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三、解答题
7. 如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，边AB的垂直平分线分别与边AC，AB交于点D，E.
（1）用圆规和直尺在图中画出边AB的垂直平分线DE，连接BD；
（2）证明：△ABC∽△BDC.
7. 如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，边AB的垂直平分线分别与边AC，AB交于点D，E.
（1）用圆规和直尺在图中画出边AB的垂直平分线DE，连接BD；
（2）证明：△ABC∽△BDC.
答案
解：(1) 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线交AC于点D，交AB于点E，直线DE即为AB的垂直平分线，连接BD，作图完成。
(2) 证明：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ ABD = ∠ BAC = 40°$。
∵ $∠ ABC = 80°$，
∴ $∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 80° - 40° = 40°$，
∴ $∠ DBC = ∠ BAC$。
又∵ $∠ C = ∠ C$，
∴ $△ ABC ∽ △ BDC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ ABD = ∠ BAC = 40°$。
∵ $∠ ABC = 80°$，
∴ $∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 80° - 40° = 40°$，
∴ $∠ DBC = ∠ BAC$。
又∵ $∠ C = ∠ C$，
∴ $△ ABC ∽ △ BDC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
解析
【分析】
（1）第一问为尺规作图题，作线段AB的垂直平分线需遵循标准作图逻辑：分别以线段A、B两个端点为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧相交得到两个交点，过这两个交点作直线，即为AB的垂直平分线，最后按要求连接BD即可。
（2）第二问证明三角形相似，优先选用两角分别相等的相似判定定理：首先观察到$∠ C$是$△ ABC$和$△ BDC$的公共角，只需再推导一组对应角相等即可；结合DE是AB垂直平分线的条件，利用垂直平分线的性质得到$AD=BD$，根据等腰三角形等角对等边推导角的等量关系，计算出$∠ DBC$的度数即可得到另一组相等的角，完成相似证明。
【解析】
(1) 作图步骤：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线交AC于点D，交AB于点E，直线DE即为AB的垂直平分线，连接BD，作图完成。
(2) 证明：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ ABD = ∠ BAC = 40°$。
∵ $∠ ABC = 80°$，
∴ $∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 80° - 40° = 40°$，
∴ $∠ DBC = ∠ BAC$。
又
∵ $∠ C = ∠ C$，
∴ $△ ABC ∽ △ BDC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) 按上述作图步骤完成作图即可；
(2) 证明过程如上，$△ ABC∽△ BDC$成立。
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 线段垂直平分线的性质
3. 相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了线段垂直平分线性质、相似三角形判定定理的应用，解题的核心是熟练掌握相关几何性质和判定规则，准确完成角的等量关系推导。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为尺规作图题，作线段AB的垂直平分线需遵循标准作图逻辑：分别以线段A、B两个端点为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧相交得到两个交点，过这两个交点作直线，即为AB的垂直平分线，最后按要求连接BD即可。
（2）第二问证明三角形相似，优先选用两角分别相等的相似判定定理：首先观察到$∠ C$是$△ ABC$和$△ BDC$的公共角，只需再推导一组对应角相等即可；结合DE是AB垂直平分线的条件，利用垂直平分线的性质得到$AD=BD$，根据等腰三角形等角对等边推导角的等量关系，计算出$∠ DBC$的度数即可得到另一组相等的角，完成相似证明。
【解析】
(1) 作图步骤：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线交AC于点D，交AB于点E，直线DE即为AB的垂直平分线，连接BD，作图完成。
(2) 证明：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ ABD = ∠ BAC = 40°$。
∵ $∠ ABC = 80°$，
∴ $∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 80° - 40° = 40°$，
∴ $∠ DBC = ∠ BAC$。
又
∵ $∠ C = ∠ C$，
∴ $△ ABC ∽ △ BDC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) 按上述作图步骤完成作图即可；
(2) 证明过程如上，$△ ABC∽△ BDC$成立。
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 线段垂直平分线的性质
3. 相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了线段垂直平分线性质、相似三角形判定定理的应用，解题的核心是熟练掌握相关几何性质和判定规则，准确完成角的等量关系推导。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，P是边AD上一点.若PE⊥EC，求证：AE·AB = DE·AP.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD = ∠ADC = 90°，AB = CD。
∵ AE⊥BD，
∴ ∠AED = 90°，
∴ ∠EAD + ∠ADE = 90°。
又 ∵ ∠CDE + ∠ADE = ∠ADC = 90°，
∴ ∠EAP = ∠CDE。
∵ PE⊥EC，
∴ ∠PEC = 90°，
∴ ∠AEP + ∠PED = 90°，∠DEC + ∠PED = 90°，
∴ ∠AEP = ∠DEC。
∴ △AEP ∽ △DEC，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AP}{CD}$。
又 ∵ AB = CD，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AP}{AB}$，
即 $AE· AB = DE· AP$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD = ∠ADC = 90°，AB = CD。
∵ AE⊥BD，
∴ ∠AED = 90°，
∴ ∠EAD + ∠ADE = 90°。
又 ∵ ∠CDE + ∠ADE = ∠ADC = 90°，
∴ ∠EAP = ∠CDE。
∵ PE⊥EC，
∴ ∠PEC = 90°，
∴ ∠AEP + ∠PED = 90°，∠DEC + ∠PED = 90°，
∴ ∠AEP = ∠DEC。
∴ △AEP ∽ △DEC，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AP}{CD}$。
又 ∵ AB = CD，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AP}{AB}$，
即 $AE· AB = DE· AP$。
解析
【分析】
要证明等积式$AE·AB = DE·AP$，首先将其转化为比例式$\frac{AE}{DE}=\frac{AP}{AB}$，结合矩形对边相等$AB=CD$，可进一步转化为证明$\frac{AE}{DE}=\frac{AP}{CD}$，即需证$△ AEP ∽ △ DEC$。接下来利用矩形的性质、垂直的条件，通过“同角的余角相等”推导两组对应角相等，即可证明三角形相似，再替换相等的边即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ BAD = ∠ ADC = 90°$，$AB = CD$。
∵ $AE⊥ BD$，
∴ $∠ AED = 90°$，
∴ $∠ EAD + ∠ ADE = 90°$。
又
∵ $∠ CDE + ∠ ADE = ∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ EAP = ∠ CDE$。
∵ $PE⊥ EC$，
∴ $∠ PEC = 90°$，
∴ $∠ AEP + ∠ PED = 90°$，$∠ DEC + ∠ PED = 90°$，
∴ $∠ AEP = ∠ DEC$。
∴ $△ AEP ∽ △ DEC$，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AP}{CD}$。
又
∵ $AB = CD$，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AP}{AB}$，
即 $AE· AB = DE· AP$。
【答案】
$AE·AB = DE·AP$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题目，解题核心是将等积式转化为比例式，再通过寻找相似三角形完成证明，过程中需要熟练运用直角的性质推导等角，结合矩形的性质替换相等的边即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
要证明等积式$AE·AB = DE·AP$，首先将其转化为比例式$\frac{AE}{DE}=\frac{AP}{AB}$，结合矩形对边相等$AB=CD$，可进一步转化为证明$\frac{AE}{DE}=\frac{AP}{CD}$，即需证$△ AEP ∽ △ DEC$。接下来利用矩形的性质、垂直的条件，通过“同角的余角相等”推导两组对应角相等，即可证明三角形相似，再替换相等的边即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ BAD = ∠ ADC = 90°$，$AB = CD$。
∵ $AE⊥ BD$，
∴ $∠ AED = 90°$，
∴ $∠ EAD + ∠ ADE = 90°$。
又
∵ $∠ CDE + ∠ ADE = ∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ EAP = ∠ CDE$。
∵ $PE⊥ EC$，
∴ $∠ PEC = 90°$，
∴ $∠ AEP + ∠ PED = 90°$，$∠ DEC + ∠ PED = 90°$，
∴ $∠ AEP = ∠ DEC$。
∴ $△ AEP ∽ △ DEC$，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AP}{CD}$。
又
∵ $AB = CD$，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AP}{AB}$，
即 $AE· AB = DE· AP$。
【答案】
$AE·AB = DE·AP$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题目，解题核心是将等积式转化为比例式，再通过寻找相似三角形完成证明，过程中需要熟练运用直角的性质推导等角，结合矩形的性质替换相等的边即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC = ∠ADE，AC = AD。
（1）求证：DE = AF；
（2）若∠ABC = ∠CDE，求证：AF² = BF·CE。
（1）求证：DE = AF；
（2）若∠ABC = ∠CDE，求证：AF² = BF·CE。
答案
证明：(1) ∵ AD // BC，
∴ ∠DAE = ∠ACF。
在△ADE和△CAF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠CAF \\AD = CA \\∠DAE = ∠ACF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CAF（ASA），
∴ DE = AF。
(2) 由△ADE ≌ △CAF，得∠AED = ∠AFC，
∴ $180° - ∠AED = 180° - ∠AFC$，即∠DEC = ∠AFB。
又∵ ∠ABC = ∠CDE，
∴ △ABF ∽ △CDE（AA），
∴ $\frac{AF}{CE} = \frac{BF}{DE}$。
又∵ DE = AF，
∴ $\frac{AF}{CE} = \frac{BF}{AF}$，
即 $AF^2 = BF · CE$。
∴ ∠DAE = ∠ACF。
在△ADE和△CAF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠CAF \\AD = CA \\∠DAE = ∠ACF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CAF（ASA），
∴ DE = AF。
(2) 由△ADE ≌ △CAF，得∠AED = ∠AFC，
∴ $180° - ∠AED = 180° - ∠AFC$，即∠DEC = ∠AFB。
又∵ ∠ABC = ∠CDE，
∴ △ABF ∽ △CDE（AA），
∴ $\frac{AF}{CE} = \frac{BF}{DE}$。
又∵ DE = AF，
∴ $\frac{AF}{CE} = \frac{BF}{AF}$，
即 $AF^2 = BF · CE$。
解析
【分析】
（1）要证明线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题已知$AC=AD$、$∠ADE=∠FAC$，结合$AD// BC$可得到一组内错角相等，刚好满足ASA的全等判定条件，证得$△ ADE≌△ CAF$即可推出$DE=AF$。
（2）要证明等积式$AF^2=BF·CE$，先将其转化为比例式$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{AF}$，结合（1）的结论$DE=AF$，只需证明$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}$，即证$△ ABF∽△ CDE$即可。由（1）的全等可推出$∠DEC=∠AFB$，再结合已知$∠ABC=∠CDE$，用AA判定即可证明两三角形相似，代入等量代换就能得到最终结论。
【解析】
(1) 由$AD// BC$，根据平行线的内错角相等性质，得$∠DAE=∠ACF$。
在$△ ADE$和$△ CAF$中，$\begin{cases}∠ADE = ∠CAF \\AD = CA \\∠DAE = ∠ACF\end{cases}$，符合ASA全等判定条件，因此$△ ADE≌△ CAF$，根据全等三角形对应边相等，得$DE=AF$。
(2) 由$△ ADE≌△ CAF$得对应角$∠AED=∠AFC$，因此两角的补角相等，即$180°-∠AED=180°-∠AFC$，也就是$∠DEC=∠AFB$。
已知$∠ABC=∠CDE$，在$△ ABF$和$△ CDE$中，$∠AFB=∠DEC$，$∠ABF=∠CDE$，符合AA相似判定条件，因此$△ ABF∽△ CDE$。
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}$，结合（1）的结论$DE=AF$，将$DE$替换为$AF$得$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{AF}$，交叉相乘后即可得$AF^2=BF·CE$。
【答案】
证明：(1)
∵ AD // BC，
∴ ∠DAE = ∠ACF。
在△ADE和△CAF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠CAF \\AD = CA \\∠DAE = ∠ACF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CAF（ASA），
∴ DE = AF。
(2) 由△ADE ≌ △CAF，得∠AED = ∠AFC，
∴ $180° - ∠AED = 180° - ∠AFC$，即∠DEC = ∠AFB。
又
∵ ∠ABC = ∠CDE，
∴ △ABF ∽ △CDE（AA），
∴ $\frac{AF}{CE} = \frac{BF}{DE}$。
又
∵ DE = AF，
∴ $\frac{AF}{CE} = \frac{BF}{AF}$，
即 $AF^2 = BF · CE$。
【知识点】
全等三角形判定与性质；相似三角形判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握全等、相似三角形的判定方法，以及等积式与比例式的转化思路，能有效锻炼逻辑推理能力和几何条件转化能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题已知$AC=AD$、$∠ADE=∠FAC$，结合$AD// BC$可得到一组内错角相等，刚好满足ASA的全等判定条件，证得$△ ADE≌△ CAF$即可推出$DE=AF$。
（2）要证明等积式$AF^2=BF·CE$，先将其转化为比例式$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{AF}$，结合（1）的结论$DE=AF$，只需证明$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}$，即证$△ ABF∽△ CDE$即可。由（1）的全等可推出$∠DEC=∠AFB$，再结合已知$∠ABC=∠CDE$，用AA判定即可证明两三角形相似，代入等量代换就能得到最终结论。
【解析】
(1) 由$AD// BC$，根据平行线的内错角相等性质，得$∠DAE=∠ACF$。
在$△ ADE$和$△ CAF$中，$\begin{cases}∠ADE = ∠CAF \\AD = CA \\∠DAE = ∠ACF\end{cases}$，符合ASA全等判定条件，因此$△ ADE≌△ CAF$，根据全等三角形对应边相等，得$DE=AF$。
(2) 由$△ ADE≌△ CAF$得对应角$∠AED=∠AFC$，因此两角的补角相等，即$180°-∠AED=180°-∠AFC$，也就是$∠DEC=∠AFB$。
已知$∠ABC=∠CDE$，在$△ ABF$和$△ CDE$中，$∠AFB=∠DEC$，$∠ABF=∠CDE$，符合AA相似判定条件，因此$△ ABF∽△ CDE$。
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}$，结合（1）的结论$DE=AF$，将$DE$替换为$AF$得$\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{AF}$，交叉相乘后即可得$AF^2=BF·CE$。
【答案】
证明：(1)
∵ AD // BC，
∴ ∠DAE = ∠ACF。
在△ADE和△CAF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠CAF \\AD = CA \\∠DAE = ∠ACF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CAF（ASA），
∴ DE = AF。
(2) 由△ADE ≌ △CAF，得∠AED = ∠AFC，
∴ $180° - ∠AED = 180° - ∠AFC$，即∠DEC = ∠AFB。
又
∵ ∠ABC = ∠CDE，
∴ △ABF ∽ △CDE（AA），
∴ $\frac{AF}{CE} = \frac{BF}{DE}$。
又
∵ DE = AF，
∴ $\frac{AF}{CE} = \frac{BF}{AF}$，
即 $AF^2 = BF · CE$。
【知识点】
全等三角形判定与性质；相似三角形判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握全等、相似三角形的判定方法，以及等积式与比例式的转化思路，能有效锻炼逻辑推理能力和几何条件转化能力。
【难度系数】
0.7
