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8. 如图，△ABC 的内心为点 I，外心为点 O，∠A = 50°.求 ∠BOC 和 ∠BIC 的度数. 
(第8题)
(第8题)答案
解：
∵ 点O是△ABC的外心，∠A=50°，
由圆周角定理可得，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOC=2∠A=2×50°=100°。
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴ ∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 50° = 130°，
∴ ∠IBC + ∠ICB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×130° = 65°，
在△IBC中，∠BIC = 180° - (∠IBC + ∠ICB) = 180° - 65° = 115°。
综上，∠BOC=100°，∠BIC=115°。
∵ 点O是△ABC的外心，∠A=50°，
由圆周角定理可得，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOC=2∠A=2×50°=100°。
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴ ∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 50° = 130°，
∴ ∠IBC + ∠ICB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×130° = 65°，
在△IBC中，∠BIC = 180° - (∠IBC + ∠ICB) = 180° - 65° = 115°。
综上，∠BOC=100°，∠BIC=115°。
解析
【分析】
本题需要分别求解∠BOC和∠BIC两个角，可结合外心、内心的定义和相关性质分步计算：1. 求∠BOC：O是△ABC的外心，即外接圆圆心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC和∠A都对应弧BC，因此用∠A的2倍即可求出∠BOC；2. 求∠BIC：I是△ABC的内心，即内切圆圆心，是三角形角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB，先利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再求出二者一半的和，最后再次利用三角形内角和，在△IBC中计算即可得到∠BIC的度数。
【解析】
解：
∵ 点O是△ABC的外心，∠A=50°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC与∠A均对应弧BC，
∴ ∠BOC=2∠A=2×50°=100°。
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$，
∴ $∠ IBC + ∠ ICB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×130° = 65°$，
在△IBC中，再次利用三角形内角和：
$∠ BIC = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB) = 180° - 65° = 115°$。
【答案】
∠BOC=100°，∠BIC=115°
【知识点】
圆周角定理；三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查三角形外心、内心的性质应用，解题的关键是准确区分外心和内心的定义及对应的性质，结合圆周角定理和三角形内角和定理即可快速求解，属于三角形性质的基础常考题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题需要分别求解∠BOC和∠BIC两个角，可结合外心、内心的定义和相关性质分步计算：1. 求∠BOC：O是△ABC的外心，即外接圆圆心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC和∠A都对应弧BC，因此用∠A的2倍即可求出∠BOC；2. 求∠BIC：I是△ABC的内心，即内切圆圆心，是三角形角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB，先利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再求出二者一半的和，最后再次利用三角形内角和，在△IBC中计算即可得到∠BIC的度数。
【解析】
解：
∵ 点O是△ABC的外心，∠A=50°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC与∠A均对应弧BC，
∴ ∠BOC=2∠A=2×50°=100°。
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$，
∴ $∠ IBC + ∠ ICB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×130° = 65°$，
在△IBC中，再次利用三角形内角和：
$∠ BIC = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB) = 180° - 65° = 115°$。
【答案】
∠BOC=100°，∠BIC=115°
【知识点】
圆周角定理；三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查三角形外心、内心的性质应用，解题的关键是准确区分外心和内心的定义及对应的性质，结合圆周角定理和三角形内角和定理即可快速求解，属于三角形性质的基础常考题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
9. 如图，点E是$△ ABC$的内心，AE的延长线交$△ ABC$的外接圆O于点D.
（1）BD与DE相等吗？为什么？
（2）若$∠ BAC=90°$，$DE=4$，求$△ ABC$外接圆O的半径长.
（1）BD与DE相等吗？为什么？
（2）若$∠ BAC=90°$，$DE=4$，求$△ ABC$外接圆O的半径长.
答案
解：
(1) $BD=DE$，理由如下：
∵ 点$E$是$△ ABC$的内心，
∴ $AE$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$。
∵ $∠ CAD$和$∠ CBD$都是弧$CD$所对的圆周角，
∴ $∠ CAD=∠ CBD$，
∴ $∠ BAD=∠ CBD$。
又∵ $∠ BED=∠ BAD+∠ ABE$，$∠ EBD=∠ CBE+∠ CBD$，
∴ $∠ BED=∠ EBD$，
∴ $BD=DE$。
(2) ∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $BC$是$△ ABC$外接圆$O$的直径，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $AE$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=45°$，
∴ $∠ BCD=∠ BAD=45°$，
∴ $△ BDC$是等腰直角三角形，$BD=CD$。
由(1)得$BD=DE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $△ ABC$外接圆$O$的半径长为$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
(1) $BD=DE$，理由如下：
∵ 点$E$是$△ ABC$的内心，
∴ $AE$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$。
∵ $∠ CAD$和$∠ CBD$都是弧$CD$所对的圆周角，
∴ $∠ CAD=∠ CBD$，
∴ $∠ BAD=∠ CBD$。
又∵ $∠ BED=∠ BAD+∠ ABE$，$∠ EBD=∠ CBE+∠ CBD$，
∴ $∠ BED=∠ EBD$，
∴ $BD=DE$。
(2) ∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $BC$是$△ ABC$外接圆$O$的直径，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $AE$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=45°$，
∴ $∠ BCD=∠ BAD=45°$，
∴ $△ BDC$是等腰直角三角形，$BD=CD$。
由(1)得$BD=DE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $△ ABC$外接圆$O$的半径长为$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
（1）要证BD=DE，可通过“等角对等边”证明∠BED=∠EBD。首先利用三角形内心的性质得到对应角平分线，再结合同弧所对圆周角相等的性质，做角的等量代换即可推出两个角相等，进而得到边相等。
（2）已知∠BAC=90°，根据90°圆周角所对的弦是直径，可确定BC是外接圆的直径，因此∠BDC=90°。结合角平分线性质得∠BAD=45°，再通过同弧所对圆周角相等推出△BDC是等腰直角三角形，结合第一问结论得到BD的长度，用勾股定理求出直径BC，除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
(1) $BD=DE$，理由如下：
∵ 点$E$是$△ ABC$的内心，
∴ $AE$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$。
∵ $∠ CAD$和$∠ CBD$都是弧$CD$所对的圆周角，
∴ $∠ CAD=∠ CBD$，
∴ $∠ BAD=∠ CBD$。
又
∵ $∠ BED=∠ BAD+∠ ABE$，$∠ EBD=∠ CBE+∠ CBD$，
∴ $∠ BED=∠ EBD$，
∴ $BD=DE$。
(2)
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $BC$是$△ ABC$外接圆$O$的直径，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $AE$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=45°$，
∴ $∠ BCD=∠ BAD=45°$，
∴ $△ BDC$是等腰直角三角形，$BD=CD$。
由(1)得$BD=DE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $△ ABC$外接圆$O$的半径长为$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $BD=DE$；
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，重点考查角的等量代换能力，第一问的等角对等边证明思路、第二问中直角三角形外接圆直径为斜边的结论都是高频考点，需熟练掌握角与边的转化方法。
【难度系数】
0.65
（1）要证BD=DE，可通过“等角对等边”证明∠BED=∠EBD。首先利用三角形内心的性质得到对应角平分线，再结合同弧所对圆周角相等的性质，做角的等量代换即可推出两个角相等，进而得到边相等。
（2）已知∠BAC=90°，根据90°圆周角所对的弦是直径，可确定BC是外接圆的直径，因此∠BDC=90°。结合角平分线性质得∠BAD=45°，再通过同弧所对圆周角相等推出△BDC是等腰直角三角形，结合第一问结论得到BD的长度，用勾股定理求出直径BC，除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
(1) $BD=DE$，理由如下：
∵ 点$E$是$△ ABC$的内心，
∴ $AE$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$。
∵ $∠ CAD$和$∠ CBD$都是弧$CD$所对的圆周角，
∴ $∠ CAD=∠ CBD$，
∴ $∠ BAD=∠ CBD$。
又
∵ $∠ BED=∠ BAD+∠ ABE$，$∠ EBD=∠ CBE+∠ CBD$，
∴ $∠ BED=∠ EBD$，
∴ $BD=DE$。
(2)
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $BC$是$△ ABC$外接圆$O$的直径，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $AE$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=45°$，
∴ $∠ BCD=∠ BAD=45°$，
∴ $△ BDC$是等腰直角三角形，$BD=CD$。
由(1)得$BD=DE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $△ ABC$外接圆$O$的半径长为$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $BD=DE$；
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，重点考查角的等量代换能力，第一问的等角对等边证明思路、第二问中直角三角形外接圆直径为斜边的结论都是高频考点，需熟练掌握角与边的转化方法。
【难度系数】
0.65
