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三、解答题
7. 如图，一个圆球放置在V形架中（平面示意图），CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B。如果⊙O的半径为$2\sqrt{3}$ cm，且AB长为6 cm，求∠ACB的度数.
7. 如图，一个圆球放置在V形架中（平面示意图），CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B。如果⊙O的半径为$2\sqrt{3}$ cm，且AB长为6 cm，求∠ACB的度数.
答案
解：连接OA、OB、OC，OC交AB于点D。
∵ CA、CB都是⊙O的切线，
∴ OA⊥CA，OB⊥CB，CA=CB，OC平分∠ACB，
∴ OC⊥AB。
∵ AB=6 cm，
∴ AD=BD=$\frac{1}{2}$AB = 3 cm。
在Rt△OAD中，OA=$2\sqrt{3}$ cm，AD=3 cm，
∴ OD = $\sqrt{OA^2 - AD^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}$ = $\sqrt{12 - 9}$ = $\sqrt{3}$ cm。
∵ $\tan∠ AOD = \frac{AD}{OD} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，
∴ $∠ AOD = 60°$。
在Rt△OAC中，$∠ OAC=90°$，
∴ $∠ ACO = 90° - ∠ AOD = 90° - 60° = 30°$，
∴ $∠ ACB = 2∠ ACO = 60°$。
答：∠ACB的度数为$60°$。
∵ CA、CB都是⊙O的切线，
∴ OA⊥CA，OB⊥CB，CA=CB，OC平分∠ACB，
∴ OC⊥AB。
∵ AB=6 cm，
∴ AD=BD=$\frac{1}{2}$AB = 3 cm。
在Rt△OAD中，OA=$2\sqrt{3}$ cm，AD=3 cm，
∴ OD = $\sqrt{OA^2 - AD^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}$ = $\sqrt{12 - 9}$ = $\sqrt{3}$ cm。
∵ $\tan∠ AOD = \frac{AD}{OD} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，
∴ $∠ AOD = 60°$。
在Rt△OAC中，$∠ OAC=90°$，
∴ $∠ ACO = 90° - ∠ AOD = 90° - 60° = 30°$，
∴ $∠ ACB = 2∠ ACO = 60°$。
答：∠ACB的度数为$60°$。
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，优先考虑连接圆心和切点，利用切线性质得到直角；本题中CA、CB都是⊙O的切线，符合切线长定理的应用条件，因此连接OA、OB、OC，可得CA=CB、OC平分∠ACB且垂直AB，可将AB分为等长的两段。先在Rt△OAD中用勾股定理求出OD的长度，再通过三角函数求出∠AOD的度数，最后利用直角三角形两锐角互余得到∠ACO的度数，将其翻倍即可得到∠ACB的度数。
【解析】
连接OA、OB、OC，OC交AB于点D。
∵ CA、CB都是⊙O的切线，
∴ OA⊥CA，OB⊥CB，CA=CB，OC平分∠ACB，
∴ OC⊥AB。
∵ AB=6 cm，
∴ AD=BD=$\frac{1}{2}$AB = 3 cm。
在Rt△OAD中，OA=$2\sqrt{3}$ cm，AD=3 cm，
∴ OD = $\sqrt{OA^2 - AD^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}$ = $\sqrt{12 - 9}$ = $\sqrt{3}$ cm。
∵ $\tan∠ AOD = \frac{AD}{OD} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，
∴ $∠ AOD = 60°$。
在Rt△OAC中，$∠ OAC=90°$，
∴ $∠ ACO = 90° - ∠ AOD = 90° - 60° = 30°$，
∴ $∠ ACB = 2∠ ACO = 60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角函数结合的基础典型题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将圆的切线性质与直角三角形的边角关系结合求解，能很好地考察学生对基础定理的运用和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，优先考虑连接圆心和切点，利用切线性质得到直角；本题中CA、CB都是⊙O的切线，符合切线长定理的应用条件，因此连接OA、OB、OC，可得CA=CB、OC平分∠ACB且垂直AB，可将AB分为等长的两段。先在Rt△OAD中用勾股定理求出OD的长度，再通过三角函数求出∠AOD的度数，最后利用直角三角形两锐角互余得到∠ACO的度数，将其翻倍即可得到∠ACB的度数。
【解析】
连接OA、OB、OC，OC交AB于点D。
∵ CA、CB都是⊙O的切线，
∴ OA⊥CA，OB⊥CB，CA=CB，OC平分∠ACB，
∴ OC⊥AB。
∵ AB=6 cm，
∴ AD=BD=$\frac{1}{2}$AB = 3 cm。
在Rt△OAD中，OA=$2\sqrt{3}$ cm，AD=3 cm，
∴ OD = $\sqrt{OA^2 - AD^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}$ = $\sqrt{12 - 9}$ = $\sqrt{3}$ cm。
∵ $\tan∠ AOD = \frac{AD}{OD} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，
∴ $∠ AOD = 60°$。
在Rt△OAC中，$∠ OAC=90°$，
∴ $∠ ACO = 90° - ∠ AOD = 90° - 60° = 30°$，
∴ $∠ ACB = 2∠ ACO = 60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角函数结合的基础典型题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将圆的切线性质与直角三角形的边角关系结合求解，能很好地考察学生对基础定理的运用和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
8. 下面是小强在数学课上设计的“过圆外一点作圆的切线”的作法，请仔细阅读，并完成相应的问题.
已知: 如图(1), P 为$\odot O$外一点.
求作: 经过点 P 的切线.
小强的作法:
(1) 如图(2), 连接 OP, 作线段 OP 的垂直平分线 MN, 交 OP 于点 C;
(2) 以点 C 为圆心, CO 长为半径作圆, 交$\odot O$于 A, B 两点;
(3) 作直线 PA, PB.
直线 PA, PB 即为所求作的切线.
老师认为小强的作法正确,并提出了下列问题:
(1) 连接 OA, OB, 可证$∠ OAP = ∠ OBP = 90°$, 其依据是;
(2) 如图(3), 连接 AB, D 是 AB 上一点, 点 E, F 分别在 PB, PA 上, 且 $BD = AF$.
① 若$∠ EDF = ∠ PAB$, 试判断 AD 与 BE 的数量关系,并说明理由;
② 若四边形 DEPF 为菱形, 且 $PA = 6$, 则$\odot O$的半径为.
已知: 如图(1), P 为$\odot O$外一点.
求作: 经过点 P 的切线.
小强的作法:
(1) 如图(2), 连接 OP, 作线段 OP 的垂直平分线 MN, 交 OP 于点 C;
(2) 以点 C 为圆心, CO 长为半径作圆, 交$\odot O$于 A, B 两点;
(3) 作直线 PA, PB.
直线 PA, PB 即为所求作的切线.
老师认为小强的作法正确,并提出了下列问题:
(1) 连接 OA, OB, 可证$∠ OAP = ∠ OBP = 90°$, 其依据是;
(2) 如图(3), 连接 AB, D 是 AB 上一点, 点 E, F 分别在 PB, PA 上, 且 $BD = AF$.
① 若$∠ EDF = ∠ PAB$, 试判断 AD 与 BE 的数量关系,并说明理由;
② 若四边形 DEPF 为菱形, 且 $PA = 6$, 则$\odot O$的半径为.
答案
解：
(1) 直径所对的圆周角是直角
(2) ① $AD=BE$，理由如下：
∵ $PA,PB$ 是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，
∴ $∠ PAB = ∠ PBA$。
∵ $∠ EDF = ∠ PAB$，
又 $∠ PAB + ∠ AFD + ∠ ADF = 180°$，
$∠ EDF + ∠ ADF + ∠ BDE = 180°$，
∴ $∠ AFD = ∠ BDE$。
在$△ AFD$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}∠ AFD = ∠ BDE \\∠ FAD = ∠ DBE \\AF = BD\end{cases}$
∴ $△ AFD ≌ △ BDE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $AD = BE$。
② $2\sqrt{3}$
(1) 直径所对的圆周角是直角
(2) ① $AD=BE$，理由如下：
∵ $PA,PB$ 是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，
∴ $∠ PAB = ∠ PBA$。
∵ $∠ EDF = ∠ PAB$，
又 $∠ PAB + ∠ AFD + ∠ ADF = 180°$，
$∠ EDF + ∠ ADF + ∠ BDE = 180°$，
∴ $∠ AFD = ∠ BDE$。
在$△ AFD$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}∠ AFD = ∠ BDE \\∠ FAD = ∠ DBE \\AF = BD\end{cases}$
∴ $△ AFD ≌ △ BDE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $AD = BE$。
② $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要推导∠OAP=90°的依据：根据作图步骤可知C是OP中点，以C为圆心、CO为半径作圆时，OP是该圆的直径，点A在该圆上，结合圆周角定理的推论即可得出结论。
(2) ①判断AD与BE的数量关系：先根据切线长定理得PA=PB，推出∠PAB=∠PBA；再结合已知角的条件，通过平角的性质转化得到∠AFD=∠BDE，结合AF=BD的条件，证明两个三角形全等即可得到边的关系。
②求⊙O的半径：已知四边形DEPF为菱形、PA=6，先结合菱形性质和切线性质推出∠APB=60°，再利用直角三角形的边角关系即可求出半径长度。
【解析】
(1) 由作图可知，OP是以C为圆心的圆的直径，点A在该圆上，所以依据是直径所对的圆周角是直角。
(2) ① $AD=BE$，理由如下：
∵ $PA,PB$ 是$\odot O$的切线，根据切线长定理，
∴ $PA=PB$，
∴ $∠ PAB = ∠ PBA$。
∵ $∠ EDF = ∠ PAB$，
又 $∠ PAB + ∠ AFD + ∠ ADF = 180°$，
$∠ EDF + ∠ ADF + ∠ BDE = 180°$，
∴ $∠ AFD = ∠ BDE$。
在$△ AFD$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}∠ AFD = ∠ BDE \\∠ FAD = ∠ DBE \\AF = BD\end{cases}$
∴ $△ AFD ≌ △ BDE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $AD = BE$。
②
∵四边形DEPF是菱形，
∴PF=PE，∠APB=∠EDF，
又
∵PA=PB=6，∠EDF=∠PAB，
∴△PAB是等边三角形，∠APB=60°，
连接OP，根据切线性质可知OP平分∠APB，OA⊥PA，
∴∠APO=30°，设OA=r，则OP=2r，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：$r^2+6^2=(2r)^2$，
解得$r=2\sqrt{3}$（舍去负根），即⊙O半径为$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 直径所对的圆周角是直角
(2) ①$AD=BE$；②$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理推论、全等三角形判定与性质、切线的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何综合知识，既需要掌握圆的基础性质，也需要熟练运用全等三角形、特殊四边形的性质进行推理，能有效考查几何逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要推导∠OAP=90°的依据：根据作图步骤可知C是OP中点，以C为圆心、CO为半径作圆时，OP是该圆的直径，点A在该圆上，结合圆周角定理的推论即可得出结论。
(2) ①判断AD与BE的数量关系：先根据切线长定理得PA=PB，推出∠PAB=∠PBA；再结合已知角的条件，通过平角的性质转化得到∠AFD=∠BDE，结合AF=BD的条件，证明两个三角形全等即可得到边的关系。
②求⊙O的半径：已知四边形DEPF为菱形、PA=6，先结合菱形性质和切线性质推出∠APB=60°，再利用直角三角形的边角关系即可求出半径长度。
【解析】
(1) 由作图可知，OP是以C为圆心的圆的直径，点A在该圆上，所以依据是直径所对的圆周角是直角。
(2) ① $AD=BE$，理由如下：
∵ $PA,PB$ 是$\odot O$的切线，根据切线长定理，
∴ $PA=PB$，
∴ $∠ PAB = ∠ PBA$。
∵ $∠ EDF = ∠ PAB$，
又 $∠ PAB + ∠ AFD + ∠ ADF = 180°$，
$∠ EDF + ∠ ADF + ∠ BDE = 180°$，
∴ $∠ AFD = ∠ BDE$。
在$△ AFD$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}∠ AFD = ∠ BDE \\∠ FAD = ∠ DBE \\AF = BD\end{cases}$
∴ $△ AFD ≌ △ BDE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $AD = BE$。
②
∵四边形DEPF是菱形，
∴PF=PE，∠APB=∠EDF，
又
∵PA=PB=6，∠EDF=∠PAB，
∴△PAB是等边三角形，∠APB=60°，
连接OP，根据切线性质可知OP平分∠APB，OA⊥PA，
∴∠APO=30°，设OA=r，则OP=2r，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：$r^2+6^2=(2r)^2$，
解得$r=2\sqrt{3}$（舍去负根），即⊙O半径为$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 直径所对的圆周角是直角
(2) ①$AD=BE$；②$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理推论、全等三角形判定与性质、切线的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何综合知识，既需要掌握圆的基础性质，也需要熟练运用全等三角形、特殊四边形的性质进行推理，能有效考查几何逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
