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8. 已知二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象交$x$轴于$A$，$B$两点，交$y$轴于点$C$.求$△ ABC$的面积.
答案
解：
令$y=0$，即$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
不妨设$A(1,0)$，$B(3,0)$，则$AB=|3-1|=2$。
令$x=0$，代入二次函数解析式得$y=0^2 -4×0 +3=3$，
∴点$C$的坐标为$(0,3)$，$AB$边上的高等于点$C$到$x$轴的距离，为$3$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$。
令$y=0$，即$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
不妨设$A(1,0)$，$B(3,0)$，则$AB=|3-1|=2$。
令$x=0$，代入二次函数解析式得$y=0^2 -4×0 +3=3$，
∴点$C$的坐标为$(0,3)$，$AB$边上的高等于点$C$到$x$轴的距离，为$3$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$。
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，首先需要确定三个顶点A、B、C的坐标：A、B是二次函数与x轴的交点，可通过令y=0解一元二次方程得到两点坐标，进而算出AB的长度作为三角形的底；C是二次函数与y轴的交点，可通过令x=0代入解析式得到C点坐标，C点到x轴的距离就是AB边上的高，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：令$y=0$，即$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
不妨设$A(1,0)$，$B(3,0)$，则$AB=|3-1|=2$。
令$x=0$，代入二次函数解析式得$y=0^2 -4×0 +3=3$，
∴点$C$的坐标为$(0,3)$，AB边上的高等于点C到x轴的距离，为3。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解，因式分解解一元二次方程，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求法，结合三角形面积公式进行计算，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴交点的求解逻辑，明确x轴上两点距离的计算方法和坐标系中三角形高的确定方式。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC的面积，首先需要确定三个顶点A、B、C的坐标：A、B是二次函数与x轴的交点，可通过令y=0解一元二次方程得到两点坐标，进而算出AB的长度作为三角形的底；C是二次函数与y轴的交点，可通过令x=0代入解析式得到C点坐标，C点到x轴的距离就是AB边上的高，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：令$y=0$，即$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
不妨设$A(1,0)$，$B(3,0)$，则$AB=|3-1|=2$。
令$x=0$，代入二次函数解析式得$y=0^2 -4×0 +3=3$，
∴点$C$的坐标为$(0,3)$，AB边上的高等于点C到x轴的距离，为3。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解，因式分解解一元二次方程，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求法，结合三角形面积公式进行计算，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴交点的求解逻辑，明确x轴上两点距离的计算方法和坐标系中三角形高的确定方式。
【难度系数】
0.8
9. 已知在二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 中，函数值 $ y $ 与自变量 $ x $ 的部分对应值如下表：
| $ x $ | … | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | … |
| $ y $ | … | $ 10 $ | $ 5 $ |
| $ 1 $ | $ 2 $ | $ 5 $ | … |
(1) 求该二次函数的表达式；
(2) 当 $ x $ 为何值时，$ y $ 有最小值，最小值是多少？
(3) 若 $ A(m, y_1) $，$ B(m+1, y_2) $ 两点都在该函数的图象上，试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小。
| $ x $ | … | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | … |
| $ y $ | … | $ 10 $ | $ 5 $ |
| $ 1 $ | $ 2 $ | $ 5 $ | … |(1) 求该二次函数的表达式；
(2) 当 $ x $ 为何值时，$ y $ 有最小值，最小值是多少？
(3) 若 $ A(m, y_1) $，$ B(m+1, y_2) $ 两点都在该函数的图象上，试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小。
答案
解：
(1) 将$x=-1,y=10$；$x=0,y=5$；$x=1,y=2$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = 10 \\c = 5 \\a + b + c = 2\end{cases}$
将$c=5$代入其余两式，解得$a=1$，$b=-4$。
因此该二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$。
(2) 对表达式配方得：
$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$当$x=2$时，$y$有最小值，最小值为$1$。
(3) $\because A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在函数图象上，
$\therefore y_1=m^2-4m+5$，
$y_2=(m+1)^2-4(m+1)+5=m^2-2m+2$。
作差得：$y_2 - y_1=(m^2-2m+2)-(m^2-4m+5)=2m-3$。
当$2m-3＞0$，即$m＞\frac{3}{2}$时，$y_1＜y_2$；
当$2m-3=0$，即$m=\frac{3}{2}$时，$y_1=y_2$；
当$2m-3＜0$，即$m＜\frac{3}{2}$时，$y_1＞y_2$。
(1) 将$x=-1,y=10$；$x=0,y=5$；$x=1,y=2$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = 10 \\c = 5 \\a + b + c = 2\end{cases}$
将$c=5$代入其余两式，解得$a=1$，$b=-4$。
因此该二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$。
(2) 对表达式配方得：
$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$当$x=2$时，$y$有最小值，最小值为$1$。
(3) $\because A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在函数图象上，
$\therefore y_1=m^2-4m+5$，
$y_2=(m+1)^2-4(m+1)+5=m^2-2m+2$。
作差得：$y_2 - y_1=(m^2-2m+2)-(m^2-4m+5)=2m-3$。
当$2m-3＞0$，即$m＞\frac{3}{2}$时，$y_1＜y_2$；
当$2m-3=0$，即$m=\frac{3}{2}$时，$y_1=y_2$；
当$2m-3＜0$，即$m＜\frac{3}{2}$时，$y_1＞y_2$。
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式可采用待定系数法，题目给出了多组x与y的对应值，选取三组代入一般式$y=ax^2+bx+c$即可得到三元一次方程组，观察表格可知x=0时y=5，可直接得出c的值，简化计算。
(2) 求二次函数的最值，可先将解析式配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向上时顶点处取最小值，顶点的横、纵坐标分别对应x的取值和y的最小值。
(3) 比较$y_1$和$y_2$的大小，可先将两点横坐标代入解析式，分别表示出$y_1$和$y_2$，再通过作差法判断差值的正负，分情况讨论即可得到两者的大小关系。
【解析】
(1) 将$x=-1,y=10$；$x=0,y=5$；$x=1,y=2$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = 10 \\c = 5 \\a + b + c = 2\end{cases}$
将$c=5$代入其余两式，解得$a=1$，$b=-4$。
因此该二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$。
(2) 对表达式配方得：
$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$当$x=2$时，$y$有最小值，最小值为$1$。
(3) $\because A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在函数图象上，
$\therefore y_1=m^2-4m+5$，
$y_2=(m+1)^2-4(m+1)+5=m^2-2m+2$。
作差得：$y_2 - y_1=(m^2-2m+2)-(m^2-4m+5)=2m-3$。
当$2m-3＞0$，即$m＞\frac{3}{2}$时，$y_1＜y_2$；
当$2m-3=0$，即$m=\frac{3}{2}$时，$y_1=y_2$；
当$2m-3＜0$，即$m＜\frac{3}{2}$时，$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+5$
(2) 当$x=2$时，$y$有最小值，最小值是1
(3) 当$m＞\frac{3}{2}$时，$y_1＜y_2$；当$m=\frac{3}{2}$时，$y_1=y_2$；当$m＜\frac{3}{2}$时，$y_1＞y_2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，覆盖了二次函数解析式求解、最值计算、函数值比较三类常见考点，解题用到的待定系数法、配方法、作差比较法都是代数部分的常用方法，第三问需要分类讨论，对学生的逻辑思维能力有基础要求，侧重考查二次函数核心性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数表达式可采用待定系数法，题目给出了多组x与y的对应值，选取三组代入一般式$y=ax^2+bx+c$即可得到三元一次方程组，观察表格可知x=0时y=5，可直接得出c的值，简化计算。
(2) 求二次函数的最值，可先将解析式配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向上时顶点处取最小值，顶点的横、纵坐标分别对应x的取值和y的最小值。
(3) 比较$y_1$和$y_2$的大小，可先将两点横坐标代入解析式，分别表示出$y_1$和$y_2$，再通过作差法判断差值的正负，分情况讨论即可得到两者的大小关系。
【解析】
(1) 将$x=-1,y=10$；$x=0,y=5$；$x=1,y=2$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = 10 \\c = 5 \\a + b + c = 2\end{cases}$
将$c=5$代入其余两式，解得$a=1$，$b=-4$。
因此该二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$。
(2) 对表达式配方得：
$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$当$x=2$时，$y$有最小值，最小值为$1$。
(3) $\because A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在函数图象上，
$\therefore y_1=m^2-4m+5$，
$y_2=(m+1)^2-4(m+1)+5=m^2-2m+2$。
作差得：$y_2 - y_1=(m^2-2m+2)-(m^2-4m+5)=2m-3$。
当$2m-3＞0$，即$m＞\frac{3}{2}$时，$y_1＜y_2$；
当$2m-3=0$，即$m=\frac{3}{2}$时，$y_1=y_2$；
当$2m-3＜0$，即$m＜\frac{3}{2}$时，$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+5$
(2) 当$x=2$时，$y$有最小值，最小值是1
(3) 当$m＞\frac{3}{2}$时，$y_1＜y_2$；当$m=\frac{3}{2}$时，$y_1=y_2$；当$m＜\frac{3}{2}$时，$y_1＞y_2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，覆盖了二次函数解析式求解、最值计算、函数值比较三类常见考点，解题用到的待定系数法、配方法、作差比较法都是代数部分的常用方法，第三问需要分类讨论，对学生的逻辑思维能力有基础要求，侧重考查二次函数核心性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
