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8. 如图，$\odot O_1$与$\odot O_2$相交于$A$，$B$两点，$O_1A=3\sqrt{5}$，$O_2A=5$，$\cos∠ AO_1O_2=\dfrac{2}{5}\sqrt{5}$，求$\sin∠ BAO_2$的值.
答案
解：
过点A作$AC ⊥ O_1O_2$于点C。
在$\mathrm{Rt}△ AO_1C$中，
$\because O_1A=3\sqrt{5}$，$\cos∠ AO_1O_2=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore O_1C = O_1A · \cos∠ AO_1O_2 = 3\sqrt{5} × \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = 6$，
$AC = \sqrt{O_1A^2 - O_1C^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45-36} = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO_2$中，
$\because O_2A=5$，$AC=3$，
$\therefore O_2C = \sqrt{O_2A^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = 4$。
$\because \odot O_1$与$\odot O_2$相交于$A,B$两点，
$\therefore$ 连心线$O_1O_2$垂直平分公共弦$AB$，即$AB ⊥ O_1O_2$，
$\therefore$ 垂足$C$在$AB$上，$∠ ACO_2=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO_2$中，$∠ BAO_2 = ∠ CAO_2$，
$\therefore \sin∠ BAO_2 = \dfrac{O_2C}{O_2A} = \dfrac{4}{5}$。
$\therefore \sin∠ BAO_2$的值为$\dfrac{4}{5}$。
过点A作$AC ⊥ O_1O_2$于点C。
在$\mathrm{Rt}△ AO_1C$中，
$\because O_1A=3\sqrt{5}$，$\cos∠ AO_1O_2=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore O_1C = O_1A · \cos∠ AO_1O_2 = 3\sqrt{5} × \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = 6$，
$AC = \sqrt{O_1A^2 - O_1C^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45-36} = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO_2$中，
$\because O_2A=5$，$AC=3$，
$\therefore O_2C = \sqrt{O_2A^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = 4$。
$\because \odot O_1$与$\odot O_2$相交于$A,B$两点，
$\therefore$ 连心线$O_1O_2$垂直平分公共弦$AB$，即$AB ⊥ O_1O_2$，
$\therefore$ 垂足$C$在$AB$上，$∠ ACO_2=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO_2$中，$∠ BAO_2 = ∠ CAO_2$，
$\therefore \sin∠ BAO_2 = \dfrac{O_2C}{O_2A} = \dfrac{4}{5}$。
$\therefore \sin∠ BAO_2$的值为$\dfrac{4}{5}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆相交两圆的性质：两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。要求$\sin∠BAO_2$的值，需将该角放在直角三角形中计算，因此先过点A作$AC ⊥ O_1O_2$于点C，结合相交两圆的性质可知C在AB上，故$∠BAO_2$与$∠CAO_2$为同一个角。第一步先在$\mathrm{Rt}△ AO_1C$中，利用已知的$O_1A$长度和$\cos∠AO_1O_2$的值，求出$O_1C$和$AC$的长度；第二步在$\mathrm{Rt}△ AO_2C$中，利用$O_2A$和$AC$的长度求出$O_2C$的长度；最后根据正弦函数的定义，在$\mathrm{Rt}△ACO_2$中直接求出$∠CAO_2$（即$∠BAO_2$）的正弦值即可。
【解析】
过点A作$AC ⊥ O_1O_2$于点C。
在$\mathrm{Rt}△ AO_1C$中，
$\because O_1A=3\sqrt{5}$，$\cos∠ AO_1O_2=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore O_1C = O_1A · \cos∠ AO_1O_2 = 3\sqrt{5} × \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = 6$，
$AC = \sqrt{O_1A^2 - O_1C^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45-36} = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO_2$中，
$\because O_2A=5$，$AC=3$，
$\therefore O_2C = \sqrt{O_2A^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = 4$。
$\because \odot O_1$与$\odot O_2$相交于$A,B$两点，
$\therefore$ 连心线$O_1O_2$垂直平分公共弦$AB$，即$AB ⊥ O_1O_2$，
$\therefore$ 垂足$C$在$AB$上，$∠BAO_2 = ∠CAO_2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO_2$中，根据正弦函数的定义：
$\sin∠ BAO_2 = \sin∠CAO_2 = \dfrac{O_2C}{O_2A} = \dfrac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
相交两圆的性质；解直角三角形；三角函数定义
【点评】
本题是圆与三角函数的综合题，解题的突破口是熟练运用相交两圆的连心线垂直公共弦的性质，将所求角转化到直角三角形中，再结合勾股定理和三角函数的定义计算即可，解题时要注意图形中隐含的垂直关系的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆相交两圆的性质：两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。要求$\sin∠BAO_2$的值，需将该角放在直角三角形中计算，因此先过点A作$AC ⊥ O_1O_2$于点C，结合相交两圆的性质可知C在AB上，故$∠BAO_2$与$∠CAO_2$为同一个角。第一步先在$\mathrm{Rt}△ AO_1C$中，利用已知的$O_1A$长度和$\cos∠AO_1O_2$的值，求出$O_1C$和$AC$的长度；第二步在$\mathrm{Rt}△ AO_2C$中，利用$O_2A$和$AC$的长度求出$O_2C$的长度；最后根据正弦函数的定义，在$\mathrm{Rt}△ACO_2$中直接求出$∠CAO_2$（即$∠BAO_2$）的正弦值即可。
【解析】
过点A作$AC ⊥ O_1O_2$于点C。
在$\mathrm{Rt}△ AO_1C$中，
$\because O_1A=3\sqrt{5}$，$\cos∠ AO_1O_2=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore O_1C = O_1A · \cos∠ AO_1O_2 = 3\sqrt{5} × \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = 6$，
$AC = \sqrt{O_1A^2 - O_1C^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45-36} = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO_2$中，
$\because O_2A=5$，$AC=3$，
$\therefore O_2C = \sqrt{O_2A^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = 4$。
$\because \odot O_1$与$\odot O_2$相交于$A,B$两点，
$\therefore$ 连心线$O_1O_2$垂直平分公共弦$AB$，即$AB ⊥ O_1O_2$，
$\therefore$ 垂足$C$在$AB$上，$∠BAO_2 = ∠CAO_2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO_2$中，根据正弦函数的定义：
$\sin∠ BAO_2 = \sin∠CAO_2 = \dfrac{O_2C}{O_2A} = \dfrac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
相交两圆的性质；解直角三角形；三角函数定义
【点评】
本题是圆与三角函数的综合题，解题的突破口是熟练运用相交两圆的连心线垂直公共弦的性质，将所求角转化到直角三角形中，再结合勾股定理和三角函数的定义计算即可，解题时要注意图形中隐含的垂直关系的应用。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$\odot O_1$与$\odot O_2$外切于点P，过点P的直线交两圆于A，B两点，且$\frac{PA}{PB}=\frac{13}{5}$，圆心距$O_1O_2=36$，求两圆的半径长。
答案
解：连接$O_1A$、$O_2B$。
∵ $\odot O_1$与$\odot O_2$外切于点$P$，
∴ 圆心距$O_1O_2$经过切点$P$，即$O_1$、$P$、$O_2$三点共线，
设$\odot O_1$的半径为$R$，$\odot O_2$的半径为$r$，则$O_1O_2 = R + r = 36$。
∵ $O_1A = O_1P$，$O_2B = O_2P$，
∴ $∠ A = ∠ O_1PA$，$∠ B = ∠ O_2PB$，
又∵ $∠ O_1PA = ∠ O_2PB$，
∴ $∠ A = ∠ B$，
∴ $O_1A // O_2B$，
∴ $△ O_1AP ∽ △ O_2BP$，
∴ $\frac{PA}{PB} = \frac{O_1A}{O_2B} = \frac{R}{r} = \frac{13}{5}$。
设$R=13k$，$r=5k$，代入$R + r = 36$得：
$13k + 5k = 36$，
解得$k=2$，
∴ $R=13×2=26$，$r=5×2=10$。
答：$\odot O_1$的半径为26，$\odot O_2$的半径为10。
∵ $\odot O_1$与$\odot O_2$外切于点$P$，
∴ 圆心距$O_1O_2$经过切点$P$，即$O_1$、$P$、$O_2$三点共线，
设$\odot O_1$的半径为$R$，$\odot O_2$的半径为$r$，则$O_1O_2 = R + r = 36$。
∵ $O_1A = O_1P$，$O_2B = O_2P$，
∴ $∠ A = ∠ O_1PA$，$∠ B = ∠ O_2PB$，
又∵ $∠ O_1PA = ∠ O_2PB$，
∴ $∠ A = ∠ B$，
∴ $O_1A // O_2B$，
∴ $△ O_1AP ∽ △ O_2BP$，
∴ $\frac{PA}{PB} = \frac{O_1A}{O_2B} = \frac{R}{r} = \frac{13}{5}$。
设$R=13k$，$r=5k$，代入$R + r = 36$得：
$13k + 5k = 36$，
解得$k=2$，
∴ $R=13×2=26$，$r=5×2=10$。
答：$\odot O_1$的半径为26，$\odot O_2$的半径为10。
解析
【分析】
解题时首先从两圆外切的性质入手：两圆外切时，连心线经过切点，且圆心距等于两圆半径之和，由此可得两半径之和为36。接下来要将已知的PA与PB的比值和两圆半径建立联系，考虑构造包含PA、PB和两圆半径的三角形，因此连接$O_1A$、$O_2B$；结合等腰三角形等边对等角的性质和对顶角相等，可推出$∠A=∠B$，进而得到$O_1A// O_2B$，证明$△O_1AP∽△O_2BP$，可得半径比等于$PA:PB=13:5$。最后联立两半径的和与比例关系，即可求出两圆半径。
【解析】
解：连接$O_1A$、$O_2B$。
∵ $\odot O_1$与$\odot O_2$外切于点$P$，
∴ 圆心距$O_1O_2$经过切点$P$，即$O_1$、$P$、$O_2$三点共线，
设$\odot O_1$的半径为$R$，$\odot O_2$的半径为$r$，则$O_1O_2 = R + r = 36$。
∵ $O_1A = O_1P$，$O_2B = O_2P$，
∴ $∠ A = ∠ O_1PA$，$∠ B = ∠ O_2PB$，
又
∵ $∠ O_1PA = ∠ O_2PB$（对顶角相等），
∴ $∠ A = ∠ B$，
∴ $O_1A // O_2B$（内错角相等，两直线平行），
∴ $△ O_1AP ∽ △ O_2BP$，
∴ $\frac{PA}{PB} = \frac{O_1A}{O_2B} = \frac{R}{r} = \frac{13}{5}$。
设$R=13k$，$r=5k$（$k≠0$），代入$R + r = 36$得：
$13k + 5k = 36$，
解得$k=2$，
∴ $R=13×2=26$，$r=5×2=10$。
【答案】
$\odot O_1$的半径为26，$\odot O_2$的半径为10。
【知识点】
1. 两圆外切的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的基础综合题，解题的核心是利用两圆外切连心线过切点的性质，构造相似三角形将线段比例转化为半径比例，再结合圆心距的条件列方程求解，能有效锻炼学生综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从两圆外切的性质入手：两圆外切时，连心线经过切点，且圆心距等于两圆半径之和，由此可得两半径之和为36。接下来要将已知的PA与PB的比值和两圆半径建立联系，考虑构造包含PA、PB和两圆半径的三角形，因此连接$O_1A$、$O_2B$；结合等腰三角形等边对等角的性质和对顶角相等，可推出$∠A=∠B$，进而得到$O_1A// O_2B$，证明$△O_1AP∽△O_2BP$，可得半径比等于$PA:PB=13:5$。最后联立两半径的和与比例关系，即可求出两圆半径。
【解析】
解：连接$O_1A$、$O_2B$。
∵ $\odot O_1$与$\odot O_2$外切于点$P$，
∴ 圆心距$O_1O_2$经过切点$P$，即$O_1$、$P$、$O_2$三点共线，
设$\odot O_1$的半径为$R$，$\odot O_2$的半径为$r$，则$O_1O_2 = R + r = 36$。
∵ $O_1A = O_1P$，$O_2B = O_2P$，
∴ $∠ A = ∠ O_1PA$，$∠ B = ∠ O_2PB$，
又
∵ $∠ O_1PA = ∠ O_2PB$（对顶角相等），
∴ $∠ A = ∠ B$，
∴ $O_1A // O_2B$（内错角相等，两直线平行），
∴ $△ O_1AP ∽ △ O_2BP$，
∴ $\frac{PA}{PB} = \frac{O_1A}{O_2B} = \frac{R}{r} = \frac{13}{5}$。
设$R=13k$，$r=5k$（$k≠0$），代入$R + r = 36$得：
$13k + 5k = 36$，
解得$k=2$，
∴ $R=13×2=26$，$r=5×2=10$。
【答案】
$\odot O_1$的半径为26，$\odot O_2$的半径为10。
【知识点】
1. 两圆外切的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的基础综合题，解题的核心是利用两圆外切连心线过切点的性质，构造相似三角形将线段比例转化为半径比例，再结合圆心距的条件列方程求解，能有效锻炼学生综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
