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三、解答题
7. 如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD相似，且相似比为2.
（1）在图中网格内画出四边形A'B'C'D'；
（2）△AC'D'是三角形，说明理由.
7. 如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD相似，且相似比为2.
（1）在图中网格内画出四边形A'B'C'D'；
（2）△AC'D'是三角形，说明理由.
答案
解：
(1) 作图步骤：
① 以点A为端点，在射线AB上取点B'，使AB' = 2AB；
② 以点A为端点，在射线AC上取点C'，使AC' = 2AC；
③ 以点A为端点，在射线AD上取点D'，使AD' = 2AD；
④ 顺次连接A、B'、C'、D'，得到的四边形A'B'C'D'（点A与A'重合）即为所求（也可在点A异于原四边形的一侧作符合要求的位似图形）。
(2) 等腰直角
理由：设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AC'^2 = 6^2 + 2^2 = 40$，$AD'^2 = 2^2 + 6^2 = 40$，$C'D'^2 = 4^2 + 8^2 = 80$，
$\therefore AC' = AD'$，且$AC'^2 + AD'^2 = 40 + 40 = 80 = C'D'^2$，
$\therefore ∠ C'AD' = 90°$，
$\therefore △ AC'D'$是等腰直角三角形。
(1) 作图步骤：
① 以点A为端点，在射线AB上取点B'，使AB' = 2AB；
② 以点A为端点，在射线AC上取点C'，使AC' = 2AC；
③ 以点A为端点，在射线AD上取点D'，使AD' = 2AD；
④ 顺次连接A、B'、C'、D'，得到的四边形A'B'C'D'（点A与A'重合）即为所求（也可在点A异于原四边形的一侧作符合要求的位似图形）。
(2) 等腰直角
理由：设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AC'^2 = 6^2 + 2^2 = 40$，$AD'^2 = 2^2 + 6^2 = 40$，$C'D'^2 = 4^2 + 8^2 = 80$，
$\therefore AC' = AD'$，且$AC'^2 + AD'^2 = 40 + 40 = 80 = C'D'^2$，
$\therefore ∠ C'AD' = 90°$，
$\therefore △ AC'D'$是等腰直角三角形。
解析
【分析】
本题分为位似作图和三角形形状判定两部分：
1. 第一问作图：结合位似图形的性质，以A为位似中心、相似比为2的位似图形，对应顶点到位似中心A的距离比为2:1，因此只需要分别在射线AB、AC、AD上取点，使新的点到A的距离是原对应点到A距离的2倍，再顺次连接各点即可。
2. 第二问判断三角形形状：要判定三角形的形状，可通过计算三边长度的关系判断，结合网格的特征，设每个小正方形边长为1，用勾股定理分别计算△AC'D'三边的平方，先判断是否有两边相等，再验证是否满足勾股定理的逆定理，即可得出结论。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点A为端点，在射线AB上取点B'，使AB' = 2AB；
② 以点A为端点，在射线AC上取点C'，使AC' = 2AC；
③ 以点A为端点，在射线AD上取点D'，使AD' = 2AD；
④ 顺次连接A、B'、C'、D'，得到的四边形AB'C'D'（点A与A'重合）即为所求，也可在点A异于原四边形的一侧作符合要求的位似图形。
(2) 理由如下：
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AC'^2 = 6^2 + 2^2 = 40$，$AD'^2 = 2^2 + 6^2 = 40$，$C'D'^2 = 4^2 + 8^2 = 80$，
$\therefore AC' = AD'$，且$AC'^2 + AD'^2 = 40 + 40 = 80 = C'D'^2$，
$\therefore ∠ C'AD' = 90°$，
$\therefore △ AC'D'$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) 按上述步骤作出符合要求的四边形即可；
(2) 等腰直角
【知识点】
位似图形的性质、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定
【点评】
本题综合考查了位似作图能力和三角形形状的判定，作图时要注意位似比对应关系，判定三角形形状时要学会利用网格的特征，通过勾股定理计算边长推导边的关系，属于基础类的综合题。
【难度系数】
0.7
本题分为位似作图和三角形形状判定两部分：
1. 第一问作图：结合位似图形的性质，以A为位似中心、相似比为2的位似图形，对应顶点到位似中心A的距离比为2:1，因此只需要分别在射线AB、AC、AD上取点，使新的点到A的距离是原对应点到A距离的2倍，再顺次连接各点即可。
2. 第二问判断三角形形状：要判定三角形的形状，可通过计算三边长度的关系判断，结合网格的特征，设每个小正方形边长为1，用勾股定理分别计算△AC'D'三边的平方，先判断是否有两边相等，再验证是否满足勾股定理的逆定理，即可得出结论。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点A为端点，在射线AB上取点B'，使AB' = 2AB；
② 以点A为端点，在射线AC上取点C'，使AC' = 2AC；
③ 以点A为端点，在射线AD上取点D'，使AD' = 2AD；
④ 顺次连接A、B'、C'、D'，得到的四边形AB'C'D'（点A与A'重合）即为所求，也可在点A异于原四边形的一侧作符合要求的位似图形。
(2) 理由如下：
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AC'^2 = 6^2 + 2^2 = 40$，$AD'^2 = 2^2 + 6^2 = 40$，$C'D'^2 = 4^2 + 8^2 = 80$，
$\therefore AC' = AD'$，且$AC'^2 + AD'^2 = 40 + 40 = 80 = C'D'^2$，
$\therefore ∠ C'AD' = 90°$，
$\therefore △ AC'D'$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) 按上述步骤作出符合要求的四边形即可；
(2) 等腰直角
【知识点】
位似图形的性质、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定
【点评】
本题综合考查了位似作图能力和三角形形状的判定，作图时要注意位似比对应关系，判定三角形形状时要学会利用网格的特征，通过勾股定理计算边长推导边的关系，属于基础类的综合题。
【难度系数】
0.7
8. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）在图上标出位似中心点O的位置；
（2）求$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比；
（3）若点A在平面直角坐标系中的坐标是$(-6, 0)$，直接写出下面三个点的坐标：点$A'$的坐标是，点B的坐标是，点$B'$的坐标是.
（1）在图上标出位似中心点O的位置；
（2）求$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比；
（3）若点A在平面直角坐标系中的坐标是$(-6, 0)$，直接写出下面三个点的坐标：点$A'$的坐标是，点B的坐标是，点$B'$的坐标是.
答案
解：
（1）连接$A'A$、$B'B$、$C'C$，三条直线的交点即为位似中心点$O$，在图中标出该点即可。
（2）由勾股定理得：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$A'B'=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
因此$\frac{AB}{A'B'}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
即$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$\frac{1}{2}$（或$1:2$）。
（3）点$A'$的坐标是$\boldsymbol{(-10, 0)}$，点$B$的坐标是$\boldsymbol{(-4, 2)}$，点$B'$的坐标是$\boldsymbol{(-6, 4)}$。
（1）连接$A'A$、$B'B$、$C'C$，三条直线的交点即为位似中心点$O$，在图中标出该点即可。
（2）由勾股定理得：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$A'B'=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
因此$\frac{AB}{A'B'}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
即$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$\frac{1}{2}$（或$1:2$）。
（3）点$A'$的坐标是$\boldsymbol{(-10, 0)}$，点$B$的坐标是$\boldsymbol{(-4, 2)}$，点$B'$的坐标是$\boldsymbol{(-6, 4)}$。
解析
【分析】
（1）根据位似图形的性质：位似图形所有对应点的连线都经过位似中心，因此只需作出两组对应点（如A与A'、B与B'）的连线，两条连线的交点就是位似中心O。
（2）相似比是位似图形对应边的比值，我们可以利用格点的边长，通过勾股定理分别计算对应边AB和A'B'的长度，再求比值就能得到相似比。
（3）已知点A坐标为(-6, 0)，说明过A、A'的水平直线为x轴，每个小方格的边长为1个单位长度，我们只需要数出各点相对坐标轴的格数，结合坐标的正负规则就能得到对应点的坐标。
【解析】
（1）分别连接$A'A$、$B'B$、$C'C$并延长，三条直线的交点就是位似中心点O，在图中标出该点即可。
（2）计算对应边长度：
观察格点可知，AB的横向间隔为2，纵向间隔为2，由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
$A'B'$的横向间隔为4，纵向间隔为4，由勾股定理得$A'B'=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$（即$1:2$）。
（3）已知点A坐标为(-6, 0)，以每个小方格边长为1个单位长度，数格点可得：
点$A'$在A左侧4格，纵坐标与A相同，坐标为$(-10, 0)$；
点B在A右侧2格，上方2格，坐标为$(-4, 2)$；
点$B'$在A左侧2格，上方4格，坐标为$(-6, 4)$。
【答案】
（1）连接$A'A$、$B'B$、$C'C$，三条线的交点即为O，在图中标注即可；
（2）相似比为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$（或$1:2$）；
（3）$\boldsymbol{(-10, 0)}$；$\boldsymbol{(-4, 2)}$；$\boldsymbol{(-6, 4)}$
【知识点】
位似图形的性质；勾股定理；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是位似图形的基础考查题，结合格点和平面直角坐标系设置问题，解题的核心是熟练掌握位似相关性质，同时能正确运用勾股定理计算格点线段长度、读取格点坐标，侧重基础能力的检验。
【难度系数】
0.7
（1）根据位似图形的性质：位似图形所有对应点的连线都经过位似中心，因此只需作出两组对应点（如A与A'、B与B'）的连线，两条连线的交点就是位似中心O。
（2）相似比是位似图形对应边的比值，我们可以利用格点的边长，通过勾股定理分别计算对应边AB和A'B'的长度，再求比值就能得到相似比。
（3）已知点A坐标为(-6, 0)，说明过A、A'的水平直线为x轴，每个小方格的边长为1个单位长度，我们只需要数出各点相对坐标轴的格数，结合坐标的正负规则就能得到对应点的坐标。
【解析】
（1）分别连接$A'A$、$B'B$、$C'C$并延长，三条直线的交点就是位似中心点O，在图中标出该点即可。
（2）计算对应边长度：
观察格点可知，AB的横向间隔为2，纵向间隔为2，由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
$A'B'$的横向间隔为4，纵向间隔为4，由勾股定理得$A'B'=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$（即$1:2$）。
（3）已知点A坐标为(-6, 0)，以每个小方格边长为1个单位长度，数格点可得：
点$A'$在A左侧4格，纵坐标与A相同，坐标为$(-10, 0)$；
点B在A右侧2格，上方2格，坐标为$(-4, 2)$；
点$B'$在A左侧2格，上方4格，坐标为$(-6, 4)$。
【答案】
（1）连接$A'A$、$B'B$、$C'C$，三条线的交点即为O，在图中标注即可；
（2）相似比为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$（或$1:2$）；
（3）$\boldsymbol{(-10, 0)}$；$\boldsymbol{(-4, 2)}$；$\boldsymbol{(-6, 4)}$
【知识点】
位似图形的性质；勾股定理；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是位似图形的基础考查题，结合格点和平面直角坐标系设置问题，解题的核心是熟练掌握位似相关性质，同时能正确运用勾股定理计算格点线段长度、读取格点坐标，侧重基础能力的检验。
【难度系数】
0.7
