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一、选择题
1. 如图，PA切$\odot O$于点A，PB切$\odot O$于点B，OP交$\odot O$于点C.下列结论中，错 误 的是().
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$PA=PB$
C.$AB ⊥ OC$
D.$∠ PAB=∠ APB$
1. 如图，PA切$\odot O$于点A，PB切$\odot O$于点B，OP交$\odot O$于点C.下列结论中，
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$PA=PB$
C.$AB ⊥ OC$
D.$∠ PAB=∠ APB$
答案
D
解析
【分析】
本题考查切线相关性质的应用，解题思路如下：第一步，看到PA、PB都是$\odot O$的切线，首先联想到切线长定理，可直接判断A、B两个选项的正误；第二步，结合切线长定理得到的$PA=PB$、OP平分$∠ APB$的结论，联系等腰三角形三线合一的性质，判断AB与OP（即OC）的位置关系，验证C选项；第三步，分析D选项，判断$∠ PAB$和$∠ APB$相等的条件是否必然成立，即可得出错误选项。
【解析】
解：$\because PA$切$\odot O$于点A，$PB$切$\odot O$于点B
$\therefore$根据切线长定理可得：$PA=PB$，$∠ 1=∠ 2$，故A、B选项结论正确，不符合题意；
$\because PA=PB$，$\therefore △ PAB$为等腰三角形，又$\because ∠ 1=∠ 2$，即OP平分$∠ APB$
根据等腰三角形三线合一的性质可得：$OP⊥ AB$
$\because OC$在OP上，$\therefore AB⊥ OC$，故C选项结论正确，不符合题意；
对于D选项：只有当$∠ APB=60°$时，$△ PAB$为等边三角形，才有$∠ PAB=∠ APB$，该结论不是对所有情况都成立，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【点评】
本题属于基础类选择题，重点考查切线长定理与等腰三角形性质的结合应用，解题时需注意题干要求选出错误结论，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
本题考查切线相关性质的应用，解题思路如下：第一步，看到PA、PB都是$\odot O$的切线，首先联想到切线长定理，可直接判断A、B两个选项的正误；第二步，结合切线长定理得到的$PA=PB$、OP平分$∠ APB$的结论，联系等腰三角形三线合一的性质，判断AB与OP（即OC）的位置关系，验证C选项；第三步，分析D选项，判断$∠ PAB$和$∠ APB$相等的条件是否必然成立，即可得出错误选项。
【解析】
解：$\because PA$切$\odot O$于点A，$PB$切$\odot O$于点B
$\therefore$根据切线长定理可得：$PA=PB$，$∠ 1=∠ 2$，故A、B选项结论正确，不符合题意；
$\because PA=PB$，$\therefore △ PAB$为等腰三角形，又$\because ∠ 1=∠ 2$，即OP平分$∠ APB$
根据等腰三角形三线合一的性质可得：$OP⊥ AB$
$\because OC$在OP上，$\therefore AB⊥ OC$，故C选项结论正确，不符合题意；
对于D选项：只有当$∠ APB=60°$时，$△ PAB$为等边三角形，才有$∠ PAB=∠ APB$，该结论不是对所有情况都成立，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【点评】
本题属于基础类选择题，重点考查切线长定理与等腰三角形性质的结合应用，解题时需注意题干要求选出错误结论，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=2√3，点A在边MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（）。
A.√2
B.√3
C.2
D.3
A.√2
B.√3
C.2
D.3
答案
C
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，先在Rt△MBC中，利用直角三角形的边角关系求出BC的长度；第二步，根据直径的性质和已知的直角条件，判定BC是⊙O的切线；第三步，结合MC也是⊙O的切线，利用切线长定理即可直接得到CD的长度。
【解析】
1. 在Rt△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=2√3，
由三角函数关系得：$\tan C=\frac{MB}{BC}$，
代入$\tan60°=\sqrt{3}$，得$\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{BC}$，解得$BC=2$。
2. 证明BC是⊙O的切线：
∵AB是⊙O的直径，点B在⊙O上，且∠B=90°即$BC⊥ AB$，
∴BC是⊙O的切线，切点为B。
3. 已知MC与⊙O相切于点D，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
点C是⊙O外一点，CB、CD都是⊙O的切线，
∴$CD=CB=2$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形边角关系；切线的判定；切线长定理
【点评】
本题主要考查直线与圆位置关系的基础应用，解题的核心是准确识别出点C引出的两条圆的切线，直接利用切线长定理快速求解，无需复杂计算。
【难度系数】
0.7
解题时可分三步思考：第一步，先在Rt△MBC中，利用直角三角形的边角关系求出BC的长度；第二步，根据直径的性质和已知的直角条件，判定BC是⊙O的切线；第三步，结合MC也是⊙O的切线，利用切线长定理即可直接得到CD的长度。
【解析】
1. 在Rt△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=2√3，
由三角函数关系得：$\tan C=\frac{MB}{BC}$，
代入$\tan60°=\sqrt{3}$，得$\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{BC}$，解得$BC=2$。
2. 证明BC是⊙O的切线：
∵AB是⊙O的直径，点B在⊙O上，且∠B=90°即$BC⊥ AB$，
∴BC是⊙O的切线，切点为B。
3. 已知MC与⊙O相切于点D，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
点C是⊙O外一点，CB、CD都是⊙O的切线，
∴$CD=CB=2$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形边角关系；切线的判定；切线长定理
【点评】
本题主要考查直线与圆位置关系的基础应用，解题的核心是准确识别出点C引出的两条圆的切线，直接利用切线长定理快速求解，无需复杂计算。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C为$\odot O$外一点，CA，CD都是$\odot O$的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若$∠ ACD=48°$，则$∠ DBA$的度数为().
A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$66°$
A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$66°$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“CA、CD是圆O的切线”切入：第一，根据切线长定理可得CA=CD，即△ACD是等腰三角形，已知顶角∠ACD=48°，可先求出底角∠CAD的度数；第二，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得CA⊥直径AB，即∠CAD与∠DAB互余。再结合“AB是圆的直径”的条件，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，即∠DBA与∠DAB互余。最后根据同角的余角相等，即可推导出∠DBA的度数。
【解析】
∵CA、CD都是$\odot O$的切线，A、D为切点，
∴$CA=CD$（切线长定理），$CA⊥AB$（圆的切线垂直于过切点的半径），
在等腰$△ ACD$中，$∠ ACD=48°$，
∴$∠ CAD=\frac{180°-∠ ACD}{2}=\frac{180°-48°}{2}=66°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∴$∠ DBA+∠ DAB=90°$，
又
∵$CA⊥AB$，即$∠ CAD+∠ DAB=90°$，
∴$∠ DBA=∠ CAD=66°$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的角度计算基础题，解题的关键是熟练掌握切线相关性质和圆周角定理，利用互余角的等量转化可快速简化计算过程，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“CA、CD是圆O的切线”切入：第一，根据切线长定理可得CA=CD，即△ACD是等腰三角形，已知顶角∠ACD=48°，可先求出底角∠CAD的度数；第二，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得CA⊥直径AB，即∠CAD与∠DAB互余。再结合“AB是圆的直径”的条件，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，即∠DBA与∠DAB互余。最后根据同角的余角相等，即可推导出∠DBA的度数。
【解析】
∵CA、CD都是$\odot O$的切线，A、D为切点，
∴$CA=CD$（切线长定理），$CA⊥AB$（圆的切线垂直于过切点的半径），
在等腰$△ ACD$中，$∠ ACD=48°$，
∴$∠ CAD=\frac{180°-∠ ACD}{2}=\frac{180°-48°}{2}=66°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∴$∠ DBA+∠ DAB=90°$，
又
∵$CA⊥AB$，即$∠ CAD+∠ DAB=90°$，
∴$∠ DBA=∠ CAD=66°$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的角度计算基础题，解题的关键是熟练掌握切线相关性质和圆周角定理，利用互余角的等量转化可快速简化计算过程，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 从圆外一点向圆所作的两条切线的夹角是$60°$，切线长为9 cm，则圆的半径长为.
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的切线相关性质：①切线垂直于过切点的半径；②从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。据此我们可以构造直角三角形：连接圆心与切点、圆心与圆外点，得到的直角三角形中，一个锐角为两条切线夹角的一半（即60°÷2=30°），一条直角边为已知的切线长，另一条直角边就是待求的半径，再利用特殊角的三角函数即可求出半径长度。
【解析】
设圆外点为P，圆心为O，其中一个切点为A，连接OP、OA。
根据切线的性质，得OA⊥PA，即△OAP是直角三角形。
根据切线长定理，OP平分两条切线的夹角，已知两条切线的夹角为60°，因此∠OPA=60°÷2=30°。
已知切线长PA=9cm，在Rt△OAP中，$\tan∠ OPA=\frac{OA}{PA}$，代入数据得：
$\tan30°=\frac{OA}{9}$
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$OA=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
即圆的半径为$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，理清边角的对应关系，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆的切线相关性质：①切线垂直于过切点的半径；②从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。据此我们可以构造直角三角形：连接圆心与切点、圆心与圆外点，得到的直角三角形中，一个锐角为两条切线夹角的一半（即60°÷2=30°），一条直角边为已知的切线长，另一条直角边就是待求的半径，再利用特殊角的三角函数即可求出半径长度。
【解析】
设圆外点为P，圆心为O，其中一个切点为A，连接OP、OA。
根据切线的性质，得OA⊥PA，即△OAP是直角三角形。
根据切线长定理，OP平分两条切线的夹角，已知两条切线的夹角为60°，因此∠OPA=60°÷2=30°。
已知切线长PA=9cm，在Rt△OAP中，$\tan∠ OPA=\frac{OA}{PA}$，代入数据得：
$\tan30°=\frac{OA}{9}$
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$OA=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
即圆的半径为$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，理清边角的对应关系，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，PA，PB都是$\odot O$的切线，A，B为切点，点C，D都在$\odot O$上.若$∠ P＝102°$，则$∠ A＋∠ C$的度数为.
(第5题) (第6题)
(第5题) (第6题)
答案
$\boldsymbol{219°}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：PA、PB是圆的切线，可先利用切线长定理得到PA=PB，求出等腰△PAB的底角∠PAB的度数；再结合圆内接四边形对角互补的性质，将所求的∠A（即∠PAD）拆分为∠PAB与∠DAB的和，此时∠A+∠C可转化为∠PAB + (∠DAB + ∠C)，代入对应度数即可求出结果。
【解析】
解：连接AB。
∵PA、PB都是$\odot O$的切线，A、B为切点
∴$PA = PB$，即△PAB为等腰三角形
已知$∠ P=102°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ PAB = ∠ PBA = \frac{180° - ∠ P}{2} = \frac{180° - 102°}{2} = 39°$
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴$∠ DAB + ∠ C = 180°$（圆内接四边形对角互补）
题目中所求的∠A为∠PAD，因此：
$∠ A + ∠ C = ∠ PAD + ∠ C = ∠ PAB + ∠ DAB + ∠ C = 39° + 180° = 219°$
【答案】
$\boldsymbol{219°}$
【知识点】
切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是通过连接辅助线AB，将所求角度进行拆分，结合切线性质和圆内接四边形的性质求解，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察已知条件：PA、PB是圆的切线，可先利用切线长定理得到PA=PB，求出等腰△PAB的底角∠PAB的度数；再结合圆内接四边形对角互补的性质，将所求的∠A（即∠PAD）拆分为∠PAB与∠DAB的和，此时∠A+∠C可转化为∠PAB + (∠DAB + ∠C)，代入对应度数即可求出结果。
【解析】
解：连接AB。
∵PA、PB都是$\odot O$的切线，A、B为切点
∴$PA = PB$，即△PAB为等腰三角形
已知$∠ P=102°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ PAB = ∠ PBA = \frac{180° - ∠ P}{2} = \frac{180° - 102°}{2} = 39°$
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴$∠ DAB + ∠ C = 180°$（圆内接四边形对角互补）
题目中所求的∠A为∠PAD，因此：
$∠ A + ∠ C = ∠ PAD + ∠ C = ∠ PAB + ∠ DAB + ∠ C = 39° + 180° = 219°$
【答案】
$\boldsymbol{219°}$
【知识点】
切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是通过连接辅助线AB，将所求角度进行拆分，结合切线性质和圆内接四边形的性质求解，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.65
6. 如图，直线AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，且$AB // CD$，若$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，则$BE+CG=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①看到圆的切线，优先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，由此可得BE=BF、CG=CF，OB平分∠ABC、OC平分∠BCD；②结合AB//CD的条件，可推出∠ABC与∠BCD互补，进而得到∠OBC+∠OCB=90°，判断出△BOC是直角三角形；③用勾股定理计算BC的长度，再将BE+CG转化为BF+CF=BC，即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AB、BC分别与$\odot O$相切于E、F，
∴根据切线长定理，得$BE=BF$，OB平分$∠ ABC$，
同理，直线BC、CD分别与$\odot O$相切于F、G，
得$CG=CF$，OC平分$∠ BCD$。
∵$AB // CD$，
∴$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = 90°$，
∴$∠ BOC = 90°$，即$△ BOC$为直角三角形。
在$Rt△ BOC$中，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2 + OC^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$，
∴$BE + CG = BF + CF = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，解题的突破口是利用切线长定理和切线的角平分线性质，结合平行线的性质判断出△BOC是直角三角形，再通过线段的等量代换求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：①看到圆的切线，优先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，由此可得BE=BF、CG=CF，OB平分∠ABC、OC平分∠BCD；②结合AB//CD的条件，可推出∠ABC与∠BCD互补，进而得到∠OBC+∠OCB=90°，判断出△BOC是直角三角形；③用勾股定理计算BC的长度，再将BE+CG转化为BF+CF=BC，即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AB、BC分别与$\odot O$相切于E、F，
∴根据切线长定理，得$BE=BF$，OB平分$∠ ABC$，
同理，直线BC、CD分别与$\odot O$相切于F、G，
得$CG=CF$，OC平分$∠ BCD$。
∵$AB // CD$，
∴$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = 90°$，
∴$∠ BOC = 90°$，即$△ BOC$为直角三角形。
在$Rt△ BOC$中，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2 + OC^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$，
∴$BE + CG = BF + CF = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，解题的突破口是利用切线长定理和切线的角平分线性质，结合平行线的性质判断出△BOC是直角三角形，再通过线段的等量代换求解。
【难度系数】
0.7
