴∠CAE+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，即BD⊥AE。
(2) AE=2BD，直线BD与AE所夹锐角等于α，说明如下：
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE。
∵AB=AC，DE=EC，
∴∠ABC=∠ACB=α，∠CDE=∠DCE=α，
∴△ABC ∽ △DEC，
∴$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{DC}{EC}$。
∵AC=2BC，
∴$\dfrac{AC}{BC}=2$，即$\dfrac{EC}{DC}=2$，
∴$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{1}{2}$，
又
∵∠BCD=∠ACE，
∴△BCD ∽ △ACE，
∴$\dfrac{BD}{AE}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{2}$，即$AE=2BD$。
设$BD$交$AE$于点$F$，交$AC$于点$G$，
∵△BCD ∽ △ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
又
∵∠BGC=∠AGF，
∴$180°-∠CBD-∠BGC=180°-∠CAE-∠AGF$，
即$∠AFG=∠BCG=α$，
∴直线$BD$与$AE$所夹锐角等于$α$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AE=BD}$；$\boldsymbol{BD⊥AE}$
（2）$\boldsymbol{AE=2BD}$，直线$BD$与$AE$所夹锐角等于$\boldsymbol{α}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是典型的手拉手模型几何题，解题核心是通过角度推导得到相等的夹角，结合边的关系证明三角形全等或相似，再利用全等、相似的性质推导边和角的关系，是几何部分的常考题型，能很好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6