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1. 抛物线$y=-2(x-1)^2$的最高点坐标是().
A.$(-1,0)$
B.$(1,-2)$
C.$(0,-1)$
D.$(1,0)$
A.$(-1,0)$
B.$(1,-2)$
C.$(0,-1)$
D.$(1,0)$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的性质：顶点坐标为$(h,k)$，当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点是最低点；当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点是最高点。本题给出的解析式已经是顶点式，只需找到对应的$a、h、k$值，先判断开口方向确定顶点为最高点，再写出顶点坐标即可得到答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-2(x-1)^2$，属于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的形式，对比可得：$a=-2$，$h=1$，$k=0$。
1. 因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，顶点就是抛物线的最高点；
2. 顶点式对应的顶点坐标为$(h,k)$，代入$h=1$、$k=0$，可得顶点坐标为$(1,0)$，即抛物线的最高点坐标为$(1,0)$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式中参数的意义以及开口方向对顶点最值性质的影响，熟练掌握顶点式的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的性质：顶点坐标为$(h,k)$，当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点是最低点；当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点是最高点。本题给出的解析式已经是顶点式，只需找到对应的$a、h、k$值，先判断开口方向确定顶点为最高点，再写出顶点坐标即可得到答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-2(x-1)^2$，属于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的形式，对比可得：$a=-2$，$h=1$，$k=0$。
1. 因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，顶点就是抛物线的最高点；
2. 顶点式对应的顶点坐标为$(h,k)$，代入$h=1$、$k=0$，可得顶点坐标为$(1,0)$，即抛物线的最高点坐标为$(1,0)$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式中参数的意义以及开口方向对顶点最值性质的影响，熟练掌握顶点式的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数$y=-x^2$的图象向左平移3个单位长度，所得新图象的函数表达式为().
A.$y=-x^2+3$
B.$y=-x^2-3$
C.$y=-(x+3)^2$
D.$y=-(x-3)^2$
A.$y=-x^2+3$
B.$y=-x^2-3$
C.$y=-(x+3)^2$
D.$y=-(x-3)^2$
答案
C
解析
【分析】
要解决二次函数图象平移后的表达式问题，首先需牢记二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：水平方向平移是对自变量x进行调整，向左平移n个单位就给x加n，向右平移n个单位就给x减n；竖直方向平移是对函数整体进行调整，向上平移n个单位就整体加n，向下平移n个单位就整体减n。本题是向左平移3个单位，属于水平平移，因此只需对原函数的自变量x做对应的调整即可。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中水平方向的平移仅对自变量x进行操作：
原二次函数表达式为$y=-x^2$，将其图象向左平移3个单位长度，需将原式中的$x$替换为$x+3$，代入可得新图象的函数表达式为：
$y=-(x+3)^2$
因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数的图象平移变换，属于基础类题目，解题的关键是明确水平平移是针对自变量x进行“左加右减”的调整，不要和竖直平移的规则混淆，牢记规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数图象平移后的表达式问题，首先需牢记二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：水平方向平移是对自变量x进行调整，向左平移n个单位就给x加n，向右平移n个单位就给x减n；竖直方向平移是对函数整体进行调整，向上平移n个单位就整体加n，向下平移n个单位就整体减n。本题是向左平移3个单位，属于水平平移，因此只需对原函数的自变量x做对应的调整即可。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中水平方向的平移仅对自变量x进行操作：
原二次函数表达式为$y=-x^2$，将其图象向左平移3个单位长度，需将原式中的$x$替换为$x+3$，代入可得新图象的函数表达式为：
$y=-(x+3)^2$
因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数的图象平移变换，属于基础类题目，解题的关键是明确水平平移是针对自变量x进行“左加右减”的调整，不要和竖直平移的规则混淆，牢记规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 同一坐标系中，抛物线$y=(x-a)^2$与直线$y=a+ax$的图象可能是().
答案
解：
抛物线$y=(x-a)^2$的顶点坐标为$(a,0)$，开口向上。
直线$y=a+ax = a(x+1)$的斜率为$a$，在$y$轴上的截距为$a$。
若抛物线顶点在$x$轴负半轴，即$a＜0$，此时要求直线斜率$a＜0$，且直线与$y$轴交点的纵坐标$a＜0$：
选项A中直线与$y$轴交于正半轴，不符合；选项C中直线斜率为正，不符合。
若抛物线顶点在$x$轴正半轴，即$a＞0$，此时要求直线斜率$a＞0$，且直线与$y$轴交点的纵坐标$a＞0$：
选项B中直线斜率为负，不符合；选项D中直线斜率为正、与$y$轴交于正半轴，符合条件。
答案为$\boxed{D}$。
抛物线$y=(x-a)^2$的顶点坐标为$(a,0)$，开口向上。
直线$y=a+ax = a(x+1)$的斜率为$a$，在$y$轴上的截距为$a$。
若抛物线顶点在$x$轴负半轴，即$a＜0$，此时要求直线斜率$a＜0$，且直线与$y$轴交点的纵坐标$a＜0$：
选项A中直线与$y$轴交于正半轴，不符合；选项C中直线斜率为正，不符合。
若抛物线顶点在$x$轴正半轴，即$a＞0$，此时要求直线斜率$a＞0$，且直线与$y$轴交点的纵坐标$a＞0$：
选项B中直线斜率为负，不符合；选项D中直线斜率为正、与$y$轴交于正半轴，符合条件。
答案为$\boxed{D}$。
解析
【分析】
这是同一坐标系下含相同参数的二次函数与一次函数图象判断问题，解题思路是先分别明确两个函数中参数a对应的图象特征：抛物线$y=(x-a)^2$开口向上，顶点坐标为$(a,0)$，顶点在x轴上的位置直接反映a的正负；直线$y=a+ax$可整理为$y=a(x+1)$，它的斜率和y轴截距都等于a，和a的正负一致。接下来我们分$a＜0$、$a＞0$两种情况，逐一验证选项里两个函数的图象特征是否匹配，矛盾的就排除，最终找到正确选项。
【解析】
1. 先分析两个函数的基本性质：
抛物线$y=(x-a)^2$是顶点式，开口向上，顶点坐标为$(a, 0)$，顶点在x轴上；
直线$y=a+ax$整理为$y=a(x+1)$，斜率为$a$，与y轴的截距为$a$。
2. 分类讨论参数a的正负：
① 若$a＜0$：此时抛物线顶点$(a,0)$在x轴负半轴，同时直线的斜率应为负，且与y轴交于负半轴。
选项A中直线与y轴交于正半轴，不符合；选项C中直线斜率为正，不符合，排除A、C。
② 若$a＞0$：此时抛物线顶点$(a,0)$在x轴正半轴，同时直线的斜率应为正，且与y轴交于正半轴。
选项B中直线斜率为负，不符合；选项D中直线斜率为正、与y轴交于正半轴，两个函数的图象特征都符合$a＞0$的情况。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是典型的多函数共坐标系判断类题目，核心是抓住相同参数在不同函数中的几何意义，通过分类讨论参数的取值范围逐一排除矛盾选项，能够有效考查对函数图象性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
这是同一坐标系下含相同参数的二次函数与一次函数图象判断问题，解题思路是先分别明确两个函数中参数a对应的图象特征：抛物线$y=(x-a)^2$开口向上，顶点坐标为$(a,0)$，顶点在x轴上的位置直接反映a的正负；直线$y=a+ax$可整理为$y=a(x+1)$，它的斜率和y轴截距都等于a，和a的正负一致。接下来我们分$a＜0$、$a＞0$两种情况，逐一验证选项里两个函数的图象特征是否匹配，矛盾的就排除，最终找到正确选项。
【解析】
1. 先分析两个函数的基本性质：
抛物线$y=(x-a)^2$是顶点式，开口向上，顶点坐标为$(a, 0)$，顶点在x轴上；
直线$y=a+ax$整理为$y=a(x+1)$，斜率为$a$，与y轴的截距为$a$。
2. 分类讨论参数a的正负：
① 若$a＜0$：此时抛物线顶点$(a,0)$在x轴负半轴，同时直线的斜率应为负，且与y轴交于负半轴。
选项A中直线与y轴交于正半轴，不符合；选项C中直线斜率为正，不符合，排除A、C。
② 若$a＞0$：此时抛物线顶点$(a,0)$在x轴正半轴，同时直线的斜率应为正，且与y轴交于正半轴。
选项B中直线斜率为负，不符合；选项D中直线斜率为正、与y轴交于正半轴，两个函数的图象特征都符合$a＞0$的情况。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是典型的多函数共坐标系判断类题目，核心是抓住相同参数在不同函数中的几何意义，通过分类讨论参数的取值范围逐一排除矛盾选项，能够有效考查对函数图象性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
4. 抛物线 $y=4(x-3)^2$ 的顶点坐标是，对称轴是，开口向。
答案
解：对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，当$a＞0$时抛物线开口向上。
在抛物线$y=4(x-3)^2$中，$a=4$，$h=3$，$k=0$，
因此顶点坐标是$(3,0)$，对称轴是直线$x=3$，开口向上。
答案依次为：$\boldsymbol{(3,0)}$；$\boldsymbol{直线x=3}$；$\boldsymbol{上}$。
在抛物线$y=4(x-3)^2$中，$a=4$，$h=3$，$k=0$，
因此顶点坐标是$(3,0)$，对称轴是直线$x=3$，开口向上。
答案依次为：$\boldsymbol{(3,0)}$；$\boldsymbol{直线x=3}$；$\boldsymbol{上}$。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的基本性质：顶点坐标为$(h,k)$，对称轴是直线$x=h$，开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；接下来从给出的抛物线解析式$y=4(x-3)^2$中对应找出$a、h、k$的取值，代入上述性质即可得到结果。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，当$a＞0$时抛物线开口向上。
在抛物线$y=4(x-3)^2$中，$a=4＞0$，$h=3$，$k=0$，
因此顶点坐标是$(3,0)$，对称轴是直线$x=3$，开口向上。
【答案】
$(3,0)$；直线$x=3$；上
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是对二次函数顶点式中各参数对应意义的掌握，熟练记忆相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的基本性质：顶点坐标为$(h,k)$，对称轴是直线$x=h$，开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；接下来从给出的抛物线解析式$y=4(x-3)^2$中对应找出$a、h、k$的取值，代入上述性质即可得到结果。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，当$a＞0$时抛物线开口向上。
在抛物线$y=4(x-3)^2$中，$a=4＞0$，$h=3$，$k=0$，
因此顶点坐标是$(3,0)$，对称轴是直线$x=3$，开口向上。
【答案】
$(3,0)$；直线$x=3$；上
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是对二次函数顶点式中各参数对应意义的掌握，熟练记忆相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 抛物线 $y=-4(x+3)^2$，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x= 时，函数 $y=-4(x+3)^2$ 取得最 值；抛物线 $y=-4(x+3)^2$ 可由抛物线 $y=-4x^2$ 向 平移 个单位长度得到。
答案
解：
抛物线$y=-4(x+3)^2$中，二次项系数$a=-4＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-3$。
∴当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=-3$时，函数$y=-4(x+3)^2$取得最大值；
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，抛物线$y=-4(x+3)^2$可由抛物线$y=-4x^2$向左平移3个单位长度得到。
答案依次为：$＜-3$；$＞-3$；$-3$；大；左；3。
抛物线$y=-4(x+3)^2$中，二次项系数$a=-4＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-3$。
∴当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=-3$时，函数$y=-4(x+3)^2$取得最大值；
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，抛物线$y=-4(x+3)^2$可由抛物线$y=-4x^2$向左平移3个单位长度得到。
答案依次为：$＜-3$；$＞-3$；$-3$；大；左；3。
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①先观察二次函数的顶点式，确定二次项系数$a$的符号，以此判断抛物线的开口方向；②根据顶点式$y=a(x-h)^2$的结构，确定抛物线的对称轴为直线$x=h$，注意$x+3$可变形为$x-(-3)$，因此此处$h=-3$；③结合开口方向判断增减性和最值：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，顶点处函数取得最大值；④根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，对比两个抛物线的解析式，即可判断平移的方向和单位长度。
【解析】
抛物线$y=-4(x+3)^2$中，二次项系数$a=-4＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-3$。
∴当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=-3$时，函数$y=-4(x+3)^2$取得最大值；
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，抛物线$y=-4(x+3)^2$可由抛物线$y=-4x^2$向左平移3个单位长度得到。
【答案】
$＜-3$；$＞-3$；$-3$；大；左；$3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对顶点式各参数含义及平移规律的掌握，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题可按以下思路逐步推导：①先观察二次函数的顶点式，确定二次项系数$a$的符号，以此判断抛物线的开口方向；②根据顶点式$y=a(x-h)^2$的结构，确定抛物线的对称轴为直线$x=h$，注意$x+3$可变形为$x-(-3)$，因此此处$h=-3$；③结合开口方向判断增减性和最值：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，顶点处函数取得最大值；④根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，对比两个抛物线的解析式，即可判断平移的方向和单位长度。
【解析】
抛物线$y=-4(x+3)^2$中，二次项系数$a=-4＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-3$。
∴当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=-3$时，函数$y=-4(x+3)^2$取得最大值；
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，抛物线$y=-4(x+3)^2$可由抛物线$y=-4x^2$向左平移3个单位长度得到。
【答案】
$＜-3$；$＞-3$；$-3$；大；左；$3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对顶点式各参数含义及平移规律的掌握，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的形状与抛物线 $y=2x^2$ 相同，但开口方向相反，对称轴与抛物线 $y=(x-2)^2$ 的对称轴相同. 该抛物线对应的函数表达式为 .
答案
解：
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的形状与抛物线$y=2x^2$相同，且开口方向相反，
∴ $|a|=2$，$a＜0$，可得$a=-2$。
∵ 抛物线$y=(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，
∴ 所求抛物线的对称轴也为直线$x=2$，即$h=2$。
∴ 该抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-2(x-2)^2}$。
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的形状与抛物线$y=2x^2$相同，且开口方向相反，
∴ $|a|=2$，$a＜0$，可得$a=-2$。
∵ 抛物线$y=(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，
∴ 所求抛物线的对称轴也为直线$x=2$，即$h=2$。
∴ 该抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-2(x-2)^2}$。
解析
【分析】
解题时可分两步确定解析式的未知参数：①先确定参数$a$：抛物线的形状由$|a|$决定，两抛物线形状相同则$|a|$相等，开口方向相反则$a$的符号与已知抛物线的二次项系数符号相反，由此可求出$a$的值；②再确定参数$h$：抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，和已知抛物线对称轴相等即可求出$h$，最后将$a$、$h$代入顶点式即可得到所求解析式。
【解析】
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的形状与抛物线$y=2x^2$相同，且开口方向相反，
∴ $|a|=2$，且$a＜0$，解得$a=-2$。
∵ 抛物线$y=(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，所求抛物线与它的对称轴相同，
∴ 所求抛物线的对称轴为直线$x=2$，即$h=2$。
将$a=-2$、$h=2$代入$y=a(x-h)^2$，可得该抛物线对应的函数表达式。
【答案】
$\boldsymbol{y=-2(x-2)^2}$
【知识点】
二次函数的图象性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称轴
【点评】
本题主要考查二次函数顶点式中参数的几何意义，只要掌握$|a|$决定抛物线开口大小、$a$的符号决定开口方向、对称轴为直线$x=h$这些基础知识点，就能顺利解题，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步确定解析式的未知参数：①先确定参数$a$：抛物线的形状由$|a|$决定，两抛物线形状相同则$|a|$相等，开口方向相反则$a$的符号与已知抛物线的二次项系数符号相反，由此可求出$a$的值；②再确定参数$h$：抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，和已知抛物线对称轴相等即可求出$h$，最后将$a$、$h$代入顶点式即可得到所求解析式。
【解析】
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的形状与抛物线$y=2x^2$相同，且开口方向相反，
∴ $|a|=2$，且$a＜0$，解得$a=-2$。
∵ 抛物线$y=(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，所求抛物线与它的对称轴相同，
∴ 所求抛物线的对称轴为直线$x=2$，即$h=2$。
将$a=-2$、$h=2$代入$y=a(x-h)^2$，可得该抛物线对应的函数表达式。
【答案】
$\boldsymbol{y=-2(x-2)^2}$
【知识点】
二次函数的图象性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称轴
【点评】
本题主要考查二次函数顶点式中参数的几何意义，只要掌握$|a|$决定抛物线开口大小、$a$的符号决定开口方向、对称轴为直线$x=h$这些基础知识点，就能顺利解题，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7. 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它们相互的位置关系.
(1) $y=\frac{1}{2}x^2$；
(2) $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$；
(3) $y=\frac{1}{2}(x-1)^2$.
7. 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它们相互的位置关系.
(1) $y=\frac{1}{2}x^2$；
(2) $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$；
(3) $y=\frac{1}{2}(x-1)^2$.
答案
解：
三个函数的二次项系数均为$\frac{1}{2}＞0$，因此开口都向上。
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$：
对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$。
(2) 函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$：
对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$。
(3) 函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$：
对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
画图方法：分别取自变量x的若干组对应值，计算出对应的函数值y，在同一平面直角坐标系中描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到三个函数的图象。
位置关系：三个函数的图象形状完全相同，仅位置不同。将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象沿x轴向左平移1个单位长度，可得到$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象；将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度，可得到$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象。
三个函数的二次项系数均为$\frac{1}{2}＞0$，因此开口都向上。
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$：
对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$。
(2) 函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$：
对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$。
(3) 函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$：
对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
画图方法：分别取自变量x的若干组对应值，计算出对应的函数值y，在同一平面直角坐标系中描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到三个函数的图象。
位置关系：三个函数的图象形状完全相同，仅位置不同。将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象沿x轴向左平移1个单位长度，可得到$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象；将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度，可得到$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象。
解析
【分析】
解决本题首先要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：二次项系数$a$决定开口方向和图象形状，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，$a$相同则图象形状完全相同；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。解题时第一步先根据$a$的取值判断三个函数的开口方向；第二步分别对应每个函数的顶点式，确定$h$、$k$的值，得到对称轴和顶点坐标；第三步根据二次函数平移“左加右减（针对$x$）”的规律判断三个图象的位置关系，画图按照列表、描点、连线的常规步骤操作即可。
【解析】
三个函数的二次项系数均为$\frac{1}{2}＞0$，因此开口都向上。
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$属于顶点式中$h=0,k=0$的情况：
对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$。
(2) 函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2=\frac{1}{2}[x-(-1)]^2$，对应$h=-1,k=0$：
对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$。
(3) 函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，对应$h=1,k=0$：
对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
画图方法：分别取自变量$x$的若干组对应值，计算出对应的函数值$y$，在同一平面直角坐标系中描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到三个函数的图象。
位置关系：三个函数的图象形状完全相同，仅位置不同。将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象沿x轴向左平移1个单位长度，可得到$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象；将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度，可得到$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象。
【答案】
三个函数开口均向上：
(1)$y=\frac{1}{2}x^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
(2)$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；
(3)$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$；
位置关系：三个图象形状完全相同，将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象向左平移1个单位得到$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象，向右平移1个单位得到$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象。
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图象平移规律，二次函数图象画法
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题型，重点考查对顶点式特征的识别和平移规律的应用，掌握相关核心结论就能快速解题，也为后续学习更复杂的二次函数变换打下基础。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：二次项系数$a$决定开口方向和图象形状，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，$a$相同则图象形状完全相同；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。解题时第一步先根据$a$的取值判断三个函数的开口方向；第二步分别对应每个函数的顶点式，确定$h$、$k$的值，得到对称轴和顶点坐标；第三步根据二次函数平移“左加右减（针对$x$）”的规律判断三个图象的位置关系，画图按照列表、描点、连线的常规步骤操作即可。
【解析】
三个函数的二次项系数均为$\frac{1}{2}＞0$，因此开口都向上。
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$属于顶点式中$h=0,k=0$的情况：
对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$。
(2) 函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2=\frac{1}{2}[x-(-1)]^2$，对应$h=-1,k=0$：
对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$。
(3) 函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$，对应$h=1,k=0$：
对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
画图方法：分别取自变量$x$的若干组对应值，计算出对应的函数值$y$，在同一平面直角坐标系中描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到三个函数的图象。
位置关系：三个函数的图象形状完全相同，仅位置不同。将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象沿x轴向左平移1个单位长度，可得到$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象；将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度，可得到$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象。
【答案】
三个函数开口均向上：
(1)$y=\frac{1}{2}x^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
(2)$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；
(3)$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$；
位置关系：三个图象形状完全相同，将$y=\frac{1}{2}x^2$的图象向左平移1个单位得到$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象，向右平移1个单位得到$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象。
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图象平移规律，二次函数图象画法
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题型，重点考查对顶点式特征的识别和平移规律的应用，掌握相关核心结论就能快速解题，也为后续学习更复杂的二次函数变换打下基础。
【难度系数】
0.8
