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三、解答题
7. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB，CD为大圆的弦，且$AB=CD$，AB与小圆相切于点E. 求证：CD是小圆的切线.
7. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB，CD为大圆的弦，且$AB=CD$，AB与小圆相切于点E. 求证：CD是小圆的切线.
答案
证明：
连接OE，过点O作OF⊥CD，垂足为点F。
∵ AB与小圆相切于点E，
∴ OE⊥AB，且OE是小圆的半径。
∵ AB、CD为大圆的弦，且AB=CD，
∴ 同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可得OF=OE。
又∵ OF⊥CD，
∴ 圆心O到直线CD的距离OF等于小圆的半径，
∴ CD是小圆的切线。
连接OE，过点O作OF⊥CD，垂足为点F。
∵ AB与小圆相切于点E，
∴ OE⊥AB，且OE是小圆的半径。
∵ AB、CD为大圆的弦，且AB=CD，
∴ 同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可得OF=OE。
又∵ OF⊥CD，
∴ 圆心O到直线CD的距离OF等于小圆的半径，
∴ CD是小圆的切线。
解析
【分析】
要证明CD是小圆的切线，根据切线的判定定理，需证明圆心O到直线CD的距离等于小圆的半径。已知AB是小圆的切线，可得圆心O到AB的距离OE为小圆的半径；又已知AB、CD是大圆的等弦，结合同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可过点O作CD的垂线OF，证明OF=OE，即可得到圆心到CD的距离等于小圆半径，进而证明CD是小圆的切线。
【解析】
证明：连接OE，过点O作OF⊥CD，垂足为点F。
∵ AB与小圆相切于点E，
∴ OE⊥AB，且OE是小圆的半径。
∵ AB、CD为大圆的弦，且AB=CD，
∴ 同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可得OF=OE。
又
∵ OF⊥CD，
∴ 圆心O到直线CD的距离OF等于小圆的半径，
∴ CD是小圆的切线。
【答案】
连接OE，过点O作OF⊥CD，垂足为点F。
∵ AB与小圆相切于点E，
∴ OE⊥AB，且OE是小圆的半径。
∵ AB、CD为大圆的弦，且AB=CD，
∴ 同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可得OF=OE。
又
∵ OF⊥CD，
∴ 圆心O到直线CD的距离OF等于小圆的半径，
∴ CD是小圆的切线。
【知识点】
切线的判定与性质，同圆弦与弦心距的关系
【点评】
本题属于圆的基础证明题，核心考查切线的判定方法及圆的基本性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用等弦对应的弦心距相等建立两条垂线段的等量关系，掌握圆的基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明CD是小圆的切线，根据切线的判定定理，需证明圆心O到直线CD的距离等于小圆的半径。已知AB是小圆的切线，可得圆心O到AB的距离OE为小圆的半径；又已知AB、CD是大圆的等弦，结合同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可过点O作CD的垂线OF，证明OF=OE，即可得到圆心到CD的距离等于小圆半径，进而证明CD是小圆的切线。
【解析】
证明：连接OE，过点O作OF⊥CD，垂足为点F。
∵ AB与小圆相切于点E，
∴ OE⊥AB，且OE是小圆的半径。
∵ AB、CD为大圆的弦，且AB=CD，
∴ 同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可得OF=OE。
又
∵ OF⊥CD，
∴ 圆心O到直线CD的距离OF等于小圆的半径，
∴ CD是小圆的切线。
【答案】
连接OE，过点O作OF⊥CD，垂足为点F。
∵ AB与小圆相切于点E，
∴ OE⊥AB，且OE是小圆的半径。
∵ AB、CD为大圆的弦，且AB=CD，
∴ 同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可得OF=OE。
又
∵ OF⊥CD，
∴ 圆心O到直线CD的距离OF等于小圆的半径，
∴ CD是小圆的切线。
【知识点】
切线的判定与性质，同圆弦与弦心距的关系
【点评】
本题属于圆的基础证明题，核心考查切线的判定方法及圆的基本性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用等弦对应的弦心距相等建立两条垂线段的等量关系，掌握圆的基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 如图，A是$\odot O$的半径OC延长线上一点，BC为$\odot O$的弦，且$CA=OC=BC$. 求证：AB是$\odot O$的切线.
答案
证明：连接OB。
∵ OB=OC，OC=BC，
∴ OB=OC=BC，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠OBC=∠OCB=60°。
又∵ CA=BC，
∴ ∠A=∠ABC。
∵ ∠OCB是△ABC的外角，
∴ ∠OCB=∠A+∠ABC=2∠ABC=60°，
∴ ∠ABC=30°，
∴ ∠OBA=∠OBC+∠ABC=60°+30°=90°，
即OB⊥AB。
又∵ OB是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线。
∵ OB=OC，OC=BC，
∴ OB=OC=BC，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠OBC=∠OCB=60°。
又∵ CA=BC，
∴ ∠A=∠ABC。
∵ ∠OCB是△ABC的外角，
∴ ∠OCB=∠A+∠ABC=2∠ABC=60°，
∴ ∠ABC=30°，
∴ ∠OBA=∠OBC+∠ABC=60°+30°=90°，
即OB⊥AB。
又∵ OB是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线。
解析
【分析】
要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知点B在$\odot O$上，因此首先连接半径OB，只需证明$OB⊥ AB$即可。接下来利用已知的边长相等关系推导角度：首先由OB、OC均为$\odot O$的半径得$OB=OC$，结合$OC=BC$可判定$△ OBC$为等边三角形，得到$60°$的特殊角；再结合$CA=BC$，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，可求出$∠ ABC$的度数，最终计算$∠ OBA$的度数，验证其为$90°$即可完成证明。
【解析】
证明：连接OB。
∵ OB和OC都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$，
又$\because OC=BC$，
$\therefore OB=OC=BC$，
$\therefore △ OBC$是等边三角形，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=60°$。
又$\because CA=BC$，
$\therefore ∠ A=∠ ABC$。
∵ $∠ OCB$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ OCB=∠ A+∠ ABC=2∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ OBA=∠ OBC+∠ ABC=60°+30°=90°$，
即$OB⊥ AB$。
又
∵ OB是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明过程如上，AB是$\odot O$的切线得证。
【知识点】
切线的判定、等边三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，解题核心是掌握切线判定的常用思路：若待证直线与圆的公共点已知，优先连接圆心与公共点，证明直线与该半径垂直。题目综合考查了特殊三角形、三角形外角的相关性质，侧重对几何基础推导逻辑的考察。
【难度系数】
0.7
要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知点B在$\odot O$上，因此首先连接半径OB，只需证明$OB⊥ AB$即可。接下来利用已知的边长相等关系推导角度：首先由OB、OC均为$\odot O$的半径得$OB=OC$，结合$OC=BC$可判定$△ OBC$为等边三角形，得到$60°$的特殊角；再结合$CA=BC$，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，可求出$∠ ABC$的度数，最终计算$∠ OBA$的度数，验证其为$90°$即可完成证明。
【解析】
证明：连接OB。
∵ OB和OC都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$，
又$\because OC=BC$，
$\therefore OB=OC=BC$，
$\therefore △ OBC$是等边三角形，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=60°$。
又$\because CA=BC$，
$\therefore ∠ A=∠ ABC$。
∵ $∠ OCB$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ OCB=∠ A+∠ ABC=2∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ OBA=∠ OBC+∠ ABC=60°+30°=90°$，
即$OB⊥ AB$。
又
∵ OB是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明过程如上，AB是$\odot O$的切线得证。
【知识点】
切线的判定、等边三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，解题核心是掌握切线判定的常用思路：若待证直线与圆的公共点已知，优先连接圆心与公共点，证明直线与该半径垂直。题目综合考查了特殊三角形、三角形外角的相关性质，侧重对几何基础推导逻辑的考察。
【难度系数】
0.7
9. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AB是$\odot O$的直径，C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，过点C作$CE ⊥ AD$交AD的延长线于点E.
（1）求证：CE是$\odot O$的切线；
（2）若$BC=6$，$AC=8$，求CE和DE的长.
（1）求证：CE是$\odot O$的切线；
（2）若$BC=6$，$AC=8$，求CE和DE的长.
答案
(1) 证明：
连接$OC$，
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAC$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ OCA$，
$\therefore ∠ EAC=∠ OCA$，
$\therefore OC// AE$，
$\because CE⊥ AE$，
$\therefore CE⊥ OC$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
$\because ∠ EAC=∠ CAB$，$∠ E=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ AEC ∽ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{CE}{BC}=\dfrac{AC}{AB}$，即$\dfrac{CE}{6}=\dfrac{8}{10}$，
解得 $CE=\dfrac{24}{5}$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore CD=BC=6$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$
综上，$CE$的长为$\dfrac{24}{5}$，$DE$的长为$\dfrac{18}{5}$。
连接$OC$，
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAC$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ OCA$，
$\therefore ∠ EAC=∠ OCA$，
$\therefore OC// AE$，
$\because CE⊥ AE$，
$\therefore CE⊥ OC$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
$\because ∠ EAC=∠ CAB$，$∠ E=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ AEC ∽ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{CE}{BC}=\dfrac{AC}{AB}$，即$\dfrac{CE}{6}=\dfrac{8}{10}$，
解得 $CE=\dfrac{24}{5}$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore CD=BC=6$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$
综上，$CE$的长为$\dfrac{24}{5}$，$DE$的长为$\dfrac{18}{5}$。
解析
【分析】
（1）要证明CE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OC，证明$CE⊥ OC$即可。首先由弧中点的性质可得$∠ BAC=∠ EAC$，再结合等腰三角形$OA=OC$的性质推出$∠ EAC=∠ OCA$，可证$OC// AE$，结合$CE⊥ AE$的条件即可得到$CE⊥ OC$，进而得证。
（2）首先利用直径所对的圆周角为直角，得到$△ ACB$是直角三角形，用勾股定理算出AB的长度；再通过两角对应相等证明$△ AEC∽△ ACB$，利用相似三角形对应边成比例求出CE的长度；根据等弧对等弦得到$CD=BC$，最后在$\mathrm{Rt}△ CDE$中用勾股定理求出DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
连接$OC$，
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAC$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ OCA$，
$\therefore ∠ EAC=∠ OCA$，
$\therefore OC// AE$，
$\because CE⊥ AE$，
$\therefore CE⊥ OC$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
$\because ∠ EAC=∠ CAB$，$∠ E=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ AEC ∽ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{CE}{BC}=\dfrac{AC}{AB}$，即$\dfrac{CE}{6}=\dfrac{8}{10}$，
解得 $CE=\dfrac{24}{5}$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore CD=BC=6$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$
【答案】
(1) CE是$\odot O$的切线；
(2) $CE=\dfrac{24}{5}$，$DE=\dfrac{18}{5}$
【知识点】
切线的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，将圆的性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用弧中点、相似三角形等性质进行角和边的转化，是圆章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明CE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OC，证明$CE⊥ OC$即可。首先由弧中点的性质可得$∠ BAC=∠ EAC$，再结合等腰三角形$OA=OC$的性质推出$∠ EAC=∠ OCA$，可证$OC// AE$，结合$CE⊥ AE$的条件即可得到$CE⊥ OC$，进而得证。
（2）首先利用直径所对的圆周角为直角，得到$△ ACB$是直角三角形，用勾股定理算出AB的长度；再通过两角对应相等证明$△ AEC∽△ ACB$，利用相似三角形对应边成比例求出CE的长度；根据等弧对等弦得到$CD=BC$，最后在$\mathrm{Rt}△ CDE$中用勾股定理求出DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
连接$OC$，
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAC$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ OCA$，
$\therefore ∠ EAC=∠ OCA$，
$\therefore OC// AE$，
$\because CE⊥ AE$，
$\therefore CE⊥ OC$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
$\because ∠ EAC=∠ CAB$，$∠ E=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ AEC ∽ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{CE}{BC}=\dfrac{AC}{AB}$，即$\dfrac{CE}{6}=\dfrac{8}{10}$，
解得 $CE=\dfrac{24}{5}$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore CD=BC=6$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{6^2-(\dfrac{24}{5})^2}=\dfrac{18}{5}$
【答案】
(1) CE是$\odot O$的切线；
(2) $CE=\dfrac{24}{5}$，$DE=\dfrac{18}{5}$
【知识点】
切线的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，将圆的性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用弧中点、相似三角形等性质进行角和边的转化，是圆章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
