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1. 菱形ABCD的周长为40，$∠ ABC=120°$，则其内切圆的半径为().
A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
B.$\frac{2}{3}\sqrt{2}$
C.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
D.$\frac{5}{2}\sqrt{3}$
A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
B.$\frac{2}{3}\sqrt{2}$
C.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
D.$\frac{5}{2}\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
首先根据菱形四边相等的性质，由周长求出边长；再结合已知的内角，构造直角三角形求出菱形一组对边之间的距离（即高）；最后利用内切圆的性质：菱形对边平行，内切圆与两组对边都相切，因此对边的距离等于内切圆的直径，即可推导出半径的数值。
【解析】
解：
∵ 菱形ABCD的周长为40，且菱形四条边长度相等，
∴ 菱形边长$AB=BC=40÷4=10$。
过点A作$AE⊥ BC$，交CB的延长线于点E，
∵ $∠ ABC=120°$，
∴ $∠ ABE=180°-120°=60°$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$AB=10$，
∴ $AE=AB·\sin∠ ABE=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，即BC与AD两条对边的距离为$5\sqrt{3}$。
∵ 菱形的内切圆与BC、AD均相切，圆心到两边的距离均等于半径$r$，
∴ 对边距离等于内切圆直径，即$2r=5\sqrt{3}$，
解得$r=\frac{5}{2}\sqrt{3}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；解直角三角形；内切圆的性质
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是明确菱形对边距离与内切圆直径的等量关系，同时考查了三角函数的基础应用，整体逻辑清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.7
首先根据菱形四边相等的性质，由周长求出边长；再结合已知的内角，构造直角三角形求出菱形一组对边之间的距离（即高）；最后利用内切圆的性质：菱形对边平行，内切圆与两组对边都相切，因此对边的距离等于内切圆的直径，即可推导出半径的数值。
【解析】
解：
∵ 菱形ABCD的周长为40，且菱形四条边长度相等，
∴ 菱形边长$AB=BC=40÷4=10$。
过点A作$AE⊥ BC$，交CB的延长线于点E，
∵ $∠ ABC=120°$，
∴ $∠ ABE=180°-120°=60°$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$AB=10$，
∴ $AE=AB·\sin∠ ABE=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，即BC与AD两条对边的距离为$5\sqrt{3}$。
∵ 菱形的内切圆与BC、AD均相切，圆心到两边的距离均等于半径$r$，
∴ 对边距离等于内切圆直径，即$2r=5\sqrt{3}$，
解得$r=\frac{5}{2}\sqrt{3}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；解直角三角形；内切圆的性质
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是明确菱形对边距离与内切圆直径的等量关系，同时考查了三角函数的基础应用，整体逻辑清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.7
2. 已知点$A(4,0)$，$B(0,3)$，如果$\odot A$的半径为1，$\odot B$的半径为6，则$\odot A$与$\odot B$的位置关系是().
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
答案
A
解析
【分析】
要判断两圆的位置关系，核心是对比圆心距与两圆半径和、半径差的大小关系。解题时第一步先求两个圆心A、B之间的距离，已知两点坐标，可通过两点间距离公式（或结合坐标系用勾股定理）计算出圆心距；第二步计算两圆的半径差与半径和，最后将圆心距和这两个值对照两圆位置关系的判定规则，即可得出结论。
【解析】
第一步：计算圆心距$AB$的长度
根据平面直角坐标系两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
代入$A(4,0)$、$B(0,3)$得：
$AB=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
第二步：对比圆心距与半径的数量关系
已知$\odot A$半径$r=1$，$\odot B$半径$R=6$，两圆半径差为$R-r=6-1=5$，可得圆心距$AB=R-r$。
根据两圆位置关系判定规则：当圆心距等于两圆半径之差时，两圆内切。
【答案】
A
【知识点】
两点间距离计算、圆与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于圆与圆位置关系的基础考查题，解题关键是准确计算圆心距，牢记不同位置关系对应的圆心距与半径和、差的数量关系，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要判断两圆的位置关系，核心是对比圆心距与两圆半径和、半径差的大小关系。解题时第一步先求两个圆心A、B之间的距离，已知两点坐标，可通过两点间距离公式（或结合坐标系用勾股定理）计算出圆心距；第二步计算两圆的半径差与半径和，最后将圆心距和这两个值对照两圆位置关系的判定规则，即可得出结论。
【解析】
第一步：计算圆心距$AB$的长度
根据平面直角坐标系两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
代入$A(4,0)$、$B(0,3)$得：
$AB=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
第二步：对比圆心距与半径的数量关系
已知$\odot A$半径$r=1$，$\odot B$半径$R=6$，两圆半径差为$R-r=6-1=5$，可得圆心距$AB=R-r$。
根据两圆位置关系判定规则：当圆心距等于两圆半径之差时，两圆内切。
【答案】
A
【知识点】
两点间距离计算、圆与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于圆与圆位置关系的基础考查题，解题关键是准确计算圆心距，牢记不同位置关系对应的圆心距与半径和、差的数量关系，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,O为边BC的中点,以点O为圆心作半圆O交BC于点M,N,半圆O与边AB,AC相切,切点分别为D,E,则半圆O的半径和∠MND的度数分别为().
A.$2,22.5°$
B.$3,30°$
C.$3,22.5°$
D.$2,30°$
A.$2,22.5°$
B.$3,30°$
C.$3,22.5°$
D.$2,30°$
答案
A
解析
【分析】
解题可分两步进行：①求半径：从切线的性质出发，连接切点与圆心得到垂直关系，结合等腰直角三角形的角度特征判断相关三角形的形状，结合AB的长度即可求出半径；②求角度：利用圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，先求出目标角对应的圆心角度数，即可快速得到圆周角的度数。
【解析】
连接OD、OE：
1. 求半圆O的半径
∵ 半圆O与AB、AC分别相切于点D、E，
∴ OD⊥AB，OE⊥AC，
又
∵ ∠A=90°，且OD=OE（均为半圆半径），
∴ 四边形ADOE是正方形，即OD=AD。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴ ∠B=45°，则△ODB也是等腰直角三角形，
∴ OD=BD，
∴ OD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
已知AB=4，因此OD=$\frac{1}{2}$×4=2，即半圆O的半径为2。
2. 求∠MND的度数
∵ 在等腰Rt△ODB中，∠B=45°，OD⊥AB，
∴ 圆心角∠BOD=90°-45°=45°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠MND是弧MD所对的圆周角，∠BOD是弧MD所对的圆心角，
∴ ∠MND=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合切线性质、特殊三角形的特征和圆周角定理逐步推导即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题可分两步进行：①求半径：从切线的性质出发，连接切点与圆心得到垂直关系，结合等腰直角三角形的角度特征判断相关三角形的形状，结合AB的长度即可求出半径；②求角度：利用圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，先求出目标角对应的圆心角度数，即可快速得到圆周角的度数。
【解析】
连接OD、OE：
1. 求半圆O的半径
∵ 半圆O与AB、AC分别相切于点D、E，
∴ OD⊥AB，OE⊥AC，
又
∵ ∠A=90°，且OD=OE（均为半圆半径），
∴ 四边形ADOE是正方形，即OD=AD。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴ ∠B=45°，则△ODB也是等腰直角三角形，
∴ OD=BD，
∴ OD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
已知AB=4，因此OD=$\frac{1}{2}$×4=2，即半圆O的半径为2。
2. 求∠MND的度数
∵ 在等腰Rt△ODB中，∠B=45°，OD⊥AB，
∴ 圆心角∠BOD=90°-45°=45°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠MND是弧MD所对的圆周角，∠BOD是弧MD所对的圆心角，
∴ ∠MND=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合切线性质、特殊三角形的特征和圆周角定理逐步推导即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 已知等腰直角三角形的内切圆半径为1，那么该三角形外接圆的半径长为。
4. 已知等腰直角三角形的内切圆半径为1，那么该三角形外接圆的半径长为。
答案
$\boldsymbol{\sqrt{2}+1}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：① 先根据等腰直角三角形的特征结合内切圆半径公式，求出直角边的长度，再得到斜边长度；② 利用直角三角形外接圆直径等于斜边长的性质，计算出外接圆半径。思考时先回忆内切圆半径和边长的关系，以及直角三角形外接圆的特殊性质，即可顺理成章完成计算。
【解析】
设该等腰直角三角形的直角边长为$a$，则斜边长为$\sqrt{2}a$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（其中$a、b$为直角边，$c$为斜边，$r$为内切圆半径），已知$r=1$，代入得：
$1=\frac{a+a-\sqrt{2}a}{2}$
化简得：$2=a(2-\sqrt{2})$，分母有理化求解得$a=\frac{2}{2-\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$。
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边长，所以斜边长$c=\sqrt{2}a=\sqrt{2}(2+\sqrt{2})=2\sqrt{2}+2$，
则外接圆半径$R=\frac{c}{2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
1. 三角形内切圆半径公式
2. 等腰直角三角形性质
3. 直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆、外接圆性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握特殊三角形的边的关系以及内切、外接圆和边长的对应公式，计算时注意分母有理化的正确性即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：① 先根据等腰直角三角形的特征结合内切圆半径公式，求出直角边的长度，再得到斜边长度；② 利用直角三角形外接圆直径等于斜边长的性质，计算出外接圆半径。思考时先回忆内切圆半径和边长的关系，以及直角三角形外接圆的特殊性质，即可顺理成章完成计算。
【解析】
设该等腰直角三角形的直角边长为$a$，则斜边长为$\sqrt{2}a$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（其中$a、b$为直角边，$c$为斜边，$r$为内切圆半径），已知$r=1$，代入得：
$1=\frac{a+a-\sqrt{2}a}{2}$
化简得：$2=a(2-\sqrt{2})$，分母有理化求解得$a=\frac{2}{2-\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$。
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边长，所以斜边长$c=\sqrt{2}a=\sqrt{2}(2+\sqrt{2})=2\sqrt{2}+2$，
则外接圆半径$R=\frac{c}{2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
1. 三角形内切圆半径公式
2. 等腰直角三角形性质
3. 直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆、外接圆性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握特殊三角形的边的关系以及内切、外接圆和边长的对应公式，计算时注意分母有理化的正确性即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与边AC，BC分别交于点E，F，则EF AE+BF.(填“＞”“＜”或“=”) 
答案
=
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此连接OA、OB后，OA、OB分别是∠CAB和∠CBA的角平分线。再结合EF//AB的条件，利用“两直线平行，内错角相等”可得到相等的角，进而判定出等腰三角形，将线段AE、BF分别转化为EO、FO，即可得到EF和AE+BF的大小关系。
【解析】
连接OA、OB。
∵ 点O是△ABC的内心，
∴ OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴ ∠OAE=∠OAB，∠OBF=∠OBA。
∵ EF//AB，
∴ ∠EOA=∠OAB，∠FOB=∠OBA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠OAE=∠EOA，∠OBF=∠FOB，
∴ EO=AE，FO=BF（等角对等边）。
又
∵ EF=EO+FO，
∴ EF=AE+BF。
【答案】
=
【知识点】
三角形内心的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，完成线段的等量代换，这类题型是三角形内切圆相关考点中的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此连接OA、OB后，OA、OB分别是∠CAB和∠CBA的角平分线。再结合EF//AB的条件，利用“两直线平行，内错角相等”可得到相等的角，进而判定出等腰三角形，将线段AE、BF分别转化为EO、FO，即可得到EF和AE+BF的大小关系。
【解析】
连接OA、OB。
∵ 点O是△ABC的内心，
∴ OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴ ∠OAE=∠OAB，∠OBF=∠OBA。
∵ EF//AB，
∴ ∠EOA=∠OAB，∠FOB=∠OBA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠OAE=∠EOA，∠OBF=∠FOB，
∴ EO=AE，FO=BF（等角对等边）。
又
∵ EF=EO+FO，
∴ EF=AE+BF。
【答案】
=
【知识点】
三角形内心的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，完成线段的等量代换，这类题型是三角形内切圆相关考点中的常见题型。
【难度系数】
0.7
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1$，分别以点$A$，$B$为圆心的两圆外切，如果点$C$在$\odot A$内，那么$\odot B$的半径长$r$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1$，
$\therefore AB=2BC=2$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\because \odot A$与$\odot B$外切，$\odot B$的半径为$r$，
$\therefore \odot A$的半径$R_A=AB-r=2-r$。
$\because$ 点$C$在$\odot A$内，
$\therefore AC ＜ R_A$，即$\sqrt{3} ＜ 2-r$，
解得$r ＜ 2-\sqrt{3}$。
又$\because$ 圆的半径为正数，即$r＞0$，
$\therefore \odot B$的半径长$r$的取值范围是$0 ＜ r ＜ 2-\sqrt{3}$。
$\underline{0 ＜ r ＜ 2-\sqrt{3}}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1$，
$\therefore AB=2BC=2$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\because \odot A$与$\odot B$外切，$\odot B$的半径为$r$，
$\therefore \odot A$的半径$R_A=AB-r=2-r$。
$\because$ 点$C$在$\odot A$内，
$\therefore AC ＜ R_A$，即$\sqrt{3} ＜ 2-r$，
解得$r ＜ 2-\sqrt{3}$。
又$\because$ 圆的半径为正数，即$r＞0$，
$\therefore \odot B$的半径长$r$的取值范围是$0 ＜ r ＜ 2-\sqrt{3}$。
$\underline{0 ＜ r ＜ 2-\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要解决这道题可按三步推导：第一步先利用直角三角形30°角的性质和勾股定理，算出Rt△ABC的各边长度；第二步根据两圆外切时圆心距等于半径之和，建立⊙A半径和⊙B半径r的数量关系；第三步结合“点在圆内时，点到圆心的距离小于圆半径”列不等式，同时注意圆半径为正的隐含条件，最后解不等式得到r的取值范围。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1$，
$\therefore AB=2BC=2$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\because \odot A$与$\odot B$外切，$\odot B$的半径为$r$，
$\therefore \odot A$的半径$R_A=AB-r=2-r$。
$\because$ 点$C$在$\odot A$内，
$\therefore AC ＜ R_A$，即$\sqrt{3} ＜ 2-r$，
解得$r ＜ 2-\sqrt{3}$。
又$\because$ 圆的半径为正数，即$r＞0$，
$\therefore \odot B$的半径长$r$的取值范围是$0 ＜ r ＜ 2-\sqrt{3}$。
【答案】
$0 ＜ r ＜ 2-\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质、两圆外切的性质、点与圆的位置关系
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题关键是熟练掌握直角三角形的边角计算、圆与圆及点与圆的位置关系判定，解题时注意不要遗漏半径为正的隐含条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题可按三步推导：第一步先利用直角三角形30°角的性质和勾股定理，算出Rt△ABC的各边长度；第二步根据两圆外切时圆心距等于半径之和，建立⊙A半径和⊙B半径r的数量关系；第三步结合“点在圆内时，点到圆心的距离小于圆半径”列不等式，同时注意圆半径为正的隐含条件，最后解不等式得到r的取值范围。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1$，
$\therefore AB=2BC=2$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\because \odot A$与$\odot B$外切，$\odot B$的半径为$r$，
$\therefore \odot A$的半径$R_A=AB-r=2-r$。
$\because$ 点$C$在$\odot A$内，
$\therefore AC ＜ R_A$，即$\sqrt{3} ＜ 2-r$，
解得$r ＜ 2-\sqrt{3}$。
又$\because$ 圆的半径为正数，即$r＞0$，
$\therefore \odot B$的半径长$r$的取值范围是$0 ＜ r ＜ 2-\sqrt{3}$。
【答案】
$0 ＜ r ＜ 2-\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质、两圆外切的性质、点与圆的位置关系
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题关键是熟练掌握直角三角形的边角计算、圆与圆及点与圆的位置关系判定，解题时注意不要遗漏半径为正的隐含条件。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，它的内切圆的半径为3 cm，外接圆的半径为12.5 cm，求$△ ABC$的三边长.
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，它的内切圆的半径为3 cm，外接圆的半径为12.5 cm，求$△ ABC$的三边长.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长，外接圆半径为$12.5\ \mathrm{cm}$，
∴ 斜边$AB = 2×12.5 = 25\ \mathrm{cm}$。
设直角边$BC=a$，$AC=b$，由直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$c$为斜边），已知内切圆半径$r=3\ \mathrm{cm}$，
代入得：$3=\frac{a+b-25}{2}$，
整理得：$a + b = 31$。
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = AB^2 = 25^2 = 625$。
将$a + b = 31$两边平方，得：
$(a + b)^2 = 31^2$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 961$，
把$a^2 + b^2 = 625$代入上式，得：
$625 + 2ab = 961$，解得$ab = 168$。
联立$\begin{cases}a + b = 31 \\ ab = 168\end{cases}$，
可知$a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 31x + 168 = 0$的两个实数根，
解该方程：
$\Delta = 31^2 - 4×1×168 = 289 = 17^2$，
$x = \frac{31\pm17}{2}$，
解得$x_1=24$，$x_2=7$。
答：$△ ABC$的三边长分别为$7\ \mathrm{cm}$、$24\ \mathrm{cm}$、$25\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长，外接圆半径为$12.5\ \mathrm{cm}$，
∴ 斜边$AB = 2×12.5 = 25\ \mathrm{cm}$。
设直角边$BC=a$，$AC=b$，由直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$c$为斜边），已知内切圆半径$r=3\ \mathrm{cm}$，
代入得：$3=\frac{a+b-25}{2}$，
整理得：$a + b = 31$。
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = AB^2 = 25^2 = 625$。
将$a + b = 31$两边平方，得：
$(a + b)^2 = 31^2$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 961$，
把$a^2 + b^2 = 625$代入上式，得：
$625 + 2ab = 961$，解得$ab = 168$。
联立$\begin{cases}a + b = 31 \\ ab = 168\end{cases}$，
可知$a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 31x + 168 = 0$的两个实数根，
解该方程：
$\Delta = 31^2 - 4×1×168 = 289 = 17^2$，
$x = \frac{31\pm17}{2}$，
解得$x_1=24$，$x_2=7$。
答：$△ ABC$的三边长分别为$7\ \mathrm{cm}$、$24\ \mathrm{cm}$、$25\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
这是直角三角形与内、外接圆结合求边长的问题，可按三步思考求解：第一步，利用直角三角形外接圆的特殊性质（外接圆直径等于斜边长），由已知外接圆半径先算出斜边长度；第二步，用直角三角形内切圆半径公式，结合已得斜边长度和已知内切圆半径，求出两条直角边的和；第三步，结合勾股定理，通过完全平方公式变形求出两条直角边的乘积，再联立两直角边的和构造一元二次方程，求解即可得到两条直角边的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长，外接圆半径为$12.5\ \mathrm{cm}$，
∴ 斜边$AB = 2×12.5 = 25\ \mathrm{cm}$。
设直角边$BC=a$，$AC=b$，由直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$c$为斜边），已知内切圆半径$r=3\ \mathrm{cm}$，
代入得：$3=\frac{a+b-25}{2}$，
整理得：$a + b = 31$。
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = AB^2 = 25^2 = 625$。
将$a + b = 31$两边平方，得：
$(a + b)^2 = 31^2$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 961$，
把$a^2 + b^2 = 625$代入上式，得：
$625 + 2ab = 961$，解得$ab = 168$。
联立$\begin{cases}a + b = 31 \\ ab = 168\end{cases}$，
可知$a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 31x + 168 = 0$的两个实数根，
解该方程：
$\Delta = 31^2 - 4×1×168 = 289 = 17^2$，
$x = \frac{31\pm17}{2}$，
解得$x_1=24$，$x_2=7$。
【答案】
$△ ABC$的三边长分别为$7\ \mathrm{cm}$、$24\ \mathrm{cm}$、$25\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形外接圆性质；直角三角形内切圆半径公式；勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形与圆相关的性质，结合方程思想求解边长，解题的关键是熟练掌握直角三角形内、外接圆的特殊性质，灵活运用完全平方公式和勾股定理联立未知量关系求解。
【难度系数】
0.65
这是直角三角形与内、外接圆结合求边长的问题，可按三步思考求解：第一步，利用直角三角形外接圆的特殊性质（外接圆直径等于斜边长），由已知外接圆半径先算出斜边长度；第二步，用直角三角形内切圆半径公式，结合已得斜边长度和已知内切圆半径，求出两条直角边的和；第三步，结合勾股定理，通过完全平方公式变形求出两条直角边的乘积，再联立两直角边的和构造一元二次方程，求解即可得到两条直角边的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长，外接圆半径为$12.5\ \mathrm{cm}$，
∴ 斜边$AB = 2×12.5 = 25\ \mathrm{cm}$。
设直角边$BC=a$，$AC=b$，由直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$c$为斜边），已知内切圆半径$r=3\ \mathrm{cm}$，
代入得：$3=\frac{a+b-25}{2}$，
整理得：$a + b = 31$。
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = AB^2 = 25^2 = 625$。
将$a + b = 31$两边平方，得：
$(a + b)^2 = 31^2$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 961$，
把$a^2 + b^2 = 625$代入上式，得：
$625 + 2ab = 961$，解得$ab = 168$。
联立$\begin{cases}a + b = 31 \\ ab = 168\end{cases}$，
可知$a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 31x + 168 = 0$的两个实数根，
解该方程：
$\Delta = 31^2 - 4×1×168 = 289 = 17^2$，
$x = \frac{31\pm17}{2}$，
解得$x_1=24$，$x_2=7$。
【答案】
$△ ABC$的三边长分别为$7\ \mathrm{cm}$、$24\ \mathrm{cm}$、$25\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形外接圆性质；直角三角形内切圆半径公式；勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形与圆相关的性质，结合方程思想求解边长，解题的关键是熟练掌握直角三角形内、外接圆的特殊性质，灵活运用完全平方公式和勾股定理联立未知量关系求解。
【难度系数】
0.65
