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一、选择题
1. 在某次实验中，测得两个变量$m$和$v$之间的4组对应数据如表所示：
则$m$与$v$之间的关系最接近于下列各表达式中的().
A.$v=2m-2$
B.$v=m^2 -1$
C.$v=3m-3$
D.$v=m+1$
1. 在某次实验中，测得两个变量$m$和$v$之间的4组对应数据如表所示：
则$m$与$v$之间的关系最接近于下列各表达式中的().
A.$v=2m-2$
B.$v=m^2 -1$
C.$v=3m-3$
D.$v=m+1$
答案
B
解析
【分析】
本题是判断两个变量的函数对应关系，可采用代入验证法求解：将表格中每组m的取值分别代入四个选项的表达式，计算出对应的v的理论值，再和表格中给出的实际v值比较，计算二者的差值，差值最小、误差最小的表达式就是最符合的关系。
【解析】
我们逐一代入数据对比：
1. 当$m=1$时：
A选项：$v=2×1-2=0$，与实际值0.01差值为0.01；
B选项：$v=1^2-1=0$，与实际值差值为0.01；
C选项：$v=3×1-3=0$，与实际值差值为0.01；
D选项：$v=1+1=2$，与实际值差值为1.99，误差过大，排除D。
2. 当$m=2$时：
A选项：$v=2×2-2=2$，与实际值2.9差值为0.9，误差较大，排除A；
B选项：$v=2^2-1=3$，与实际值差值为0.1；
C选项：$v=3×2-3=3$，与实际值差值为0.1。
3. 当$m=3$时：
B选项：$v=3^2-1=8$，与实际值8.03差值为0.03，误差很小；
C选项：$v=3×3-3=6$，与实际值差值为2.03，误差过大，排除C。
4. 验证$m=4$时：B选项$v=4^2-1=15$，与实际值15.1差值仅为0.1，符合要求。
综上，B选项的表达式最符合m和v的关系。
【答案】
B
【知识点】
函数值计算；函数表达式验证
【点评】
本题考查函数关系的判断，采用代入验证法是解决这类选择题的常用技巧，通过对比计算值和实际值的误差就能快速锁定正确答案，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是判断两个变量的函数对应关系，可采用代入验证法求解：将表格中每组m的取值分别代入四个选项的表达式，计算出对应的v的理论值，再和表格中给出的实际v值比较，计算二者的差值，差值最小、误差最小的表达式就是最符合的关系。
【解析】
我们逐一代入数据对比：
1. 当$m=1$时：
A选项：$v=2×1-2=0$，与实际值0.01差值为0.01；
B选项：$v=1^2-1=0$，与实际值差值为0.01；
C选项：$v=3×1-3=0$，与实际值差值为0.01；
D选项：$v=1+1=2$，与实际值差值为1.99，误差过大，排除D。
2. 当$m=2$时：
A选项：$v=2×2-2=2$，与实际值2.9差值为0.9，误差较大，排除A；
B选项：$v=2^2-1=3$，与实际值差值为0.1；
C选项：$v=3×2-3=3$，与实际值差值为0.1。
3. 当$m=3$时：
B选项：$v=3^2-1=8$，与实际值8.03差值为0.03，误差很小；
C选项：$v=3×3-3=6$，与实际值差值为2.03，误差过大，排除C。
4. 验证$m=4$时：B选项$v=4^2-1=15$，与实际值15.1差值仅为0.1，符合要求。
综上，B选项的表达式最符合m和v的关系。
【答案】
B
【知识点】
函数值计算；函数表达式验证
【点评】
本题考查函数关系的判断，采用代入验证法是解决这类选择题的常用技巧，通过对比计算值和实际值的误差就能快速锁定正确答案，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为().
A.$y=x^2 - 2x + 3$
B.$y=x^2 - 2x - 3$
C.$y=x^2 + 2x - 3$
D.$y=x^2 + 2x + 3$
A.$y=x^2 - 2x + 3$
B.$y=x^2 - 2x - 3$
C.$y=x^2 + 2x - 3$
D.$y=x^2 + 2x + 3$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先从图像中提取关键信息：二次函数与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$。我们可以用两种思路求解：一是用待定系数法，设交点式代入已知点求解析式；二是用代入验证法，将已知点坐标代入选项，排除不符合的选项即可得到答案，后者解题更快捷。
【解析】
方法1：待定系数法
由图像可知二次函数与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，设二次函数解析式为$y=a(x+1)(x-3) \ (a≠0)$。
∵ 函数图像过点$(0,-3)$，将$x=0,y=-3$代入解析式得：
$-3=a(0+1)(0-3)$
解得$a=1$
∴ 解析式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$。
方法2：代入验证法
① 由图像得，当$x=0$时，$y=-3$，分别代入选项：
A选项：$y=0-0+3=3$，不符合，排除；
D选项：$y=0+0+3=3$，不符合，排除；
② 剩余B、C选项，代入交点$(-1,0)$验证：
B选项：$y=(-1)^2-2×(-1)-3=1+2-3=0$，符合；
C选项：$y=(-1)^2+2×(-1)-3=1-2-3=-4≠0$，不符合，排除。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是从图像中提取有效交点信息，既可以用常规的待定系数法求解，也可以用代入排除法快速得到答案，能帮助学生灵活选择解题方法，加深对二次函数图像特征的理解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从图像中提取关键信息：二次函数与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$。我们可以用两种思路求解：一是用待定系数法，设交点式代入已知点求解析式；二是用代入验证法，将已知点坐标代入选项，排除不符合的选项即可得到答案，后者解题更快捷。
【解析】
方法1：待定系数法
由图像可知二次函数与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，设二次函数解析式为$y=a(x+1)(x-3) \ (a≠0)$。
∵ 函数图像过点$(0,-3)$，将$x=0,y=-3$代入解析式得：
$-3=a(0+1)(0-3)$
解得$a=1$
∴ 解析式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$。
方法2：代入验证法
① 由图像得，当$x=0$时，$y=-3$，分别代入选项：
A选项：$y=0-0+3=3$，不符合，排除；
D选项：$y=0+0+3=3$，不符合，排除；
② 剩余B、C选项，代入交点$(-1,0)$验证：
B选项：$y=(-1)^2-2×(-1)-3=1+2-3=0$，符合；
C选项：$y=(-1)^2+2×(-1)-3=1-2-3=-4≠0$，不符合，排除。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是从图像中提取有效交点信息，既可以用常规的待定系数法求解，也可以用代入排除法快速得到答案，能帮助学生灵活选择解题方法，加深对二次函数图像特征的理解。
【难度系数】
0.8
3. 函数$y=ax+1$与$y=ax^2+bx+1(a≠0)$的图象可能是(). 
答案
解：
对于函数$y=ax+1$与$y=ax^2+bx+1(a≠0)$，
当$x=0$时，两个函数的函数值都为$1$，因此两个函数图象都过定点$(0,1)$。
1. 选项A：一次函数与$y$轴的交点纵坐标小于1，不符合$y=ax+1$过点$(0,1)$，排除A；
2. 选项B：一次函数呈上升趋势，可得$a＞0$，但二次函数开口向下，可得$a＜0$，$a$的取值矛盾，排除B；
3. 选项D：一次函数呈下降趋势，可得$a＜0$，但二次函数开口向上，可得$a＞0$，$a$的取值矛盾，排除D；
4. 选项C：一次函数呈上升趋势，$a＞0$，二次函数开口向上，$a＞0$，且两个函数都过点$(0,1)$，符合所有性质。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
对于函数$y=ax+1$与$y=ax^2+bx+1(a≠0)$，
当$x=0$时，两个函数的函数值都为$1$，因此两个函数图象都过定点$(0,1)$。
1. 选项A：一次函数与$y$轴的交点纵坐标小于1，不符合$y=ax+1$过点$(0,1)$，排除A；
2. 选项B：一次函数呈上升趋势，可得$a＞0$，但二次函数开口向下，可得$a＜0$，$a$的取值矛盾，排除B；
3. 选项D：一次函数呈下降趋势，可得$a＜0$，但二次函数开口向上，可得$a＞0$，$a$的取值矛盾，排除D；
4. 选项C：一次函数呈上升趋势，$a＞0$，二次函数开口向上，$a＞0$，且两个函数都过点$(0,1)$，符合所有性质。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
解析
【分析】
解决这道题可从两个函数的共性和参数的一致性入手：首先两个函数的常数项都是1，因此当x=0时函数值都为1，即都过定点(0,1)，可先排除不满足该特征的选项；其次两个函数的系数a是共用的，a的符号决定了一次函数的升降趋势和二次函数的开口方向，二者的a符号必须一致，据此再排除矛盾选项，剩下的即为正确答案。
【解析】
已知函数$y=ax+1$与$y=ax^2+bx+1(a≠0)$：
1. 先判断公共定点：当$x=0$时，两个函数的函数值均为1，因此两个图象都经过点$(0,1)$。观察选项A，其一次函数与y轴交点纵坐标小于1，不符合该性质，排除A；
2. 再判断参数a的一致性：
选项B：一次函数图象上升，说明斜率$a＞0$；但二次函数开口向下，说明二次项系数$a＜0$，a的取值矛盾，排除B；
选项D：一次函数图象下降，说明斜率$a＜0$；但二次函数开口向上，说明二次项系数$a＞0$，a的取值矛盾，排除D；
选项C：一次函数图象上升得$a＞0$，二次函数开口向上也得$a＞0$，且两个函数都过点$(0,1)$，完全符合性质。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于一次函数和二次函数图象的综合判断题，解题的核心是抓住两个函数共有的参数a的符号一致性，以及公共定点的特征，使用排除法可以快速得出答案，侧重考查对函数图象和对应系数关系的理解运用。
【难度系数】
0.7
解决这道题可从两个函数的共性和参数的一致性入手：首先两个函数的常数项都是1，因此当x=0时函数值都为1，即都过定点(0,1)，可先排除不满足该特征的选项；其次两个函数的系数a是共用的，a的符号决定了一次函数的升降趋势和二次函数的开口方向，二者的a符号必须一致，据此再排除矛盾选项，剩下的即为正确答案。
【解析】
已知函数$y=ax+1$与$y=ax^2+bx+1(a≠0)$：
1. 先判断公共定点：当$x=0$时，两个函数的函数值均为1，因此两个图象都经过点$(0,1)$。观察选项A，其一次函数与y轴交点纵坐标小于1，不符合该性质，排除A；
2. 再判断参数a的一致性：
选项B：一次函数图象上升，说明斜率$a＞0$；但二次函数开口向下，说明二次项系数$a＜0$，a的取值矛盾，排除B；
选项D：一次函数图象下降，说明斜率$a＜0$；但二次函数开口向上，说明二次项系数$a＞0$，a的取值矛盾，排除D；
选项C：一次函数图象上升得$a＞0$，二次函数开口向上也得$a＞0$，且两个函数都过点$(0,1)$，完全符合性质。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于一次函数和二次函数图象的综合判断题，解题的核心是抓住两个函数共有的参数a的符号一致性，以及公共定点的特征，使用排除法可以快速得出答案，侧重考查对函数图象和对应系数关系的理解运用。
【难度系数】
0.7
4. 抛物线$y=x^2$与直线$y=3x-2$的交点坐标是。
答案
解：联立抛物线与直线的方程：
$\begin{cases}y = x^2 \\y = 3x - 2\end{cases}$
将$y=x^2$代入$y=3x-2$，得：
$x^2 = 3x - 2$
整理得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-2) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
把$x_1=1$代入$y=x^2$，得$y_1=1$；
把$x_2=2$代入$y=x^2$，得$y_2=4$。
所以交点坐标是$(1,1)$和$(2,4)$。
$\begin{cases}y = x^2 \\y = 3x - 2\end{cases}$
将$y=x^2$代入$y=3x-2$，得：
$x^2 = 3x - 2$
整理得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-2) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
把$x_1=1$代入$y=x^2$，得$y_1=1$；
把$x_2=2$代入$y=x^2$，得$y_2=4$。
所以交点坐标是$(1,1)$和$(2,4)$。
解析
【分析】
要求抛物线与直线的交点坐标，由于交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此解题思路为：先联立两个函数的解析式得到二元方程组，通过代入消元将方程组转化为一元二次方程，求解得到x的取值后，代入任意一个解析式求出对应的y值，最终将x、y组合为坐标形式即为交点坐标。
【解析】
联立抛物线与直线的方程：
$\begin{cases}y = x^2 \\y = 3x - 2\end{cases}$
将$y=x^2$代入$y=3x-2$，得：
$x^2 = 3x - 2$
整理得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-2) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
把$x_1=1$代入$y=x^2$，得$y_1=1$；
把$x_2=2$代入$y=x^2$，得$y_2=4$。
所以交点坐标是$(1,1)$和$(2,4)$。
【答案】
$(1,1)$和$(2,4)$
【知识点】
函数交点求解、一元二次方程的解法、代入消元法
【点评】
本题是函数交点类的基础题型，解题核心是理解两个函数图像的交点坐标对应两个解析式联立所得方程组的解，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速作答，是后续解决复杂函数交点问题的基础。
【难度系数】
0.8
要求抛物线与直线的交点坐标，由于交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此解题思路为：先联立两个函数的解析式得到二元方程组，通过代入消元将方程组转化为一元二次方程，求解得到x的取值后，代入任意一个解析式求出对应的y值，最终将x、y组合为坐标形式即为交点坐标。
【解析】
联立抛物线与直线的方程：
$\begin{cases}y = x^2 \\y = 3x - 2\end{cases}$
将$y=x^2$代入$y=3x-2$，得：
$x^2 = 3x - 2$
整理得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-2) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
把$x_1=1$代入$y=x^2$，得$y_1=1$；
把$x_2=2$代入$y=x^2$，得$y_2=4$。
所以交点坐标是$(1,1)$和$(2,4)$。
【答案】
$(1,1)$和$(2,4)$
【知识点】
函数交点求解、一元二次方程的解法、代入消元法
【点评】
本题是函数交点类的基础题型，解题核心是理解两个函数图像的交点坐标对应两个解析式联立所得方程组的解，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速作答，是后续解决复杂函数交点问题的基础。
【难度系数】
0.8
5. 二次函数 $y = x^2 + kx + 1$ 与 $y = x^2 - x - k$ 的图象有一个公共点在 $x$ 轴上，则 $k=$ 。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
两个二次函数的公共点在x轴上，说明该点纵坐标为0，且同时满足两个函数的解析式。我们可以先设该公共点坐标为(a, 0)，将其分别代入两个函数表达式得到两个方程，联立方程消元后求解k，最后验证所得k值是否符合题意即可。
【解析】
设两个函数在x轴上的公共点坐标为$(a,0)$，将该点分别代入两个二次函数解析式：
1. 代入$y = x^2 + kx + 1$，得：$a^2 + ka + 1 = 0$ ①
2. 代入$y = x^2 - x - k$，得：$a^2 - a - k = 0$ ②
用①式减去②式消去$a^2$，整理得：
$ka + 1 + a + k = 0$
因式分解得：$(a+1)(k+1)=0$
分两种情况讨论：
若$k+1=0$，即$k=-1$，代入第一个函数得$y=x^2 -x +1$，其判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，函数图象与x轴无交点，不符合题意，舍去；
若$a+1=0$，即$a=-1$，将$a=-1$代入②式：
$(-1)^2 - (-1) -k = 0$，解得$k=2$。
经检验，$k=2$时两个函数都与x轴有公共交点$(-1,0)$，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数图象交点、二次函数与x轴交点、二元方程联立求解
【点评】
本题是二次函数交点类的基础题型，解题核心是利用x轴上点的纵坐标为0的性质，通过设点代入解析式联立方程求解，注意要对解出的参数进行验证，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
两个二次函数的公共点在x轴上，说明该点纵坐标为0，且同时满足两个函数的解析式。我们可以先设该公共点坐标为(a, 0)，将其分别代入两个函数表达式得到两个方程，联立方程消元后求解k，最后验证所得k值是否符合题意即可。
【解析】
设两个函数在x轴上的公共点坐标为$(a,0)$，将该点分别代入两个二次函数解析式：
1. 代入$y = x^2 + kx + 1$，得：$a^2 + ka + 1 = 0$ ①
2. 代入$y = x^2 - x - k$，得：$a^2 - a - k = 0$ ②
用①式减去②式消去$a^2$，整理得：
$ka + 1 + a + k = 0$
因式分解得：$(a+1)(k+1)=0$
分两种情况讨论：
若$k+1=0$，即$k=-1$，代入第一个函数得$y=x^2 -x +1$，其判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，函数图象与x轴无交点，不符合题意，舍去；
若$a+1=0$，即$a=-1$，将$a=-1$代入②式：
$(-1)^2 - (-1) -k = 0$，解得$k=2$。
经检验，$k=2$时两个函数都与x轴有公共交点$(-1,0)$，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数图象交点、二次函数与x轴交点、二元方程联立求解
【点评】
本题是二次函数交点类的基础题型，解题核心是利用x轴上点的纵坐标为0的性质，通过设点代入解析式联立方程求解，注意要对解出的参数进行验证，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
6. 抛物线经过点A (2，0)，B (-1，0)，且与y轴交于点C.若OC =2，则该抛物线对应的函数表达式为.
答案
解：
∵抛物线经过点$A(2,0)$，$B(-1,0)$，
∴设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-2)(x+1)$。
∵点$C$在$y$轴上，且$OC=2$，
∴点$C$的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$。
① 当点$C$坐标为$(0,2)$时，将$x=0$，$y=2$代入$y=a(x-2)(x+1)$：
$2=a·(0-2)·(0+1)$，
解得$a=-1$，
此时函数表达式为$y=-(x-2)(x+1)=-x^2+x+2$。
② 当点$C$坐标为$(0,-2)$时，将$x=0$，$y=-2$代入$y=a(x-2)(x+1)$：
$-2=a·(0-2)·(0+1)$，
解得$a=1$，
此时函数表达式为$y=(x-2)(x+1)=x^2-x-2$。
综上，该抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-x-2}$或$\boldsymbol{y=-x^2+x+2}$。
∵抛物线经过点$A(2,0)$，$B(-1,0)$，
∴设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-2)(x+1)$。
∵点$C$在$y$轴上，且$OC=2$，
∴点$C$的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$。
① 当点$C$坐标为$(0,2)$时，将$x=0$，$y=2$代入$y=a(x-2)(x+1)$：
$2=a·(0-2)·(0+1)$，
解得$a=-1$，
此时函数表达式为$y=-(x-2)(x+1)=-x^2+x+2$。
② 当点$C$坐标为$(0,-2)$时，将$x=0$，$y=-2$代入$y=a(x-2)(x+1)$：
$-2=a·(0-2)·(0+1)$，
解得$a=1$，
此时函数表达式为$y=(x-2)(x+1)=x^2-x-2$。
综上，该抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-x-2}$或$\boldsymbol{y=-x^2+x+2}$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-1,0)两个点，因此优先选用交点式设二次函数的表达式，能简化计算过程。其次OC=2表示点C到原点的距离为2，点C在y轴上，因此它的坐标有两种可能：(0,2)（y轴正半轴）和(0,-2)（y轴负半轴），需要分情况讨论，将两种坐标分别代入所设的解析式求出参数a，最后整理为一般式即可。
【解析】
∵抛物线经过点A(2,0)，B(-1,0)，
∴设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-2)(x+1)$（$a≠0$）。
∵点C在y轴上，且$OC=2$，
∴点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况讨论：
① 当点C坐标为$(0,2)$时，将$x=0$，$y=2$代入$y=a(x-2)(x+1)$得：
$2=a·(0-2)·(0+1)$，
解得$a=-1$，
此时函数表达式为$y=-(x-2)(x+1)=-x^2+x+2$。
② 当点C坐标为$(0,-2)$时，将$x=0$，$y=-2$代入$y=a(x-2)(x+1)$得：
$-2=a·(0-2)·(0+1)$，
解得$a=1$，
此时函数表达式为$y=(x-2)(x+1)=x^2-x-2$。
综上，该抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+x+2$或$y=x^2-x-2$。
【答案】
$y=x^2-x-2$或$y=-x^2+x+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与坐标轴的交点；分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查交点式的灵活运用，易错点是容易忽略线段长度对应坐标的两种情况，导致漏解，解题时遇到涉及坐标轴上点到原点的距离的条件，要注意考虑坐标正负两种可能性，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-1,0)两个点，因此优先选用交点式设二次函数的表达式，能简化计算过程。其次OC=2表示点C到原点的距离为2，点C在y轴上，因此它的坐标有两种可能：(0,2)（y轴正半轴）和(0,-2)（y轴负半轴），需要分情况讨论，将两种坐标分别代入所设的解析式求出参数a，最后整理为一般式即可。
【解析】
∵抛物线经过点A(2,0)，B(-1,0)，
∴设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-2)(x+1)$（$a≠0$）。
∵点C在y轴上，且$OC=2$，
∴点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况讨论：
① 当点C坐标为$(0,2)$时，将$x=0$，$y=2$代入$y=a(x-2)(x+1)$得：
$2=a·(0-2)·(0+1)$，
解得$a=-1$，
此时函数表达式为$y=-(x-2)(x+1)=-x^2+x+2$。
② 当点C坐标为$(0,-2)$时，将$x=0$，$y=-2$代入$y=a(x-2)(x+1)$得：
$-2=a·(0-2)·(0+1)$，
解得$a=1$，
此时函数表达式为$y=(x-2)(x+1)=x^2-x-2$。
综上，该抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+x+2$或$y=x^2-x-2$。
【答案】
$y=x^2-x-2$或$y=-x^2+x+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与坐标轴的交点；分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查交点式的灵活运用，易错点是容易忽略线段长度对应坐标的两种情况，导致漏解，解题时遇到涉及坐标轴上点到原点的距离的条件，要注意考虑坐标正负两种可能性，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 抛物线过(-1，0)，(3，0)，(1，-5)三点，求抛物线对应的函数表达式.
7. 抛物线过(-1，0)，(3，0)，(1，-5)三点，求抛物线对应的函数表达式.
答案
解：
∵抛物线过点$(-1,0)$和$(3,0)$，
∴设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
将点$(1,-5)$代入上式，得：
$-5 = a·(1+1)·(1-3)$
即$-5 = -4a$，
解得$a=\frac{5}{4}$。
将$a=\frac{5}{4}$代入所设表达式并展开化简：
$y=\frac{5}{4}(x+1)(x-3)=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}$
∴抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}}$。
∵抛物线过点$(-1,0)$和$(3,0)$，
∴设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
将点$(1,-5)$代入上式，得：
$-5 = a·(1+1)·(1-3)$
即$-5 = -4a$，
解得$a=\frac{5}{4}$。
将$a=\frac{5}{4}$代入所设表达式并展开化简：
$y=\frac{5}{4}(x+1)(x-3)=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}$
∴抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}}$。
解析
【分析】
解题时先观察已知点的特征：题目给出了抛物线与x轴的两个交点(-1,0)、(3,0)，这种情况优先选择交点式设二次函数解析式，比设一般式计算更简单。第一步先根据两个交点写出交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1、x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标）；第二步把第三个已知点(1,-5)代入所设的解析式，解一元一次方程求出参数a的值；第三步把a代回交点式，展开化简为一般式就得到最终的函数表达式。
【解析】
∵抛物线过点$(-1,0)$和$(3,0)$，
∴设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
将点$(1,-5)$代入上式，得：
$-5 = a·(1+1)·(1-3)$
即$-5 = -4a$，
解得$a=\frac{5}{4}$。
将$a=\frac{5}{4}$代入所设表达式并展开化简：
$y=\frac{5}{4}(x+1)(x-3)=\frac{5}{4}(x^2-2x-3)=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}$
∴抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}}$
【知识点】
待定系数法、二次函数交点式、整式化简
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，核心是考察根据已知条件选择最优解析式形式的能力，选用交点式可避免解三元一次方程组，减少计算错误，解题时要注意交点式中符号的书写，最后结果通常整理为一般式即可。
【难度系数】
0.75
解题时先观察已知点的特征：题目给出了抛物线与x轴的两个交点(-1,0)、(3,0)，这种情况优先选择交点式设二次函数解析式，比设一般式计算更简单。第一步先根据两个交点写出交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1、x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标）；第二步把第三个已知点(1,-5)代入所设的解析式，解一元一次方程求出参数a的值；第三步把a代回交点式，展开化简为一般式就得到最终的函数表达式。
【解析】
∵抛物线过点$(-1,0)$和$(3,0)$，
∴设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
将点$(1,-5)$代入上式，得：
$-5 = a·(1+1)·(1-3)$
即$-5 = -4a$，
解得$a=\frac{5}{4}$。
将$a=\frac{5}{4}$代入所设表达式并展开化简：
$y=\frac{5}{4}(x+1)(x-3)=\frac{5}{4}(x^2-2x-3)=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}$
∴抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{2}x-\frac{15}{4}}$
【知识点】
待定系数法、二次函数交点式、整式化简
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，核心是考察根据已知条件选择最优解析式形式的能力，选用交点式可避免解三元一次方程组，减少计算错误，解题时要注意交点式中符号的书写，最后结果通常整理为一般式即可。
【难度系数】
0.75
