1. 已知$\odot O$，$\odot O_1$的半径分别是3 cm，4 cm，且$OO_1=5$ cm，那么$\odot O$，$\odot O_1$的位置关系是()。

A.相离
B.外切
C.相交
D.内切

C

【分析】
要判断两圆的位置关系，核心是对比圆心距与两圆半径的和、差的大小关系。解题步骤如下：第一步先明确两圆的半径大小（设R为大圆半径，r为小圆半径），第二步计算两半径之和R+r与两半径之差R-r，第三步将圆心距d与R+r、R-r比较，根据对应规则判断位置关系。
【解析】
解：设⊙O的半径r=3cm，⊙O₁的半径R=4cm，两圆的圆心距d=OO₁=5cm。
计算得：两半径之和R+r=4+3=7cm，两半径之差R-r=4-3=1cm。
对比大小可得：1cm ＜ 5cm ＜ 7cm，即R-r ＜ d ＜ R+r。
根据两圆位置关系的判定规则，当R-r ＜ d ＜ R+r时，两圆相交。因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 两圆位置关系的判定
【点评】
本题属于基础考点题型，重点考查对两圆位置关系判定规则的记忆与应用，熟练掌握不同位置关系对应的圆心距与两半径的数量关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2. 已知$△ ABC$的内切圆$O$与各边相切于点$D$，$E$，$F$，那么$O$是$△ DEF$的().

A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点

D

【分析】
解题时先回忆三角形内切圆的相关性质，再结合三角形各特殊点的定义判断：首先，内切圆的圆心O是△ABC的内心，它到△ABC各边的距离相等，即到切点D、E、F的距离都是内切圆的半径，因此OD=OE=OF。再思考三角形各“心”的特征：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，据此即可得出结论。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点
∴OD、OE、OF都是⊙O的半径，即OD=OE=OF
∴点O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等
根据三角形外心的定义：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，可知O是△DEF三条边的垂直平分线的交点。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形外心定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握内切圆圆心的性质以及三角形外心的特征，理清两个三角形顶点和圆心的关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8

3. 已知$\odot A,\odot B$的半径分别是5 cm，3 cm，若$\odot A,\odot B$相切，那么$AB=$().

A.2 cm
B.8 cm
C.2 cm或8 cm
D.无法确定

C

【分析】
解决本题首先要明确两圆相切的分类，两圆相切包含外切和内切两种情况，很多同学容易只考虑其中一种导致漏解。接下来分别对应两种相切的圆心距计算公式：外切时圆心距等于两圆半径之和，内切时圆心距等于两圆半径之差，分别代入已知的半径数值计算，再汇总结果即可。
【解析】
两圆相切分为外切和内切两种情况：
① 当$\odot A$与$\odot B$外切时，圆心距$AB = R + r = 5 + 3 = 8\ \mathrm{cm}$；
② 当$\odot A$与$\odot B$内切时，圆心距$AB = R - r = 5 - 3 = 2\ \mathrm{cm}$。
综上，$AB$的长度为2 cm或8 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
两圆相切的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相切包含内切和外切两种情况，只计算其中一种结果导致错选，遇到没有明确说明相切类型的题目时，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4. 面积为30 $\mathrm{cm}^2$、周长为30 $\mathrm{cm}$的三角形内切圆的半径长是 $\mathrm{cm}$.

$\boldsymbol{2}$

【分析】
要求三角形内切圆的半径，可结合三角形内切圆的性质推导面积公式求解：三角形内切圆的圆心到三边的距离均等于半径r，可将原三角形分割为3个分别以原三角形三边为底、r为高的小三角形，三个小三角形面积之和等于原三角形面积，由此可得公式$ S=\frac{1}{2}× C× r $（其中$ S $为三角形面积，$ C $为三角形周长，$ r $为内切圆半径）。已知$ S $和$ C $，代入公式即可求出$ r $。
【解析】
设该三角形内切圆半径为$ r\ \mathrm{cm} $，三边长分别为$ a\ \mathrm{cm}、b\ \mathrm{cm}、c\ \mathrm{cm} $。
由题意得：三角形周长$ a+b+c=30\ \mathrm{cm} $，面积$ S=30\ \mathrm{cm}^2 $。
根据三角形面积与内切圆半径的关系：
$ S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}(a+b+c)r $
代入已知数值：
$ 30=\frac{1}{2}×30× r $
解得：$ r=2 $
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形面积和内切圆半径、周长的数量关系，牢记对应公式代入数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8

两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=

$\boldsymbol{2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}}$

【分析】
遇到同心圆中大圆弦与小圆相切的问题，首先可连接圆心和切点，利用切线的性质得到连线与弦垂直；再结合垂径定理可知该连线平分弦，随后连接圆心与弦的一个端点，即可构造出由小圆半径、弦长的一半、大圆半径组成的直角三角形，最后利用勾股定理求出弦长的一半，乘2即可得到弦BC的长度。
【解析】
设两圆圆心为O，弦BC与小圆相切于点A，连接OA、OB。
∵BC是小圆的切线，A为切点，
∴OA⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径）。
由垂径定理可得：$AB=AC=\frac{1}{2}BC$。
在$Rt△ OAB$中，$OB=4\ \mathrm{cm}$（大圆半径），$OA=3\ \mathrm{cm}$（小圆半径），根据勾股定理：
$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$，
因此$BC=2AB=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆相关性质的基础常考题，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将圆的性质与勾股定理结合求解，难度较低。
【难度系数】
0.7

6. 如图，$\odot A$，$\odot B$ 的半径分别是1 cm，2 cm，圆心距AB为5 cm. 将$\odot A$沿直线AB向右平移，当$\odot A$与$\odot B$内切时，$\odot A$平移的距离是 cm.

解：
已知$\odot A$的半径$r_A=1\ \mathrm{cm}$，$\odot B$的半径$r_B=2\ \mathrm{cm}$，
两圆内切时，圆心距满足$d = r_B - r_A = 2-1=1\ \mathrm{cm}$。
分两种情况计算平移距离：
1. 平移后点$A$在点$B$左侧时，平移距离为$5 - 1 = 4\ \mathrm{cm}$；
2. 平移后点$A$在点$B$右侧时，平移距离为$5 + 1 = 6\ \mathrm{cm}$。
综上，$\odot A$平移的距离是$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{6}$ cm。

【分析】
解题首先回忆两圆内切的性质：两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差。先根据已知半径算出两圆内切时的圆心距，再考虑⊙A向右平移的两种内切情况：一是⊙A在⊙B左侧时内切，二是⊙A移动到⊙B右侧时内切，分别计算两种情况的平移距离即可，注意不要漏解。
【解析】
已知$\odot A$的半径$r_A=1\ \mathrm{cm}$，$\odot B$的半径$r_B=2\ \mathrm{cm}$，
根据两圆内切的性质，内切时圆心距$d = r_B - r_A = 2-1=1\ \mathrm{cm}$。
分两种情况计算平移距离：
1. 平移后点$A$在点$B$左侧时，初始圆心距$AB$为5cm，此时圆心距为1cm，因此$\odot A$平移的距离为$5 - 1 = 4\ \mathrm{cm}$；
2. 平移后点$A$在点$B$右侧时，$\odot A$先移动5cm到达点B位置，再向右移动1cm满足圆心距为1cm，因此平移距离为$5 + 1 = 6\ \mathrm{cm}$。
综上，$\odot A$平移的距离是4或6cm。
【答案】
4或6
【知识点】
两圆内切的性质，平移的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查两圆内切时圆心距和半径的数量关系，解题的关键是要考虑到两圆内切的两种位置情况，避免遗漏其中一种导致答案不全。
【难度系数】
0.6

三、解答题
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$AC=12$. $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D$，$E$，$F$.求图中阴影部分的面积.

解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×12×5=30$。
设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，
由三角形内切圆面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$，
代入得$30=\frac{1}{2}×(13+5+12)× r$，
解得$r=1$。
连接$OD$、$OE$、$OF$，
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OEC=90°$，
又$\because ∠ C=90°$，$OD=OE=r$，
$\therefore$ 四边形$ODCE$是正方形，$∠ DOE=90°$。
$\because ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ FOD=180°-∠ B$，$∠ FOE=180°-∠ A$，
三个以$O$为圆心、$r$为半径的扇形的圆心角之和为：
$∠ DOE+∠ FOD+∠ FOE=90°+(180°-∠ B)+(180°-∠ A)=450°-(∠ A+∠ B)=360°$，
即三个扇形的面积之和等于半径为1的整圆的面积：$S_{\mathrm{扇形和}}=π r^2=π×1^2=π$。
$\therefore$ 阴影部分的面积$=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形和}}=30-π$。
答：图中阴影部分的面积为$30-π$。

【分析】
解题时首先观察图形特征，阴影部分面积可转化为直角三角形$△ABC$的面积减去内切圆上三个扇形的面积之和。第一步先利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边$BC$，计算出$△ABC$的面积；第二步利用三角形内切圆半径与面积、周长的关系求出内切圆半径$r$；第三步分析三个扇形的圆心角之和，可推导得出三个圆心角加和为$360°$，即三个扇形面积之和等于半径为$r$的整圆面积；最后用三角形面积减去整圆面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×12×5=30$。
设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，
根据三角形内切圆面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$，
代入数值：$30=\frac{1}{2}×(13+5+12)× r$，
解得$r=1$。
连接$OD$、$OE$、$OF$，
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OEC=90°$，
又$\because ∠ C=90°$，$OD=OE=r$，
$\therefore$ 四边形$ODCE$是正方形，$∠ DOE=90°$。
$\because ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ FOD=180°-∠ B$，$∠ FOE=180°-∠ A$，
三个以$O$为圆心、$r$为半径的扇形的圆心角之和为：
$∠ DOE+∠ FOD+∠ FOE=90°+(180°-∠ B)+(180°-∠ A)=450°-(∠ A+∠ B)=360°$，
即三个扇形的面积之和等于半径为1的整圆的面积：$S_{\mathrm{扇形和}}=π r^2=π×1^2=π$。
$\therefore$ 阴影部分的面积$=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形和}}=30-π$。
【答案】
$30-π$
【知识点】
勾股定理，三角形内切圆性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合计算题，解题的关键是推导出三个扇形的圆心角之和为$360°$，将分散的扇形面积转化为整圆面积简化计算，同时要求熟练掌握直角三角形的相关计算公式和内切圆的性质。
【难度系数】
0.7